Theorem rabren3dioph 39432

Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabren3dioph.a	⊢ (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
rabren3dioph.b	⊢ 𝑋 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.c	⊢ 𝑌 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.d	⊢ 𝑍 ∈ (1...𝑁)

Assertion

Ref	Expression
rabren3dioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑎   𝜑,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝜓(𝑏)

Proof of Theorem rabren3dioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3497	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
2		tpex 7470	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} ∈ V
3	1, 2	coex 7635	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) ∈ V
4		1ne2 11846	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
5		1re 10641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		1lt3 11811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
7	5, 6	ltneii 10753	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 3
8		2re 11712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2lt3 11810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
10	8, 9	ltneii 10753	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 3
11		1ex 10637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
12		2ex 11715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
13		3ex 11720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ V
14		rabren3dioph.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 ∈ (1...𝑁)
15	14	elexi 3513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 ∈ V
16		rabren3dioph.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 ∈ (1...𝑁)
17	16	elexi 3513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ∈ V
18		rabren3dioph.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 ∈ (1...𝑁)
19	18	elexi 3513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	11, 12, 13, 15, 17, 19	fntp 6415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3})
21	4, 7, 10, 20	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3}
22	11	tpid1 4704	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {1, 2, 3}
23		fvco2 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 1 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)))
24	21, 22, 23	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1))
25	11, 15	fvtp1 6957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋)
26	4, 7, 25	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋
27	26	fveq2i 6673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)) = (𝑏‘𝑋)
28	24, 27	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋)
29	12	tpid2 4706	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ {1, 2, 3}
30		fvco2 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 2 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)))
31	21, 29, 30	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2))
32	12, 17	fvtp2 6958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌)
33	4, 10, 32	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌
34	33	fveq2i 6673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)) = (𝑏‘𝑌)
35	31, 34	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌)
36	13	tpid3 4709	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
37		fvco2 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 3 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)))
38	21, 36, 37	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3))
39	13, 19	fvtp3 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍)
40	7, 10, 39	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍
41	40	fveq2i 6673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)) = (𝑏‘𝑍)
42	38, 41	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍)
43	28, 35, 42	3pm3.2i 1335	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍))
44		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘1) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1))
45	44	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋)))
46		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘2) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2))
47	46	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌)))
48		fveq1 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘3) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3))
49	48	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍)))
50	45, 47, 49	3anbi123d 1432	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) ↔ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍))))
51	43, 50	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)))
52		rabren3dioph.a	. . . . 5 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝜑 ↔ 𝜓))
54	3, 53	sbcie 3812	. . 3 ⊢ ([(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑 ↔ 𝜓)
55	54	rabbii 3473	. 2 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓}
56	11, 12, 13, 15, 17, 19, 4, 7, 10	ftp 6919	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
57		1z 12013	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		fztp 12964	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
60		1p2e3 11781	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
61	60	oveq2i 7167	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = (1...3)
62		eqidd 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
63		1p1e2 11763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
65	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
66	62, 64, 65	tpeq123d 4684	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
67	57, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
68	59, 61, 67	3eqtr3i 2852	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
69	68	feq2i 6506	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
70	56, 69	mpbir 233	. . . 4 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
71	14, 16, 18	3pm3.2i 1335	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁))
72	15, 17, 19	tpss 4768	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁)) ↔ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁))
73	71, 72	mpbi 232	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)
74		fss 6527	. . . 4 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁))
75	70, 73, 74	mp2an 690	. . 3 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁)
76		rabrenfdioph 39431	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
77	75, 76	mp3an2 1445	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
78	55, 77	eqeltrrid 2918	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {crab 3142  [wsbc 3772   ⊆ wss 3936  {ctp 4571  ⟨cop 4573   ∘ ccom 5559   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  1c1 10538   + caddc 10540  2c2 11693  3c3 11694  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  Diophcdioph 39372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692  df-mzpcl 39340  df-mzp 39341  df-dioph 39373

This theorem is referenced by:  rmxdioph  39633  expdiophlem2  39639