Theorem fsets 16349

Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsets	⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem fsets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4035	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2		fssres 6419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
3	1, 2	mpan2 687	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4		resres 5754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
5		invdif 4171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
6	5	reseq2i 5738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
7	4, 6	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
8		ffn 6389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
9		fnresdm 6343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
11	10	reseq1d 5740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
12	7, 11	syl5reqr 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
13	12	feq1d 6374	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
14	3, 13	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
15	14	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16		fsnunf2 6822	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
17	15, 16	syl3an1 1156	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵)
18		simp1l 1190	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝑉)
19		simp3 1131	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		setsval 16346	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
21	20	feq1d 6374	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
22	18, 19, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴⟶𝐵))
23	17, 22	mpbird 258	1 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862   ∪ cun 3863   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865  {csn 4478  ⟨cop 4484   ↾ cres 5452   Fn wfn 6227  ⟶wf 6228  (class class class)co 7023   sSet csts 16314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-sets 16323

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  20917