Theorem fsets 17308

Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsets	⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem fsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4082	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2		fssres 6736	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
3	1, 2	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4		ffn 6697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fnresdm 6646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
7	6	reseq1d 5965	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
8		resres 5979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
9		invdif 4224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
10	9	reseq2i 5963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
11	8, 10	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
12	7, 11	eqtr3di 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
13	12	feq1d 6679	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
14	3, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
15	14	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16		fsnunf2 7179	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
17	15, 16	syl3an1 1181	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
18		simp1l 1216	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑉)
19		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		setsval 17306	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
21	20	feq1d 6679	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
22	18, 19, 21	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
23	17, 22	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↾ cres 5649   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  (class class class)co 7408   sSet csts 17302

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-sets 17303

This theorem is used by:  mdetunilem9  22896