Theorem fsets 16798

Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsets	⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem fsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4062	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2		fssres 6624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
3	1, 2	mpan2 687	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4		ffn 6584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fnresdm 6535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
7	6	reseq1d 5879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
8		resres 5893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
9		invdif 4199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
10	9	reseq2i 5877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
11	8, 10	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
12	7, 11	eqtr3di 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
13	12	feq1d 6569	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
14	3, 13	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16		fsnunf2 7040	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
17	15, 16	syl3an1 1161	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
18		simp1l 1195	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑉)
19		simp3 1136	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		setsval 16796	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
21	20	feq1d 6569	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
22	18, 19, 21	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
23	17, 22	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↾ cres 5582   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   sSet csts 16792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-sets 16793

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  21677