Theorem nnsum4primesoddALTV 45979

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 7 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesoddALTV	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesoddALTV

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (7 < 𝑚 ↔ 7 < 𝑁))
2		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
3	1, 2	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
4	3	rspcv 3577	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
6		eluz2 12769	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ↔ (8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁))
7		7lt8 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 8
8		7re 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
10		8re 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
12		zre 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13		ltletr 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((7 < 8 ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((7 < 8 ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁))
15	7, 14	mpani 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 ≤ 𝑁 → 7 < 𝑁))
16	15	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁)
17	16	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁)
18	6, 17	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) → 7 < 𝑁)
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 7 < 𝑁)
20		pm2.27 42	. . . 4 ⊢ (7 < 𝑁 → ((7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
22		isgbo 45935	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
23		1ex 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ V
24		2ex 12230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ V
25		3ex 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ V
26		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑝 ∈ V
27		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑞 ∈ V
28		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑟 ∈ V
29		1ne2 12361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≠ 2
30		1re 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		1lt3 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 3
32	30, 31	ltneii 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≠ 3
33		2re 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		2lt3 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
35	33, 34	ltneii 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ≠ 3
36	23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35	ftp 7103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38		1p2e3 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 2) = 3
39	38	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 = (1 + 2)
40	39	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
41		1z 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
42		fztp 13497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = 1
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = 1 → 1 = 1)
46		1p1e2 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 + 1) = 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
49	45, 47, 48	tpeq123d 4709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
50	44, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
51	40, 43, 50	3eqtri 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
52	51	feq2i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
53	37, 52	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
55	26, 27, 28	tpss 4795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
56	54, 55	sylbb1 236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
57	53, 56	fssd 6686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58		prmex 16553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℙ ∈ V
59		ovex 7390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...3) ∈ V
60	58, 59	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61		elmapg 8778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
63	57, 62	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)))
64		fveq1 6841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
65	64	sumeq2sdv 15589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
66	65	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
68	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
69	68	sumeq1d 15586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
71	23, 26	fvtp1 7144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
72	29, 32, 71	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
73	70, 72	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
75	24, 27	fvtp2 7145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
76	29, 35, 75	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
77	74, 76	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
79	25, 28	fvtp3 7146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
80	32, 35, 79	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
81	78, 80	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82		prmz 16551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84		prmz 16551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
85	84	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86		prmz 16551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
88	83, 85, 87	3anim123i 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89	88	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90		2z 12535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
91		3z 12536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℤ
92	41, 90, 91	3pm3.2i 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
94	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
95	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
96	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
97	73, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96	sumtp 15634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
98	69, 97	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
99	63, 67, 98	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
100		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
101	100	rexbidv 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
102	99, 101	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
103	102	adantld 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
104	103	rexlimdva 3152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
105	104	rexlimivv 3196	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
106	105	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
107	22, 106	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOdd → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
108	107	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOdd → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
109	5, 21, 108	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
110	109	com12 32	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  {ctp 4590  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190  2c2 12208  3c3 12209  7c7 12213  8c8 12214  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  Σcsu 15570  ℙcprime 16547   Odd codd 45807   GoldbachOdd cgbo 45929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-prm 16548  df-gbo 45932

This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  45983