Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum4primesoddALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum4primesoddALTV 46063
Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 7 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesoddALTV (βˆ€π‘š ∈ Odd (7 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOdd ) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,π‘˜,π‘š

Proof of Theorem nnsum4primesoddALTV
Dummy variables 𝑝 π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5114 . . . . . 6 (π‘š = 𝑁 β†’ (7 < π‘š ↔ 7 < 𝑁))
2 eleq1 2826 . . . . . 6 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
31, 2imbi12d 345 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ ((7 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOdd ) ↔ (7 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
43rspcv 3580 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd β†’ (βˆ€π‘š ∈ Odd (7 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOdd ) β†’ (7 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
54adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ (βˆ€π‘š ∈ Odd (7 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOdd ) β†’ (7 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
6 eluz2 12776 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) ↔ (8 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 8 ≀ 𝑁))
7 7lt8 12352 . . . . . . . . 9 7 < 8
8 7re 12253 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 7 ∈ ℝ)
10 8re 12256 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 8 ∈ ℝ)
12 zre 12510 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
13 ltletr 11254 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((7 < 8 ∧ 8 ≀ 𝑁) β†’ 7 < 𝑁))
149, 11, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((7 < 8 ∧ 8 ≀ 𝑁) β†’ 7 < 𝑁))
157, 14mpani 695 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (8 ≀ 𝑁 β†’ 7 < 𝑁))
1615imp 408 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 8 ≀ 𝑁) β†’ 7 < 𝑁)
17163adant1 1131 . . . . . 6 ((8 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 8 ≀ 𝑁) β†’ 7 < 𝑁)
186, 17sylbi 216 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) β†’ 7 < 𝑁)
1918adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ 7 < 𝑁)
20 pm2.27 42 . . . 4 (7 < 𝑁 β†’ ((7 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ) β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ ((7 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ) β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
22 isgbo 46019 . . . . 5 (𝑁 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))))
23 1ex 11158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
24 2ex 12237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ V
25 3ex 12242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
26 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
27 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘ž ∈ V
28 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘Ÿ ∈ V
29 1ne2 12368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 β‰  2
30 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
31 1lt3 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 3
3230, 31ltneii 11275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 β‰  3
33 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
34 2lt3 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 3
3533, 34ltneii 11275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 β‰  3
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35ftp 7108 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:{1, 2, 3}⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ}
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:{1, 2, 3}⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ})
38 1p2e3 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 2) = 3
3938eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (1 + 2)
4039oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...3) = (1...(1 + 2))
41 1z 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„€
42 fztp 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ β„€ β†’ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = 1
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 β†’ 1 = 1)
46 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 + 1) = 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 β†’ (1 + 1) = 2)
4838a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 β†’ (1 + 2) = 3)
4945, 47, 48tpeq123d 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 β†’ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
5044, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
5140, 43, 503eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) = {1, 2, 3}
5251feq2i 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ} ↔ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:{1, 2, 3}⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ})
5337, 52sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ})
54 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) ↔ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™))
5526, 27, 28tpss 4800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) ↔ {𝑝, π‘ž, π‘Ÿ} βŠ† β„™)
5654, 55sylbb1 236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {𝑝, π‘ž, π‘Ÿ} βŠ† β„™)
5753, 56fssd 6691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)βŸΆβ„™)
58 prmex 16560 . . . . . . . . . . . . . 14 β„™ ∈ V
59 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...3) ∈ V
6058, 59pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (β„™ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61 elmapg 8785 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„™ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} ∈ (β„™ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)βŸΆβ„™))
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} ∈ (β„™ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)βŸΆβ„™))
6357, 62mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} ∈ (β„™ ↑m (1...3)))
64 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜))
6564sumeq2sdv 15596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜))
6665eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} β†’ (((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜)))
6766adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) ∧ 𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}) β†’ (((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜)))
6851a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (1...3) = {1, 2, 3})
6968sumeq1d 15593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜))
70 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜1))
7123, 26fvtp1 7149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 β‰  2 ∧ 1 β‰  3) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜1) = 𝑝)
7229, 32, 71mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜1) = 𝑝
7370, 72eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = 𝑝)
74 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜2))
7524, 27fvtp2 7150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 β‰  2 ∧ 2 β‰  3) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜2) = π‘ž)
7629, 35, 75mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜2) = π‘ž
7774, 76eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = π‘ž)
78 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 3 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜3))
7925, 28fvtp3 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 β‰  3 ∧ 2 β‰  3) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜3) = π‘Ÿ)
8032, 35, 79mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜3) = π‘Ÿ
8178, 80eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 3 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = π‘Ÿ)
82 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
8382zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
84 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
8584zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„‚)
86 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ β„™ β†’ π‘Ÿ ∈ β„€)
8786zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ ∈ β„™ β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
8883, 85, 873anim123i 1152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚))
89883expa 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚))
90 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
91 3z 12543 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ β„€
9241, 90, 913pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€))
9429a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ 1 β‰  2)
9532a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ 1 β‰  3)
9635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ 2 β‰  3)
9773, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96sumtp 15641 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))
9869, 97eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜))
9963, 67, 98rspcedvd 3586 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜))
100 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) β†’ (𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
101100rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
10299, 101syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
103102adantld 492 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
104103rexlimdva 3153 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
105104rexlimivv 3197 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜))
106105adantl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Odd ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ ((𝑝 ∈ Odd ∧ π‘ž ∈ Odd ∧ π‘Ÿ ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜))
10722, 106sylbi 216 . . . 4 (𝑁 ∈ GoldbachOdd β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜))
108107a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ (𝑁 ∈ GoldbachOdd β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
1095, 21, 1083syld 60 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ (βˆ€π‘š ∈ Odd (7 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOdd ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
110109com12 32 1 (βˆ€π‘š ∈ Odd (7 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOdd ) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {ctp 4595  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197  2c2 12215  3c3 12216  7c7 12220  8c8 12221  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  Ξ£csu 15577  β„™cprime 16554   Odd codd 45891   GoldbachOdd cgbo 46013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-prm 16555  df-gbo 46016
This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  46067
  Copyright terms: Public domain W3C validator