MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftp 7176
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftp.a 𝐴 ∈ V
ftp.b 𝐵 ∈ V
ftp.c 𝐶 ∈ V
ftp.d 𝑋 ∈ V
ftp.e 𝑌 ∈ V
ftp.f 𝑍 ∈ V
ftp.g 𝐴𝐵
ftp.h 𝐴𝐶
ftp.i 𝐵𝐶
Assertion
Ref Expression
ftp {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}

Proof of Theorem ftp
StepHypRef Expression
1 ftp.a . . 3 𝐴 ∈ V
2 ftp.b . . 3 𝐵 ∈ V
3 ftp.c . . 3 𝐶 ∈ V
41, 2, 33pm3.2i 1339 . 2 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)
5 ftp.d . . 3 𝑋 ∈ V
6 ftp.e . . 3 𝑌 ∈ V
7 ftp.f . . 3 𝑍 ∈ V
85, 6, 73pm3.2i 1339 . 2 (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)
9 ftp.g . . 3 𝐴𝐵
10 ftp.h . . 3 𝐴𝐶
11 ftp.i . . 3 𝐵𝐶
129, 10, 113pm3.2i 1339 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)
13 ftpg 7175 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
144, 8, 12, 13mp3an 1462 1 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1086  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  {ctp 4629  cop 4631  wf 6556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567
This theorem is referenced by:  rabren3dioph  42831  nnsum4primesodd  47788  nnsum4primesoddALTV  47789
  Copyright terms: Public domain W3C validator