Theorem fsnunf2 7040

Description: Adjoining a point to a punctured function gives a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunf2	⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝑆⟶𝑇)

Proof of Theorem fsnunf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → 𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇)
2		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		neldifsnd 4723	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
4		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ 𝑇)
5		fsnunf 7039	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})⟶𝑇)
6	1, 2, 3, 4, 5	syl121anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})⟶𝑇)
7		difsnid 4740	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = 𝑆)
8	7	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = 𝑆)
9	8	feq2d 6570	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})⟶𝑇 ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝑆⟶𝑇))
10	6, 9	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐹:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝑆⟶𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881  {csn 4558  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425

This theorem is referenced by:  fsets  16798  islindf4  20955