Theorem nnsum4primesodd 47806

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 5 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 2-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesodd	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesodd

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (5 < 𝑚 ↔ 5 < 𝑁))
2		eleq1 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
3	1, 2	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
4	3	rspcv 3571	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
6		eluz2 12730	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
7		5lt6 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 < 6
8		5re 12204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
10		6re 12207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
12		zre 12464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13		ltletr 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
15	7, 14	mpani 696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑁 → 5 < 𝑁))
16	15	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
17	16	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
18	6, 17	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 5 < 𝑁)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 5 < 𝑁)
20		pm2.27 42	. . . 4 ⊢ (5 < 𝑁 → ((5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
22		isgbow 47762	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
23		1ex 11100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
24		2ex 12194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ V
25		3ex 12199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ V
26		vex 3438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑝 ∈ V
27		vex 3438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑞 ∈ V
28		vex 3438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑟 ∈ V
29		1ne2 12320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
30		1re 11104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		1lt3 12285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 3
32	30, 31	ltneii 11218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 3
33		2re 12191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		2lt3 12284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 3
35	33, 34	ltneii 11218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 3
36	23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35	ftp 7085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38		1p2e3 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 2) = 3
39	38	eqcomi 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (1 + 2)
40	39	oveq2i 7352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
41		1z 12494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
42		fztp 13472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = 1
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → 1 = 1)
46		1p1e2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 1) = 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
49	45, 47, 48	tpeq123d 4699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
50	44, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
51	40, 43, 50	3eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
52	51	feq2i 6639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
53	37, 52	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
55	26, 27, 28	tpss 4787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
56	54, 55	sylbb1 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
57	53, 56	fssd 6664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58		prmex 16580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℙ ∈ V
59		ovex 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...3) ∈ V
60	58, 59	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61		elmapg 8758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
63	57, 62	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)))
64		fveq1 6816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
65	64	sumeq2sdv 15602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
66	65	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
68	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
69	68	sumeq1d 15599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70		fveq2 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
71	23, 26	fvtp1 7124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
72	29, 32, 71	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
73	70, 72	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74		fveq2 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
75	24, 27	fvtp2 7125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
76	29, 35, 75	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
77	74, 76	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78		fveq2 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
79	25, 28	fvtp3 7126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
80	32, 35, 79	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
81	78, 80	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82		prmz 16578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	zcnd 12570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84		prmz 16578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
85	84	zcnd 12570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86		prmz 16578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
88	83, 85, 87	3anim123i 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89	88	3expa 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90		2z 12496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
91		3z 12497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
92	41, 90, 91	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
94	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
95	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
96	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
97	73, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96	sumtp 15648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
98	69, 97	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
99	63, 67, 98	rspcedvd 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
100		eqeq1 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
101	100	rexbidv 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
102	99, 101	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
103	102	rexlimdva 3131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
104	103	rexlimivv 3172	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
105	104	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
106	22, 105	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
107	106	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
108	5, 21, 107	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
109	108	com12 32	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  {ctp 4578  ⟨cop 4580   class class class wbr 5089  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745  ℂcc 10996  ℝcr 10997  1c1 10999   + caddc 11001   < clt 11138   ≤ cle 11139  2c2 12172  3c3 12173  5c5 12175  6c6 12176  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  ...cfz 13399  Σcsu 15585  ℙcprime 16574   Odd codd 47635   GoldbachOddW cgbow 47756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-sum 15586  df-prm 16575  df-gbow 47759

This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  47810  wtgoldbnnsum4prm  47812  bgoldbnnsum3prm  47814