Theorem nnsum4primesodd 43968

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 5 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 2-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesodd	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesodd

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (5 < 𝑚 ↔ 5 < 𝑁))
2		eleq1 2903	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
3	1, 2	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
4	3	rspcv 3621	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
5	4	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
6		eluz2 12252	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
7		5lt6 11821	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 < 6
8		5re 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
10		6re 11730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
12		zre 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13		ltletr 10735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
15	7, 14	mpani 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑁 → 5 < 𝑁))
16	15	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
17	16	3adant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
18	6, 17	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 5 < 𝑁)
19	18	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 5 < 𝑁)
20		pm2.27 42	. . . 4 ⊢ (5 < 𝑁 → ((5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
22		isgbow 43924	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
23		1ex 10640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
24		2ex 11717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ V
25		3ex 11722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ V
26		vex 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑝 ∈ V
27		vex 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑞 ∈ V
28		vex 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑟 ∈ V
29		1ne2 11848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
30		1re 10644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		1lt3 11813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 3
32	30, 31	ltneii 10756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 3
33		2re 11714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		2lt3 11812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 3
35	33, 34	ltneii 10756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 3
36	23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35	ftp 6922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38		1p2e3 11783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 2) = 3
39	38	eqcomi 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (1 + 2)
40	39	oveq2i 7170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
41		1z 12015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
42		fztp 12966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = 1
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → 1 = 1)
46		1p1e2 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 1) = 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
49	45, 47, 48	tpeq123d 4687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
50	44, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
51	40, 43, 50	3eqtri 2851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
52	51	feq2i 6509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
53	37, 52	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54		df-3an 1085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
55	26, 27, 28	tpss 4771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
56	54, 55	sylbb1 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
57	53, 56	fssd 6531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58		prmex 16024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℙ ∈ V
59		ovex 7192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...3) ∈ V
60	58, 59	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61		elmapg 8422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
63	57, 62	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)))
64		fveq1 6672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
65	64	sumeq2sdv 15064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
66	65	eqeq2d 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
67	66	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
68	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
69	68	sumeq1d 15061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
71	23, 26	fvtp1 6960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
72	29, 32, 71	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
73	70, 72	syl6eq 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
75	24, 27	fvtp2 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
76	29, 35, 75	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
77	74, 76	syl6eq 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
79	25, 28	fvtp3 6962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
80	32, 35, 79	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
81	78, 80	syl6eq 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82		prmz 16022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84		prmz 16022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
85	84	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86		prmz 16022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
88	83, 85, 87	3anim123i 1147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89	88	3expa 1114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90		2z 12017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
91		3z 12018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
92	41, 90, 91	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
94	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
95	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
96	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
97	73, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96	sumtp 15107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
98	69, 97	eqtr2d 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
99	63, 67, 98	rspcedvd 3629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
100		eqeq1 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
101	100	rexbidv 3300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
102	99, 101	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
103	102	rexlimdva 3287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
104	103	rexlimivv 3295	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
105	104	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
106	22, 105	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
107	106	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
108	5, 21, 107	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
109	108	com12 32	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  {ctp 4574  ⟨cop 4576   class class class wbr 5069  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ↑_m cmap 8409  ℂcc 10538  ℝcr 10539  1c1 10541   + caddc 10543   < clt 10678   ≤ cle 10679  2c2 11695  3c3 11696  5c5 11698  6c6 11699  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  Σcsu 15045  ℙcprime 16018   Odd codd 43797   GoldbachOddW cgbow 43918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-prm 16019  df-gbow 43921

This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  43972  wtgoldbnnsum4prm  43974  bgoldbnnsum3prm  43976