Theorem fsets 17110

Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsets	⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem fsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2		fssres 6710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
3	1, 2	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4		ffn 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fnresdm 6621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
7	6	reseq1d 5947	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
8		resres 5961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
9		invdif 4233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
10	9	reseq2i 5945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
11	8, 10	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
12	7, 11	eqtr3di 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
13	12	feq1d 6654	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
14	3, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16		fsnunf2 7144	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
17	15, 16	syl3an1 1164	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
18		simp1l 1199	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑉)
19		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		setsval 17108	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
21	20	feq1d 6654	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
22	18, 19, 21	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
23	17, 22	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ⟨cop 4588   ↾ cres 5636   Fn wfn 6497  ⟶wf 6498  (class class class)co 7370   sSet csts 17104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-sets 17105

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22581