Theorem ftpg 7145

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ftpg	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem ftpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
2		3simpa 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺))
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		fprg 7144	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
6		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩})
7		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑊)
8		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → 𝐶 ∈ 𝐻)
9	7, 8	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻)) → (𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻))
10	9	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻))
11		fsng 7126	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
13	6, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶})
14		elpri 4625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌))
15		eqcom 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑍)
16		nne 2936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 𝑋 = 𝑍)
17	15, 16	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
18		eqcom 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑌 ↔ 𝑌 = 𝑍)
19		nne 2936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑌 ≠ 𝑍 ↔ 𝑌 = 𝑍)
20	18, 19	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍)
21	17, 20	orbi12i 914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌) ↔ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
22		ianor 983	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) ↔ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
23	21, 22	sylbb2 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌) → ¬ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
24	14, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → ¬ (𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
25	24	con2i 139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
26	25	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
27	26	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
28		disjsn 4687	. . . 4 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
29	27, 28	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
30		fun 6739	. . 3 ⊢ ((({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶}) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅) → ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
31	5, 13, 29, 30	syl21anc 837	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
32		df-tp 4606	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
33	32	feq1i 6696	. . 3 ⊢ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
34		df-tp 4606	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
35		df-tp 4606	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
36	34, 35	feq23i 6699	. . 3 ⊢ (({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
37	33, 36	bitri 275	. 2 ⊢ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
38	31, 37	sylibr 234	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  {csn 4601  {cpr 4603  {ctp 4605  ⟨cop 4607  ⟶wf 6526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537

This theorem is referenced by:  ftp  7146