Theorem ftpg 7010

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ftpg	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem ftpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
2		3simpa 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺))
3		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		fprg 7009	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1158	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
6		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩})
7		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑊)
8		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → 𝐶 ∈ 𝐻)
9	7, 8	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻)) → (𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻))
10	9	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻))
11		fsng 6991	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
13	6, 12	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶})
14		elpri 4580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌))
15		eqcom 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑍)
16		nne 2946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 𝑋 = 𝑍)
17	15, 16	bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
18		eqcom 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑌 ↔ 𝑌 = 𝑍)
19		nne 2946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑌 ≠ 𝑍 ↔ 𝑌 = 𝑍)
20	18, 19	bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍)
21	17, 20	orbi12i 911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌) ↔ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
22		ianor 978	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) ↔ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
23	21, 22	sylbb2 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌) → ¬ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
24	14, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → ¬ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
25	24	con2i 139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
26	25	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
27	26	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
28		disjsn 4644	. . . 4 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
29	27, 28	sylibr 233	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
30		fun 6620	. . 3 ⊢ ((({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶}) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅) → ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
31	5, 13, 29, 30	syl21anc 834	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
32		df-tp 4563	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
33	32	feq1i 6575	. . 3 ⊢ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
34		df-tp 4563	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
35		df-tp 4563	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
36	34, 35	feq23i 6578	. . 3 ⊢ (({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
37	33, 36	bitri 274	. 2 ⊢ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
38	31, 37	sylibr 233	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {csn 4558  {cpr 4560  {ctp 4562  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425

This theorem is referenced by:  ftp  7011