Theorem nnsum4primesoddALTV 47798

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 7 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesoddALTV	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesoddALTV

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (7 < 𝑚 ↔ 7 < 𝑁))
2		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
3	1, 2	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
4	3	rspcv 3584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
6		eluz2 12799	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ↔ (8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁))
7		7lt8 12373	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 8
8		7re 12279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
10		8re 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
12		zre 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13		ltletr 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((7 < 8 ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((7 < 8 ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁))
15	7, 14	mpani 696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 ≤ 𝑁 → 7 < 𝑁))
16	15	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁)
17	16	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁)
18	6, 17	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) → 7 < 𝑁)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 7 < 𝑁)
20		pm2.27 42	. . . 4 ⊢ (7 < 𝑁 → ((7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((7 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
22		isgbo 47754	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
23		1ex 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ V
24		2ex 12263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ V
25		3ex 12268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ V
26		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑝 ∈ V
27		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑞 ∈ V
28		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑟 ∈ V
29		1ne2 12389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≠ 2
30		1re 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		1lt3 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 3
32	30, 31	ltneii 11287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≠ 3
33		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		2lt3 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
35	33, 34	ltneii 11287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ≠ 3
36	23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35	ftp 7129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38		1p2e3 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 2) = 3
39	38	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 = (1 + 2)
40	39	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
41		1z 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
42		fztp 13541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = 1
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = 1 → 1 = 1)
46		1p1e2 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 + 1) = 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
49	45, 47, 48	tpeq123d 4712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
50	44, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
51	40, 43, 50	3eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
52	51	feq2i 6680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
53	37, 52	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
55	26, 27, 28	tpss 4801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
56	54, 55	sylbb1 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
57	53, 56	fssd 6705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58		prmex 16647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℙ ∈ V
59		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...3) ∈ V
60	58, 59	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61		elmapg 8812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
63	57, 62	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)))
64		fveq1 6857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
65	64	sumeq2sdv 15669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
66	65	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
68	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
69	68	sumeq1d 15666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
71	23, 26	fvtp1 7169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
72	29, 32, 71	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
73	70, 72	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
75	24, 27	fvtp2 7170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
76	29, 35, 75	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
77	74, 76	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
79	25, 28	fvtp3 7171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
80	32, 35, 79	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
81	78, 80	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82		prmz 16645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84		prmz 16645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
85	84	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86		prmz 16645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
88	83, 85, 87	3anim123i 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89	88	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90		2z 12565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
91		3z 12566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℤ
92	41, 90, 91	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
94	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
95	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
96	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
97	73, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96	sumtp 15715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
98	69, 97	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
99	63, 67, 98	rspcedvd 3590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
100		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
101	100	rexbidv 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
102	99, 101	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
103	102	adantld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
104	103	rexlimdva 3134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
105	104	rexlimivv 3179	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
106	105	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
107	22, 106	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOdd → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
108	107	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOdd → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
109	5, 21, 108	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
110	109	com12 32	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {ctp 4593  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℂcc 11066  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  2c2 12241  3c3 12242  7c7 12246  8c8 12247  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  Σcsu 15652  ℙcprime 16641   Odd codd 47626   GoldbachOdd cgbo 47748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-prm 16642  df-gbo 47751

This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  47802