Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum4primesodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum4primesodd 47059
Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 5 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 2-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesodd (βˆ€π‘š ∈ Odd (5 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOddW ) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,π‘˜,π‘š

Proof of Theorem nnsum4primesodd
Dummy variables 𝑝 π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5146 . . . . . 6 (π‘š = 𝑁 β†’ (5 < π‘š ↔ 5 < 𝑁))
2 eleq1 2816 . . . . . 6 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
31, 2imbi12d 344 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ ((5 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
43rspcv 3603 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd β†’ (βˆ€π‘š ∈ Odd (5 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOddW ) β†’ (5 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
54adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ (βˆ€π‘š ∈ Odd (5 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOddW ) β†’ (5 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
6 eluz2 12850 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) ↔ (6 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 6 ≀ 𝑁))
7 5lt6 12415 . . . . . . . . 9 5 < 6
8 5re 12321 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 5 ∈ ℝ)
10 6re 12324 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 6 ∈ ℝ)
12 zre 12584 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
13 ltletr 11328 . . . . . . . . . 10 ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((5 < 6 ∧ 6 ≀ 𝑁) β†’ 5 < 𝑁))
149, 11, 12, 13syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((5 < 6 ∧ 6 ≀ 𝑁) β†’ 5 < 𝑁))
157, 14mpani 695 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (6 ≀ 𝑁 β†’ 5 < 𝑁))
1615imp 406 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 6 ≀ 𝑁) β†’ 5 < 𝑁)
17163adant1 1128 . . . . . 6 ((6 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 6 ≀ 𝑁) β†’ 5 < 𝑁)
186, 17sylbi 216 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) β†’ 5 < 𝑁)
1918adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ 5 < 𝑁)
20 pm2.27 42 . . . 4 (5 < 𝑁 β†’ ((5 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ ((5 < 𝑁 β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ) β†’ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
22 isgbow 47015 . . . . 5 (𝑁 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)))
23 1ex 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
24 2ex 12311 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
25 3ex 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ V
26 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑝 ∈ V
27 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ž ∈ V
28 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘Ÿ ∈ V
29 1ne2 12442 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 β‰  2
30 1re 11236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
31 1lt3 12407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
3230, 31ltneii 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 β‰  3
33 2re 12308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
34 2lt3 12406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 3
3533, 34ltneii 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 β‰  3
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35ftp 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:{1, 2, 3}⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ}
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:{1, 2, 3}⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ})
38 1p2e3 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 2) = 3
3938eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (1 + 2)
4039oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) = (1...(1 + 2))
41 1z 12614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„€
42 fztp 13581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ β„€ β†’ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = 1
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 β†’ 1 = 1)
46 1p1e2 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 β†’ (1 + 1) = 2)
4838a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 β†’ (1 + 2) = 3)
4945, 47, 48tpeq123d 4748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 = 1 β†’ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
5044, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
5140, 43, 503eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...3) = {1, 2, 3}
5251feq2i 6708 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ} ↔ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:{1, 2, 3}⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ})
5337, 52sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)⟢{𝑝, π‘ž, π‘Ÿ})
54 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) ↔ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™))
5526, 27, 28tpss 4834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) ↔ {𝑝, π‘ž, π‘Ÿ} βŠ† β„™)
5654, 55sylbb1 236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {𝑝, π‘ž, π‘Ÿ} βŠ† β„™)
5753, 56fssd 6734 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)βŸΆβ„™)
58 prmex 16639 . . . . . . . . . . . . 13 β„™ ∈ V
59 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (1...3) ∈ V
6058, 59pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (β„™ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61 elmapg 8849 . . . . . . . . . . . 12 ((β„™ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} ∈ (β„™ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)βŸΆβ„™))
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} ∈ (β„™ ↑m (1...3)) ↔ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}:(1...3)βŸΆβ„™))
6357, 62mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} ∈ (β„™ ↑m (1...3)))
64 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜))
6564sumeq2sdv 15674 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜))
6665eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©} β†’ (((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜)))
6766adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) ∧ 𝑓 = {⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}) β†’ (((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜)))
6851a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (1...3) = {1, 2, 3})
6968sumeq1d 15671 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜))
70 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜1))
7123, 26fvtp1 7201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 β‰  2 ∧ 1 β‰  3) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜1) = 𝑝)
7229, 32, 71mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜1) = 𝑝
7370, 72eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = 𝑝)
74 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜2))
7524, 27fvtp2 7202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 β‰  2 ∧ 2 β‰  3) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜2) = π‘ž)
7629, 35, 75mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜2) = π‘ž
7774, 76eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 2 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = π‘ž)
78 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 3 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜3))
7925, 28fvtp3 7203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 β‰  3 ∧ 2 β‰  3) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜3) = π‘Ÿ)
8032, 35, 79mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜3) = π‘Ÿ
8178, 80eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 3 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = π‘Ÿ)
82 prmz 16637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
8382zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
84 prmz 16637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
8584zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„‚)
86 prmz 16637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ ∈ β„™ β†’ π‘Ÿ ∈ β„€)
8786zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ β„™ β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
8883, 85, 873anim123i 1149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚))
89883expa 1116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚))
90 2z 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„€
91 3z 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ β„€
9241, 90, 913pm3.2i 1337 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€))
9429a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ 1 β‰  2)
9532a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ 1 β‰  3)
9635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ 2 β‰  3)
9773, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96sumtp 15719 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜) = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ))
9869, 97eqtr2d 2768 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)({⟨1, π‘βŸ©, ⟨2, π‘žβŸ©, ⟨3, π‘ŸβŸ©}β€˜π‘˜))
9963, 67, 98rspcedvd 3609 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜))
100 eqeq1 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) β†’ (𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
101100rexbidv 3173 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
10299, 101syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘Ÿ ∈ β„™) β†’ (𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
103102rexlimdva 3150 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
104103rexlimivv 3194 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜))
105104adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Odd ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„™ 𝑁 = ((𝑝 + π‘ž) + π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜))
10622, 105sylbi 216 . . . 4 (𝑁 ∈ GoldbachOddW β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜))
107106a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ (𝑁 ∈ GoldbachOddW β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
1085, 21, 1073syld 60 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ (βˆ€π‘š ∈ Odd (5 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOddW ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
109108com12 32 1 (βˆ€π‘š ∈ Odd (5 < π‘š β†’ π‘š ∈ GoldbachOddW ) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„™ ↑m (1...3))𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)(π‘“β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  {ctp 4628  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  β„‚cc 11128  β„cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≀ cle 11271  2c2 12289  3c3 12290  5c5 12292  6c6 12293  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  ...cfz 13508  Ξ£csu 15656  β„™cprime 16633   Odd codd 46888   GoldbachOddW cgbow 47009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-prm 16634  df-gbow 47012
This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  47063  wtgoldbnnsum4prm  47065  bgoldbnnsum3prm  47067
  Copyright terms: Public domain W3C validator