Theorem islindf4 20955

Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf4.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
islindf4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islindf4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
islindf4.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
islindf4.l	⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
islindf4	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥, 0

Proof of Theorem islindf4

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raldifsni 4725	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌))
2		simpll1 1210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simprll 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑙 ∈ (Base‘𝑅))
4		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
5	4	3ad2antl3 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
7		islindf4.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		islindf4.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		islindf4.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
11		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	lmodvsinv 20213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
14	2, 3, 6, 13	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
15	14	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))))
16		lmodgrp 20045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
17	2, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ Grp)
18	7, 8, 9, 12	lmodvscl 20055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵) → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵)
19	2, 3, 6, 18	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵)
20		islindf4.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		lmodcmn 20086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
22	2, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ CMnd)
23		simpll2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
24		difexg 5246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑋 → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
26		simprlr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))
27		elmapi 8595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → 𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅))
29		simpll3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
30		difss 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝐼
31		fssres 6624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶𝐵 ∧ (𝐼 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝐼) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
32	29, 30, 31	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
33	8, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25	lcomf 20077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
34		islindf4.y	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
35		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 finSupp 𝑌)
36	8, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35	lcomfsupp 20078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) finSupp 0 )
37	7, 20, 22, 25, 33, 36	gsumcl 19431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∈ 𝐵)
38		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
39	7, 38, 20, 10	grpinvid2 18546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ))
40	17, 19, 37, 39	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ))
41		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑗 ∈ 𝐼)
42		fsnunf2 7040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}):𝐼⟶(Base‘𝑅))
43	28, 41, 3, 42	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}):𝐼⟶(Base‘𝑅))
44	8, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23	lcomf 20077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹):𝐼⟶𝐵)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑗 ∈ 𝐼)
46		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 ∈ (Base‘𝑅))
47	45, 46	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)))
48		elmapfun 8612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → Fun 𝑦)
49		fdm 6593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}))
50		neldifsnd 4723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗}))
51		df-nel 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∉ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
52		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
53	52	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
54	51, 53	syl5bb 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∉ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
55	50, 54	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → 𝑗 ∉ dom 𝑦)
56	27, 49, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → 𝑗 ∉ dom 𝑦)
57	48, 56	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
60	47, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)))
61		funsnfsupp 9082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 ↔ 𝑦 finSupp 𝑌))
62	61	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)) → (𝑦 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑦 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
64	63	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑦 finSupp 𝑌 → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
65	64	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌)
66	8, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 65	lcomfsupp 20078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) finSupp 0 )
67		disjdifr 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅)
69		difsnid 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐼)
70	69	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
71	41, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
72	7, 20, 38, 22, 23, 44, 66, 68, 71	gsumsplit 19444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))(+g‘𝑊)(𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}))))
73		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
74		snex 5349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑗, 𝑙⟩} ∈ V
75	73, 74	unex 7574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∈ V
76		simpl3 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
77		simpl2 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
78	76, 77	fexd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ V)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹 ∈ V)
80		offres 7799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
81	75, 79, 80	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
82	28	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}))
83		neldifsn 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})
84		fsnunres 7042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = 𝑦)
85	82, 83, 84	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = 𝑦)
86	85	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
87	81, 86	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
88	87	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
89	44	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐼)
90		fnressn 7012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩})
91	89, 41, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩})
92	43	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) Fn 𝐼)
93	29	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹 Fn 𝐼)
94		fnfvof 7528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) Fn 𝐼 ∧ 𝐹 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)))
95	92, 93, 23, 41, 94	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)))
96		fndm 6520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}))
97	96	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
98	83, 97	mtbiri 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
99		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑗 ∈ V
100		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑙 ∈ V
101		fsnunfv 7041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ V ∧ ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
102	99, 100, 101	mp3an12 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
103	82, 98, 102	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
104	103	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
105	95, 104	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
106	105	opeq2d 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩ = ⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩)
107	106	sneqd 4570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩} = {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩})
108		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ V
109		fmptsn 7021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ V ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ V) → {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
110	99, 108, 109	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
112	91, 107, 111	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
113	112	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗})) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))))
114		cmnmnd 19317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ CMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
115	2, 21, 114	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ Mnd)
116	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑗 ∈ V)
117		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
118	7, 117	gsumsn 19470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑗 ∈ V ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵) → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
119	115, 116, 19, 118	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
120	113, 119	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗})) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
121	88, 120	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))(+g‘𝑊)(𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}))) = ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
122	72, 121	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)))
123	122	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
124	15, 40, 123	3bitrd 304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
125	103	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑙 = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗))
126	125	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑙 = 𝑌 ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))
127	124, 126	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
128	127	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
129	128	pm5.74da 800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌)) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
130		impexp 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌)))
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌))))
132	63	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 ↔ 𝑦 finSupp 𝑌))
133	132	imbi1d 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
134	129, 131, 133	3bitr4d 310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
135	134	2ralbidva 3121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
136		breq1 5073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
137		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥 ∘f · 𝐹) = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹))
138	137	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)))
139	138	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
140		fveq1 6755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥‘𝑗) = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗))
141	140	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑥‘𝑗) = 𝑌 ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))
142	139, 141	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
143	136, 142	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
144	143	ralxpmap 8642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
145	144	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
146	135, 145	bitr4d 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌))))
147		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 finSupp 𝑌 ↔ 𝑥 finSupp 𝑌))
148	147	ralrab 3623	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
149	146, 148	bitr4di 288	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
150		resima 5914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))
151	150	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})) = ((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))
152	151	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗})))
153	152	eleq2i 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
154		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
155	76, 30, 31	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
156		simpl1 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
157	24	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
158	157	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
159	154, 7, 12, 8, 34, 9, 155, 156, 158	ellspd 20919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))))
160	153, 159	syl5bb 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))))
161	160	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
162		r19.23v 3207	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌))
163	161, 162	bitr4di 288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
164	163	ralbidv 3120	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
165		islindf4.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
166	8	fvexi 6770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 ∈ V
167		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
168		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌}
169	167, 12, 34, 168	frlmbas 20872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
170	166, 169	mpan 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑋 → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
171	170	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
172	171	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
173	165, 172	eqtr4id 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐿 = {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌})
174	173	raleqdv 3339	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
175	149, 164, 174	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
176	1, 175	syl5bb 282	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
177	8	lmodfgrp 20047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
178	12, 34, 11	grpinvnzcl 18562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
179	177, 178	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
180	12, 34, 11	grpinvnzcl 18562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
181	177, 180	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
182		eldifi 4057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
183	12, 11	grpinvinv 18557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)) = 𝑘)
184	177, 182, 183	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)) = 𝑘)
185	184	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)))
186		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((invg‘𝑅)‘𝑘) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)))
187	186	rspceeqv 3567	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ∧ 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘))) → ∃𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙))
188	181, 185, 187	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ∃𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙))
189		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) = (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)))
190	189	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
191	190	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → (¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
192	191	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙)) → (¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
193	179, 188, 192	ralxfrd 5326	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
194	193	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
195	194	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
196		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑗 ∈ 𝐼)
197	34	fvexi 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ V
198	197	fvconst2 7061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) = 𝑌)
199	196, 198	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) = 𝑌)
200	199	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ((𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) ↔ (𝑥‘𝑗) = 𝑌))
201	200	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
202	201	ralbidva 3119	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
203	176, 195, 202	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
204	203	ralbidva 3119	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
205	7, 9, 154, 8, 12, 34	islindf2 20931	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
206	167, 12, 165	frlmbasf 20877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
207	206	3ad2antl2 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
208	207	ffnd 6585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 Fn 𝐼)
209		fnconstg 6646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼)
210	197, 209	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼
211		eqfnfv 6891	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
212	208, 210, 211	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
213	212	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
214	213	ralbidva 3119	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
215		r19.21v 3100	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
216	215	ralbii 3090	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
217		ralcom 3280	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
218	216, 217	bitr3i 276	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
219	214, 218	bitrdi 286	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
220	204, 205, 219	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   “ cima 5583  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  CMndccmn 19301  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148   freeLMod cfrlm 20863   LIndF clindf 20921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lmhm 20199  df-lbs 20252  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-nzr 20442  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-uvc 20900  df-lindf 20923

This theorem is referenced by:  islindf5  20956  islinds5  31465  fedgmul  31614  matunitlindflem1  35700  aacllem  46391