Theorem ftp 7147

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftp.a	⊢ 𝐴 ∈ V
ftp.b	⊢ 𝐵 ∈ V
ftp.c	⊢ 𝐶 ∈ V
ftp.d	⊢ 𝑋 ∈ V
ftp.e	⊢ 𝑌 ∈ V
ftp.f	⊢ 𝑍 ∈ V
ftp.g	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
ftp.h	⊢ 𝐴 ≠ 𝐶
ftp.i	⊢ 𝐵 ≠ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
ftp	⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}

Proof of Theorem ftp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ftp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ftp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)
5		ftp.d	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
6		ftp.e	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ V
7		ftp.f	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)
9		ftp.g	. . 3 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
10		ftp.h	. . 3 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐶
11		ftp.i	. . 3 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐶
12	9, 10, 11	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)
13		ftpg 7146	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
14	4, 8, 12, 13	mp3an 1457	1 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}

Syntax hints:   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466  {ctp 4624  ⟨cop 4626  ⟶wf 6529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-br 5139  df-opab 5201  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540

This theorem is referenced by:  rabren3dioph  42042  nnsum4primesodd  46949  nnsum4primesoddALTV  46950