Theorem islindf4 21820

Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf4.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
islindf4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islindf4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
islindf4.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
islindf4.l	⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
islindf4	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥, 0

Proof of Theorem islindf4

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raldifsni 4735	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌))
2		simpll1 1219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simprll 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑙 ∈ (Base‘𝑅))
4		ffvelcdm 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
5	4	3ad2antl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
7		islindf4.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		islindf4.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		islindf4.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
11		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	lmodvsinv 21033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
14	2, 3, 6, 13	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
15	14	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))))
16		lmodgrp 20864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
17	2, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ Grp)
18	7, 8, 9, 12	lmodvscl 20875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵) → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵)
19	2, 3, 6, 18	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵)
20		islindf4.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		lmodcmn 20907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
22	2, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ CMnd)
23		simpll2 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
24		difexg 5264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑋 → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
26		simprlr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))
27		elmapi 8793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → 𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅))
29		simpll3 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
30		difss 4073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝐼
31		fssres 6700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶𝐵 ∧ (𝐼 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝐼) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
32	29, 30, 31	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
33	8, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25	lcomf 20898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
34		islindf4.y	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
35		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 finSupp 𝑌)
36	8, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35	lcomfsupp 20899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) finSupp 0 )
37	7, 20, 22, 25, 33, 36	gsumcl 19888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∈ 𝐵)
38		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
39	7, 38, 20, 10	grpinvid2 18966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ))
40	17, 19, 37, 39	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ))
41		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑗 ∈ 𝐼)
42		fsnunf2 7137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}):𝐼⟶(Base‘𝑅))
43	28, 41, 3, 42	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}):𝐼⟶(Base‘𝑅))
44	8, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23	lcomf 20898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹):𝐼⟶𝐵)
45		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑗 ∈ 𝐼)
46		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 ∈ (Base‘𝑅))
47	45, 46	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)))
48		elmapfun 8810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → Fun 𝑦)
49		fdm 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}))
50		neldifsnd 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗}))
51		df-nel 3040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∉ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
52		eleq2 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
53	52	notbid 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
54	51, 53	bitrid 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∉ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
55	50, 54	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → 𝑗 ∉ dom 𝑦)
56	27, 49, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → 𝑗 ∉ dom 𝑦)
57	48, 56	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
60	47, 59	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)))
61		funsnfsupp 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 ↔ 𝑦 finSupp 𝑌))
62	61	bicomd 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)) → (𝑦 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑦 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
64	63	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑦 finSupp 𝑌 → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
65	64	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌)
66	8, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 65	lcomfsupp 20899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) finSupp 0 )
67		disjdifr 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅)
69		difsnid 4748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐼)
70	69	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
71	41, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
72	7, 20, 38, 22, 23, 44, 66, 68, 71	gsumsplit 19901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))(+g‘𝑊)(𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}))))
73		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
74		snex 5375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑗, 𝑙⟩} ∈ V
75	73, 74	unex 7694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∈ V
76		simpl3 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
77		simpl2 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
78	76, 77	fexd 7178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ V)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹 ∈ V)
80		offres 7932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
81	75, 79, 80	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
82	28	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}))
83		neldifsn 4732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})
84		fsnunres 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = 𝑦)
85	82, 83, 84	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = 𝑦)
86	85	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
87	81, 86	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
88	87	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
89	44	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐼)
90		fnressn 7108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩})
91	89, 41, 90	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩})
92	43	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) Fn 𝐼)
93	29	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹 Fn 𝐼)
94		fnfvof 7644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) Fn 𝐼 ∧ 𝐹 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)))
95	92, 93, 23, 41, 94	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)))
96		fndm 6595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}))
97	96	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
98	83, 97	mtbiri 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
99		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑗 ∈ V
100		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑙 ∈ V
101		fsnunfv 7138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ V ∧ ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
102	99, 100, 101	mp3an12 1459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
103	82, 98, 102	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
104	103	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
105	95, 104	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
106	105	opeq2d 4818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩ = ⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩)
107	106	sneqd 4574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩} = {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩})
108		ovex 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ V
109		fmptsn 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ V ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ V) → {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
110	99, 108, 109	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
112	91, 107, 111	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
113	112	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗})) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))))
114		cmnmnd 19770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ CMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
115	2, 21, 114	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ Mnd)
116	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑗 ∈ V)
117		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
118	7, 117	gsumsn 19927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑗 ∈ V ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵) → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
119	115, 116, 19, 118	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
120	113, 119	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗})) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
121	88, 120	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))(+g‘𝑊)(𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}))) = ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
122	72, 121	eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)))
123	122	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
124	15, 40, 123	3bitrd 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
125	103	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑙 = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗))
126	125	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑙 = 𝑌 ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))
127	124, 126	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
128	127	anassrs 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
129	128	pm5.74da 809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌)) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
130		impexp 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌)))
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌))))
132	63	bicomd 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 ↔ 𝑦 finSupp 𝑌))
133	132	imbi1d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
134	129, 131, 133	3bitr4d 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
135	134	2ralbidva 3202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
136		breq1 5082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
137		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥 ∘f · 𝐹) = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹))
138	137	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)))
139	138	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
140		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥‘𝑗) = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗))
141	140	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑥‘𝑗) = 𝑌 ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))
142	139, 141	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
143	136, 142	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
144	143	ralxpmap 8841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
145	144	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
146	135, 145	bitr4d 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌))))
147		breq1 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 finSupp 𝑌 ↔ 𝑥 finSupp 𝑌))
148	147	ralrab 3642	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
149	146, 148	bitr4di 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
150		resima 5974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))
151	150	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})) = ((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))
152	151	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗})))
153	152	eleq2i 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
154		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
155	76, 30, 31	sylancl 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
156		simpl1 1198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
157	24	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
159	154, 7, 12, 8, 34, 9, 155, 156, 158	ellspd 21784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))))
160	153, 159	bitrid 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))))
161	160	imbi1d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
162		r19.23v 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌))
163	161, 162	bitr4di 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
164	163	ralbidv 3163	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
165		islindf4.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
166	8	fvexi 6848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 ∈ V
167		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
168		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌}
169	167, 12, 34, 168	frlmbas 21737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
170	166, 169	mpan 696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑋 → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
171	170	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
172	171	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
173	165, 172	eqtr4id 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐿 = {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌})
174	173	raleqdv 3298	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
175	149, 164, 174	3bitr4d 312	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
176	1, 175	bitrid 284	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
177	8	lmodfgrp 20866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
178	12, 34, 11	grpinvnzcl 18985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
179	177, 178	sylan 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
180	12, 34, 11	grpinvnzcl 18985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
181	177, 180	sylan 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
182		eldifi 4068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
183	12, 11	grpinvinv 18979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)) = 𝑘)
184	177, 182, 183	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)) = 𝑘)
185	184	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)))
186		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((invg‘𝑅)‘𝑘) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)))
187	186	rspceeqv 3590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ∧ 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘))) → ∃𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙))
188	181, 185, 187	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ∃𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙))
189		oveq1 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) = (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)))
190	189	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
191	190	notbid 319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → (¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
192	191	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙)) → (¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
193	179, 188, 192	ralxfrd 5344	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
194	193	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
195	194	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
196		simplr 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑗 ∈ 𝐼)
197	34	fvexi 6848	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ V
198	197	fvconst2 7155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) = 𝑌)
199	196, 198	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) = 𝑌)
200	199	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ((𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) ↔ (𝑥‘𝑗) = 𝑌))
201	200	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
202	201	ralbidva 3161	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
203	176, 195, 202	3bitr4d 312	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
204	203	ralbidva 3161	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
205	7, 9, 154, 8, 12, 34	islindf2 21796	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
206	167, 12, 165	frlmbasf 21742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
207	206	3ad2antl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
208	207	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 Fn 𝐼)
209		fnconstg 6722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼)
210	197, 209	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼
211		eqfnfv 6978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
212	208, 210, 211	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
213	212	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
214	213	ralbidva 3161	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
215		r19.21v 3165	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
216	215	ralbii 3086	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
217		ralcom 3268	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
218	216, 217	bitr3i 278	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
219	214, 218	bitrdi 288	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
220	204, 205, 219	3bitr4d 312	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3039  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   “ cima 5628  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625   ↑_m cmap 8770   finSupp cfsupp 9271  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908  CMndccmn 19753  LModclmod 20857  LSpanclspn 20968   freeLMod cfrlm 21728   LIndF clindf 21786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-nzr 20492  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lmhm 21019  df-lbs 21072  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-dsmm 21714  df-frlm 21729  df-uvc 21765  df-lindf 21788

This theorem is referenced by:  islindf5  21821  islinds5  33457  islbs5  33470  fedgmul  33822  extdgfialglem1  33883  matunitlindflem1  37990  aacllem  50298