MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsets 17206
Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsets (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵)

Proof of Theorem fsets
StepHypRef Expression
1 difss 4136 . . . . . 6 (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2 fssres 6774 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
31, 2mpan2 691 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4 ffn 6736 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
5 fnresdm 6687 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
76reseq1d 5996 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
8 resres 6010 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
9 invdif 4279 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
109reseq2i 5994 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
118, 10eqtri 2765 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
127, 11eqtr3di 2792 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
1312feq1d 6720 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
143, 13mpbird 257 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
1514adantl 481 . . 3 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16 fsnunf2 7206 . . 3 (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵)
1715, 16syl3an1 1164 . 2 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵)
18 simp1l 1198 . . 3 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝐹𝑉)
19 simp3 1139 . . 3 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
20 setsval 17204 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2120feq1d 6720 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵))
2218, 19, 21syl2anc 584 . 2 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵))
2317, 22mpbird 257 1 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626  cop 4632  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  (class class class)co 7431   sSet csts 17200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sets 17201
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22626
  Copyright terms: Public domain W3C validator