Theorem nnsum4primesodd 48838

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 5 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 2-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesodd	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesodd

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (5 < 𝑚 ↔ 5 < 𝑁))
2		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
3	1, 2	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
4	3	rspcv 3573	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
6		eluz2 12952	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
7		5lt6 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 < 6
8		5re 12411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
10		6re 12414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
12		zre 12678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13		ltletr 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
15	7, 14	mpani 709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑁 → 5 < 𝑁))
16	15	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
17	16	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
18	6, 17	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 5 < 𝑁)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 5 < 𝑁)
20		pm2.27 43	. . . 4 ⊢ (5 < 𝑁 → ((5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
21	19, 20	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((5 < 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
22		isgbow 48794	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
23		1ex 11284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ V
24		2ex 12401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ V
25		3ex 12406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ V
26		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑝 ∈ V
27		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑞 ∈ V
28		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑟 ∈ V
29		1ne2 12534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
30		1re 11289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		1lt3 12499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 3
32	30, 31	ltneii 11404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 3
33		2re 12398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		2lt3 12497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 3
35	33, 34	ltneii 11404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 3
36	23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35	ftp 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38		1p2e3 12466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 2) = 3
39	38	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (1 + 2)
40	39	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
41		1z 12707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
42		fztp 13694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = 1
45		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → 1 = 1)
46		1p1e2 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 1) = 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
48	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
49	45, 47, 48	tpeq123d 4709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
50	44, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
51	40, 43, 50	3eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
52	51	feq2i 6693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
53	37, 52	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54		df-3an 1105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
55	26, 27, 28	tpss 4797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
56	54, 55	sylbb1 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
57	53, 56	fssd 6719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58		prmex 16832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℙ ∈ V
59		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...3) ∈ V
60	58, 59	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61		elmapg 8843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
62	60, 61	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
63	57, 62	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑m (1...3)))
64		fveq1 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
65	64	sumeq2sdv 15850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
66	65	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
67	66	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
68	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
69	68	sumeq1d 15847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
71	23, 26	fvtp1 7192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
72	29, 32, 71	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
73	70, 72	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
75	24, 27	fvtp2 7193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
76	29, 35, 75	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
77	74, 76	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
79	25, 28	fvtp3 7194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
80	32, 35, 79	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
81	78, 80	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82		prmz 16830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
83	82	zcnd 12785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84		prmz 16830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
85	84	zcnd 12785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86		prmz 16830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
88	83, 85, 87	3anim123i 1169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89	88	3expa 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90		2z 12709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
91		3z 12710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
92	41, 90, 91	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
94	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
95	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
96	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
97	73, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96	sumtp 15895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
98	69, 97	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
99	63, 67, 98	rspcedvd 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
100		eqeq1 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
101	100	rexbidv 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
102	99, 101	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
103	102	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
104	103	rexlimivv 3205	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
105	104	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
106	22, 105	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘))
107	106	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
108	5, 21, 107	3syld 61	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))
109	108	com12 33	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {ctp 4588  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831  ℂcc 11179  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12378  3c3 12379  5c5 12381  6c6 12382  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620  Σcsu 15833  ℙcprime 16826   Odd codd 48667   GoldbachOddW cgbow 48788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-prm 16827  df-gbow 48791

This theorem is used by:  nnsum4primeseven  48842  wtgoldbnnsum4prm  48844  bgoldbnnsum3prm  48846