Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum4primesodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum4primesodd 44301
 Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 5 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 2-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesodd (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesodd
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5037 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (5 < 𝑚 ↔ 5 < 𝑁))
2 eleq1 2880 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
31, 2imbi12d 348 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
43rspcv 3569 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
54adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
6 eluz2 12241 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
7 5lt6 11810 . . . . . . . . 9 5 < 6
8 5re 11716 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
10 6re 11719 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
12 zre 11977 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13 ltletr 10725 . . . . . . . . . 10 ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
149, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
157, 14mpani 695 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑁 → 5 < 𝑁))
1615imp 410 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
17163adant1 1127 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
186, 17sylbi 220 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → 5 < 𝑁)
1918adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 5 < 𝑁)
20 pm2.27 42 . . . 4 (5 < 𝑁 → ((5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
22 isgbow 44257 . . . . 5 (𝑁 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
23 1ex 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
24 2ex 11706 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
25 3ex 11711 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ V
26 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑝 ∈ V
27 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑞 ∈ V
28 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟 ∈ V
29 1ne2 11837 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
30 1re 10634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
31 1lt3 11802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
3230, 31ltneii 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 3
33 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
34 2lt3 11801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 3
3533, 34ltneii 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 3
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35ftp 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38 1p2e3 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 2) = 3
3938eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (1 + 2)
4039oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) = (1...(1 + 2))
41 1z 12004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
42 fztp 12962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = 1
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → 1 = 1)
46 1p1e2 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
4838a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
4945, 47, 48tpeq123d 4647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
5044, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
5140, 43, 503eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...3) = {1, 2, 3}
5251feq2i 6483 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
5337, 52sylibr 237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
5526, 27, 28tpss 4731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5654, 55sylbb1 240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5753, 56fssd 6506 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58 prmex 16014 . . . . . . . . . . . . 13 ℙ ∈ V
59 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . 13 (1...3) ∈ V
6058, 59pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . 12 (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61 elmapg 8406 . . . . . . . . . . . 12 ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6357, 62mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)))
64 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6564sumeq2sdv 15056 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6665eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6766adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6851a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
6968sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
7123, 26fvtp1 6938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
7229, 32, 71mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
7370, 72eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
7524, 27fvtp2 6939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
7629, 35, 75mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
7774, 76eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
7925, 28fvtp3 6940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
8032, 35, 79mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
8178, 80eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82 prmz 16012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8382zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84 prmz 16012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
8584zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86 prmz 16012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
8786zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
8883, 85, 873anim123i 1148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89883expa 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90 2z 12006 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
91 3z 12007 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℤ
9241, 90, 913pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
9429a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
9532a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
9635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
9773, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96sumtp 15099 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
9869, 97eqtr2d 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
9963, 67, 98rspcedvd 3577 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
100 eqeq1 2805 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
101100rexbidv 3259 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
10299, 101syl5ibrcom 250 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
103102rexlimdva 3246 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
104103rexlimivv 3254 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
105104adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
10622, 105sylbi 220 . . . 4 (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
107106a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
1085, 21, 1073syld 60 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
109108com12 32 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  {ctp 4532  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  ℂcc 10528  ℝcr 10529  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669  2c2 11684  3c3 11685  5c5 11687  6c6 11688  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12889  Σcsu 15037  ℙcprime 16008   Odd codd 44130   GoldbachOddW cgbow 44251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-prm 16009  df-gbow 44254 This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  44305  wtgoldbnnsum4prm  44307  bgoldbnnsum3prm  44309
 Copyright terms: Public domain W3C validator