Theorem fsets 17203

Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsets	⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem fsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2		fssres 6775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
3	1, 2	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4		ffn 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fnresdm 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
7	6	reseq1d 5999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
8		resres 6013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
9		invdif 4285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
10	9	reseq2i 5997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
11	8, 10	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
12	7, 11	eqtr3di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
13	12	feq1d 6721	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
14	3, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16		fsnunf2 7206	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
17	15, 16	syl3an1 1162	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
18		simp1l 1196	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑉)
19		simp3 1137	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		setsval 17201	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
21	20	feq1d 6721	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
22	18, 19, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
23	17, 22	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ⟨cop 4637   ↾ cres 5691   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431   sSet csts 17197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sets 17198

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22642