MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindf4 21876
Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf4.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf4.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
islindf4.t · = ( ·𝑠𝑊)
islindf4.z 0 = (0g𝑊)
islindf4.y 𝑌 = (0g𝑅)
islindf4.l 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
Assertion
Ref Expression
islindf4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥, 0

Proof of Theorem islindf4
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raldifsni 4800 . . . . 5 (∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌))
2 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑙 ∈ (Base‘𝑅))
4 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐼𝐵𝑗𝐼) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐵)
543ad2antl3 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐵)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐵)
7 islindf4.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝑊)
8 islindf4.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9 islindf4.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = ( ·𝑠𝑊)
10 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invg𝑊) = (invg𝑊)
11 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invg𝑅) = (invg𝑅)
12 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
137, 8, 9, 10, 11, 12lmodvsinv 21053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝐵) → (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = ((invg𝑊)‘(𝑙 · (𝐹𝑗))))
142, 3, 6, 13syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = ((invg𝑊)‘(𝑙 · (𝐹𝑗))))
1514eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((invg𝑊)‘(𝑙 · (𝐹𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))))
16 lmodgrp 20882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
172, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ Grp)
187, 8, 9, 12lmodvscl 20893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝐵) → (𝑙 · (𝐹𝑗)) ∈ 𝐵)
192, 3, 6, 18syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑙 · (𝐹𝑗)) ∈ 𝐵)
20 islindf4.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑊)
21 lmodcmn 20925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ CMnd)
23 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐼𝑋)
24 difexg 5335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼𝑋 → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
26 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))
27 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → 𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅))
29 simpll3 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹:𝐼𝐵)
30 difss 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝐼
31 fssres 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐼𝐵 ∧ (𝐼 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝐼) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
3229, 30, 31sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
338, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25lcomf 20916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
34 islindf4.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑌 = (0g𝑅)
35 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 finSupp 𝑌)
368, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35lcomfsupp 20917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) finSupp 0 )
377, 20, 22, 25, 33, 36gsumcl 19948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∈ 𝐵)
38 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑊) = (+g𝑊)
397, 38, 20, 10grpinvid2 19023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑙 · (𝐹𝑗)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∈ 𝐵) → (((invg𝑊)‘(𝑙 · (𝐹𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g𝑊)(𝑙 · (𝐹𝑗))) = 0 ))
4017, 19, 37, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((invg𝑊)‘(𝑙 · (𝐹𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g𝑊)(𝑙 · (𝐹𝑗))) = 0 ))
41 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑗𝐼)
42 fsnunf2 7206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑗𝐼𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4328, 41, 3, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}):𝐼⟶(Base‘𝑅))
448, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23lcomf 20916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹):𝐼𝐵)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → 𝑗𝐼)
46 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 ∈ (Base‘𝑅))
4745, 46anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑗𝐼𝑙 ∈ (Base‘𝑅)))
48 elmapfun 8905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → Fun 𝑦)
49 fdm 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}))
50 neldifsnd 4798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗}))
51 df-nel 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∉ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
52 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∈ dom 𝑦𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
5352notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
5451, 53bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∉ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
5550, 54mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → 𝑗 ∉ dom 𝑦)
5627, 49, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → 𝑗 ∉ dom 𝑦)
5748, 56jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → (Fun 𝑦𝑗 ∉ dom 𝑦))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) → (Fun 𝑦𝑗 ∉ dom 𝑦))
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (Fun 𝑦𝑗 ∉ dom 𝑦))
6047, 59jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑗𝐼𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦𝑗 ∉ dom 𝑦)))
61 funsnfsupp 9430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑗𝐼𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦𝑗 ∉ dom 𝑦)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌𝑦 finSupp 𝑌))
6261bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗𝐼𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦𝑗 ∉ dom 𝑦)) → (𝑦 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑦 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
6463biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑦 finSupp 𝑌 → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
6564impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌)
668, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 65lcomfsupp 20917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) finSupp 0 )
67 disjdifr 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅)
69 difsnid 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐼)
7069eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗𝐼𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
7141, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
727, 20, 38, 22, 23, 44, 66, 68, 71gsumsplit 19961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))(+g𝑊)(𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}))))
73 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ V
74 snex 5442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {⟨𝑗, 𝑙⟩} ∈ V
7573, 74unex 7763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∈ V
76 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → 𝐹:𝐼𝐵)
77 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → 𝐼𝑋)
7876, 77fexd 7247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → 𝐹 ∈ V)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹 ∈ V)
80 offres 8007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
8175, 79, 80sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
8228ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}))
83 neldifsn 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})
84 fsnunres 7208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = 𝑦)
8582, 83, 84sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = 𝑦)
8685oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
8781, 86eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
8887oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
8944ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐼)
90 fnressn 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐼𝑗𝐼) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩})
9189, 41, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩})
9243ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) Fn 𝐼)
9329ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹 Fn 𝐼)
94 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) Fn 𝐼𝐹 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑗𝐼)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹𝑗)))
9592, 93, 23, 41, 94syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹𝑗)))
96 fndm 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}))
9796eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∈ dom 𝑦𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
9883, 97mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
99 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑗 ∈ V
100 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑙 ∈ V
101 fsnunfv 7207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ V ∧ ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
10299, 100, 101mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑗 ∈ dom 𝑦 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
10382, 98, 1023syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
104103oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹𝑗)) = (𝑙 · (𝐹𝑗)))
10595, 104eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (𝑙 · (𝐹𝑗)))
106105opeq2d 4885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩ = ⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹𝑗))⟩)
107106sneqd 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩} = {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹𝑗))⟩})
108 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 · (𝐹𝑗)) ∈ V
109 fmptsn 7187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ V ∧ (𝑙 · (𝐹𝑗)) ∈ V) → {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹𝑗))))
11099, 108, 109mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹𝑗)))
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹𝑗))))
11291, 107, 1113eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹𝑗))))
113112oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗})) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹𝑗)))))
114 cmnmnd 19830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ CMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
1152, 21, 1143syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ Mnd)
11699a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑗 ∈ V)
117 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑗 → (𝑙 · (𝐹𝑗)) = (𝑙 · (𝐹𝑗)))
1187, 117gsumsn 19987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑗 ∈ V ∧ (𝑙 · (𝐹𝑗)) ∈ 𝐵) → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹𝑗)))) = (𝑙 · (𝐹𝑗)))
119115, 116, 19, 118syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹𝑗)))) = (𝑙 · (𝐹𝑗)))
120113, 119eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗})) = (𝑙 · (𝐹𝑗)))
12188, 120oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))(+g𝑊)(𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}))) = ((𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g𝑊)(𝑙 · (𝐹𝑗))))
12272, 121eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g𝑊)(𝑙 · (𝐹𝑗))) = (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)))
123122eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g𝑊)(𝑙 · (𝐹𝑗))) = 0 ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
12415, 40, 1233bitrd 305 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
125103eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑙 = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗))
126125eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑙 = 𝑌 ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))
127124, 126imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
128127anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌) → (((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
129128pm5.74da 804 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌)) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
130 impexp 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌)))
131130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌))))
13263bicomd 223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌𝑦 finSupp 𝑌))
133132imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
134129, 131, 1333bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
1351342ralbidva 3217 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
136 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
137 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥f · 𝐹) = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹))
138137oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)))
139138eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
140 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥𝑗) = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗))
141140eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑥𝑗) = 𝑌 ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))
142139, 141imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
143136, 142imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)) ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
144143ralxpmap 8935 . . . . . . . . 9 (𝑗𝐼 → (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
145144adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
146135, 145bitr4d 282 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌))))
147 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 finSupp 𝑌𝑥 finSupp 𝑌))
148147ralrab 3702 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)))
149146, 148bitr4di 289 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)))
150 resima 6035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))
151150eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})) = ((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))
152151fveq2i 6910 . . . . . . . . . . 11 ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗})))
153152eleq2i 2831 . . . . . . . . . 10 ((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
154 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
15576, 30, 31sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
156 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
157243ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
159154, 7, 12, 8, 34, 9, 155, 156, 158ellspd 21840 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → ((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))))
160153, 159bitrid 283 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → ((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))))
161160imbi1d 341 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
162 r19.23v 3181 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌))
163161, 162bitr4di 289 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
164163ralbidv 3176 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
165 islindf4.l . . . . . . . 8 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
1668fvexi 6921 . . . . . . . . . . 11 𝑅 ∈ V
167 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
168 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌}
169167, 12, 34, 168frlmbas 21793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑋) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
170166, 169mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑋 → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1711703ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
172171adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
173165, 172eqtr4id 2794 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → 𝐿 = {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌})
174173raleqdv 3324 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)))
175149, 164, 1743bitr4d 311 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)))
1761, 175bitrid 283 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)))
1778lmodfgrp 20884 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
17812, 34, 11grpinvnzcl 19042 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg𝑅)‘𝑙) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
179177, 178sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg𝑅)‘𝑙) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
18012, 34, 11grpinvnzcl 19042 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
181177, 180sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
182 eldifi 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
18312, 11grpinvinv 19036 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘((invg𝑅)‘𝑘)) = 𝑘)
184177, 182, 183syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg𝑅)‘((invg𝑅)‘𝑘)) = 𝑘)
185184eqcomd 2741 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → 𝑘 = ((invg𝑅)‘((invg𝑅)‘𝑘)))
186 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑙 = ((invg𝑅)‘𝑘) → ((invg𝑅)‘𝑙) = ((invg𝑅)‘((invg𝑅)‘𝑘)))
187186rspceeqv 3645 . . . . . . . 8 ((((invg𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ∧ 𝑘 = ((invg𝑅)‘((invg𝑅)‘𝑘))) → ∃𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})𝑘 = ((invg𝑅)‘𝑙))
188181, 185, 187syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ∃𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})𝑘 = ((invg𝑅)‘𝑙))
189 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((invg𝑅)‘𝑙) → (𝑘 · (𝐹𝑗)) = (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)))
190189eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((invg𝑅)‘𝑙) → ((𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
191190notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((invg𝑅)‘𝑙) → (¬ (𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ¬ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
192191adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 = ((invg𝑅)‘𝑙)) → (¬ (𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ¬ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
193179, 188, 192ralxfrd 5414 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
1941933ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
195194adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg𝑅)‘𝑙) · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
196 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑗𝐼)
19734fvexi 6921 . . . . . . . . 9 𝑌 ∈ V
198197fvconst2 7224 . . . . . . . 8 (𝑗𝐼 → ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) = 𝑌)
199196, 198syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) = 𝑌)
200199eqeq2d 2746 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) ↔ (𝑥𝑗) = 𝑌))
201200imbi2d 340 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) ∧ 𝑥𝐿) → (((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)))
202201ralbidva 3174 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = 𝑌)))
203176, 195, 2023bitr4d 311 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑗𝐼) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
204203ralbidva 3174 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (∀𝑗𝐼𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑗𝐼𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
2057, 9, 154, 8, 12, 34islindf2 21852 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑗𝐼𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
206167, 12, 165frlmbasf 21798 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑋𝑥𝐿) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
2072063ad2antl2 1185 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
208207ffnd 6738 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑥 Fn 𝐼)
209 fnconstg 6797 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼)
210197, 209ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼
211 eqfnfv 7051 . . . . . 6 ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ ∀𝑗𝐼 (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
212208, 210, 211sylancl 586 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ ∀𝑗𝐼 (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
213212imbi2d 340 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑥𝐿) → (((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗𝐼 (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
214213ralbidva 3174 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗𝐼 (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
215 r19.21v 3178 . . . . 5 (∀𝑗𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗𝐼 (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
216215ralbii 3091 . . . 4 (∀𝑥𝐿𝑗𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗𝐼 (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
217 ralcom 3287 . . . 4 (∀𝑥𝐿𝑗𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐼𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
218216, 217bitr3i 277 . . 3 (∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗𝐼 (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐼𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
219214, 218bitrdi 287 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ∀𝑗𝐼𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0 → (𝑥𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
220204, 205, 2193bitr4d 311 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥f · 𝐹)) = 0𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  CMndccmn 19813  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987   freeLMod cfrlm 21784   LIndF clindf 21842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lbs 21092  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-uvc 21821  df-lindf 21844
This theorem is referenced by:  islindf5  21877  islinds5  33375  islbs5  33388  fedgmul  33659  matunitlindflem1  37603  aacllem  49032
  Copyright terms: Public domain W3C validator