Theorem ftp 7156

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftp.a	⊢ 𝐴 ∈ V
ftp.b	⊢ 𝐵 ∈ V
ftp.c	⊢ 𝐶 ∈ V
ftp.d	⊢ 𝑋 ∈ V
ftp.e	⊢ 𝑌 ∈ V
ftp.f	⊢ 𝑍 ∈ V
ftp.g	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
ftp.h	⊢ 𝐴 ≠ 𝐶
ftp.i	⊢ 𝐵 ≠ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
ftp	⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}

Proof of Theorem ftp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ftp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ftp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)
5		ftp.d	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
6		ftp.e	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ V
7		ftp.f	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)
9		ftp.g	. . 3 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
10		ftp.h	. . 3 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐶
11		ftp.i	. . 3 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐶
12	9, 10, 11	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)
13		ftpg 7155	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
14	4, 8, 12, 13	mp3an 1490	1 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}

Syntax hints:   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {ctp 4594  ⟨cop 4596  ⟶wf 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545

This theorem is referenced by:  rabren3dioph  43522  nnsum4primesodd  48538  nnsum4primesoddALTV  48539