Theorem islindf4 22057

Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf4.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
islindf4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islindf4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
islindf4.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
islindf4.l	⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
islindf4	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥, 0

Proof of Theorem islindf4

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raldifsni 4761	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌))
2		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑙 ∈ (Base‘𝑅))
4		ffvelcdm 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
5	4	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵)
7		islindf4.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		islindf4.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		islindf4.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
11		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	lmodvsinv 21226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
14	2, 3, 6, 13	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
15	14	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))))
16		lmodgrp 21057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
17	2, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ Grp)
18	7, 8, 9, 12	lmodvscl 21068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝐵) → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵)
19	2, 3, 6, 18	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵)
20		islindf4.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21		lmodcmn 21100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
22	2, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ CMnd)
23		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
24		difexg 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑋 → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
26		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))
27		elmapi 8852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → 𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅))
29		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
30		difss 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝐼
31		fssres 6745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶𝐵 ∧ (𝐼 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝐼) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
32	29, 30, 31	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
33	8, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25	lcomf 21091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
34		islindf4.y	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
35		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 finSupp 𝑌)
36	8, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35	lcomfsupp 21092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) finSupp 0 )
37	7, 20, 22, 25, 33, 36	gsumcl 20048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∈ 𝐵)
38		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
39	7, 38, 20, 10	grpinvid2 19122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ))
40	17, 19, 37, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((invg‘𝑊)‘(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ))
41		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑗 ∈ 𝐼)
42		fsnunf2 7188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}):𝐼⟶(Base‘𝑅))
43	28, 41, 3, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}):𝐼⟶(Base‘𝑅))
44	8, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23	lcomf 21091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹):𝐼⟶𝐵)
45		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑗 ∈ 𝐼)
46		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 ∈ (Base‘𝑅))
47	45, 46	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)))
48		elmapfun 8871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → Fun 𝑦)
49		fdm 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦:(𝐼 ∖ {𝑗})⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}))
50		neldifsnd 4759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗}))
51		df-nel 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∉ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
52		eleq2 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
53	52	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
54	51, 53	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∉ dom 𝑦 ↔ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
55	50, 54	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}) → 𝑗 ∉ dom 𝑦)
56	27, 49, 55	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → 𝑗 ∉ dom 𝑦)
57	48, 56	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
59	58	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦))
60	47, 59	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)))
61		funsnfsupp 9366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 ↔ 𝑦 finSupp 𝑌))
62	61	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (Fun 𝑦 ∧ 𝑗 ∉ dom 𝑦)) → (𝑦 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
63	60, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑦 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
64	63	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (𝑦 finSupp 𝑌 → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
65	64	impr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌)
66	8, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 65	lcomfsupp 21092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) finSupp 0 )
67		disjdifr 4430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅)
69		difsnid 4774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐼)
70	69	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
71	41, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
72	7, 20, 38, 22, 23, 44, 66, 68, 71	gsumsplit 20061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = ((𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))(+g‘𝑊)(𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}))))
73		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
74		snex 5408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑗, 𝑙⟩} ∈ V
75	73, 74	unex 7750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∈ V
76		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
77		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
78	76, 77	fexd 7230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ V)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹 ∈ V)
80		offres 7984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
81	75, 79, 80	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
82	28	ffnd 6707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}))
83		neldifsn 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})
84		fsnunres 7190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = 𝑦)
85	82, 83, 84	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = 𝑦)
86	85	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
87	81, 86	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
88	87	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
89	44	ffnd 6707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐼)
90		fnressn 7159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩})
91	89, 41, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩})
92	43	ffnd 6707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) Fn 𝐼)
93	29	ffnd 6707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝐹 Fn 𝐼)
94		fnfvof 7699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) Fn 𝐼 ∧ 𝐹 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)))
95	92, 93, 23, 41, 94	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)))
96		fndm 6639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → dom 𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑗}))
97	96	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → (𝑗 ∈ dom 𝑦 ↔ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑗})))
98	83, 97	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 Fn (𝐼 ∖ {𝑗}) → ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦)
99		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑗 ∈ V
100		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑙 ∈ V
101		fsnunfv 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑗 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ V ∧ ¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
102	99, 100, 101	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑗 ∈ dom 𝑦 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
103	82, 98, 102	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑙)
104	103	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
105	95, 104	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
106	105	opeq2d 4843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩ = ⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩)
107	106	sneqd 4599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → {⟨𝑗, (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)‘𝑗)⟩} = {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩})
108		ovex 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ V
109		fmptsn 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑗 ∈ V ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ V) → {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
110	99, 108, 109	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → {⟨𝑗, (𝑙 · (𝐹‘𝑗))⟩} = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
112	91, 107, 111	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}) = (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
113	112	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗})) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))))
114		cmnmnd 19930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ CMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
115	2, 21, 114	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑊 ∈ Mnd)
116	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑗 ∈ V)
117		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
118	7, 117	gsumsn 20087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑗 ∈ V ∧ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)) ∈ 𝐵) → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
119	115, 116, 19, 118	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ {𝑗} ↦ (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
120	113, 119	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗})) = (𝑙 · (𝐹‘𝑗)))
121	88, 120	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))(+g‘𝑊)(𝑊 Σg (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹) ↾ {𝑗}))) = ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))))
122	72, 121	eqtr2d 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)))
123	122	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))(+g‘𝑊)(𝑙 · (𝐹‘𝑗))) = 0 ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
124	15, 40, 123	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
125	103	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → 𝑙 = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗))
126	125	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (𝑙 = 𝑌 ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))
127	124, 126	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌)) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
128	127	anassrs 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) ∧ 𝑦 finSupp 𝑌) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
129	128	pm5.74da 816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌)) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
130		impexp 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌)))
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))) → 𝑙 = 𝑌))))
132	63	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 ↔ 𝑦 finSupp 𝑌))
133	132	imbi1d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)) ↔ (𝑦 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
134	129, 131, 133	3bitr4d 314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ (𝑙 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗})))) → (((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
135	134	2ralbidva 3226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
136		breq1 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥 finSupp 𝑌 ↔ (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌))
137		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥 ∘f · 𝐹) = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹))
138	137	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)))
139	138	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 ↔ (𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 ))
140		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (𝑥‘𝑗) = ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗))
141	140	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑥‘𝑗) = 𝑌 ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))
142	139, 141	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌)))
143	136, 142	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) → ((𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
144	143	ralxpmap 8907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
145	144	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩}) ∘f · 𝐹)) = 0 → ((𝑦 ∪ {⟨𝑗, 𝑙⟩})‘𝑗) = 𝑌))))
146	135, 145	bitr4d 285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌))))
147		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 finSupp 𝑌 ↔ 𝑥 finSupp 𝑌))
148	147	ralrab 3655	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)(𝑥 finSupp 𝑌 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
149	146, 148	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
150		resima 6012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗})) = (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))
151	150	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})) = ((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))
152	151	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗})))
153	152	eleq2i 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))))
154		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
155	76, 30, 31	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})):(𝐼 ∖ {𝑗})⟶𝐵)
156		simpl1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
157	24	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
158	157	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑗}) ∈ V)
159	154, 7, 12, 8, 34, 9, 155, 156, 158	ellspd 22021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})) “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))))
160	153, 159	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗})))))))
161	160	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
162		r19.23v 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))(𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌))
163	161, 162	bitr4di 292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
164	163	ralbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 ∖ {𝑗}))((𝑦 finSupp 𝑌 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) = (𝑊 Σg (𝑦 ∘f · (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ {𝑗}))))) → 𝑙 = 𝑌)))
165		islindf4.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
166	8	fvexi 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 ∈ V
167		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
168		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌}
169	167, 12, 34, 168	frlmbas 21974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
170	166, 169	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑋 → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
171	170	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
172	171	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
173	165, 172	eqtr4id 2816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝐿 = {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌})
174	173	raleqdv 3321	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑧 finSupp 𝑌} ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
175	149, 164, 174	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ (Base‘𝑅)((((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) → 𝑙 = 𝑌) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
176	1, 175	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
177	8	lmodfgrp 21059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
178	12, 34, 11	grpinvnzcl 19140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
179	177, 178	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
180	12, 34, 11	grpinvnzcl 19140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
181	177, 180	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}))
182		eldifi 4081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
183	12, 11	grpinvinv 19135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)) = 𝑘)
184	177, 182, 183	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)) = 𝑘)
185	184	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)))
186		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((invg‘𝑅)‘𝑘) → ((invg‘𝑅)‘𝑙) = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘)))
187	186	rspceeqv 3602	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝑅)‘𝑘) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ∧ 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘𝑘))) → ∃𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙))
188	181, 185, 187	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})) → ∃𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌})𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙))
189		oveq1 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) = (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)))
190	189	eleq1d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
191	190	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙) → (¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
192	191	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 = ((invg‘𝑅)‘𝑙)) → (¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
193	179, 188, 192	ralxfrd 5377	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
194	193	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
195	194	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (((invg‘𝑅)‘𝑙) · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
196		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑗 ∈ 𝐼)
197	34	fvexi 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ V
198	197	fvconst2 7207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) = 𝑌)
199	196, 198	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) = 𝑌)
200	199	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ((𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗) ↔ (𝑥‘𝑗) = 𝑌))
201	200	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
202	201	ralbidva 3185	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = 𝑌)))
203	176, 195, 202	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
204	203	ralbidva 3185	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗}))) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
205	7, 9, 154, 8, 12, 34	islindf2 22033	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {𝑌}) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑗)) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑗})))))
206	167, 12, 165	frlmbasf 21979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
207	206	3ad2antl2 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
208	207	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 Fn 𝐼)
209		fnconstg 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼)
210	197, 209	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼
211		eqfnfv 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {𝑌}) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
212	208, 210, 211	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
213	212	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
214	213	ralbidva 3185	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
215		r19.21v 3189	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
216	215	ralbii 3110	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
217		ralcom 3292	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
218	216, 217	bitr3i 280	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗)))
219	214, 218	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → (𝑥‘𝑗) = ((𝐼 × {𝑌})‘𝑗))))
220	204, 205, 219	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680   ↑_m cmap 8830   finSupp cfsupp 9335  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  Mndcmnd 18842  Grpcgrp 19063  inv_gcminusg 19064  CMndccmn 19913  LModclmod 21050  LSpanclspn 21161   freeLMod cfrlm 21965   LIndF clindf 22023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-nzr 20679  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lmhm 21212  df-lbs 21265  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-uvc 22002  df-lindf 22025

This theorem is used by:  islindf5  22058  matunitlindflem1  22907  islinds5  33810  islbs5  33821  fedgmul  34149  extdgfialglem1  34210  aacllem  50780  nellindf  50811