MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsets 16722
Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsets (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵)

Proof of Theorem fsets
StepHypRef Expression
1 difss 4046 . . . . . 6 (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2 fssres 6585 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
31, 2mpan2 691 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4 ffn 6545 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
5 fnresdm 6496 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
76reseq1d 5850 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
8 resres 5864 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
9 invdif 4183 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
109reseq2i 5848 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
118, 10eqtri 2765 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
127, 11eqtr3di 2793 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
1312feq1d 6530 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
143, 13mpbird 260 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
1514adantl 485 . . 3 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16 fsnunf2 7001 . . 3 (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵)
1715, 16syl3an1 1165 . 2 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵)
18 simp1l 1199 . . 3 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝐹𝑉)
19 simp3 1140 . . 3 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
20 setsval 16720 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2120feq1d 6530 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵))
2218, 19, 21syl2anc 587 . 2 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵))
2317, 22mpbird 260 1 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  {csn 4541  cop 4547  cres 5553   Fn wfn 6375  wf 6376  (class class class)co 7213   sSet csts 16716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-sets 16717
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  21517
  Copyright terms: Public domain W3C validator