Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabren3dioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabren3dioph 41538
Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rabren3dioph.a (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) → (𝜑𝜓))
rabren3dioph.b 𝑋 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.c 𝑌 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.d 𝑍 ∈ (1...𝑁)
Assertion
Ref Expression
rabren3dioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝜓,𝑎   𝜑,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝜓(𝑏)

Proof of Theorem rabren3dioph
StepHypRef Expression
1 vex 3478 . . . . 5 𝑏 ∈ V
2 tpex 7730 . . . . 5 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} ∈ V
31, 2coex 7917 . . . 4 (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) ∈ V
4 1ne2 12416 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
5 1re 11210 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
6 1lt3 12381 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
75, 6ltneii 11323 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
8 2re 12282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
9 2lt3 12380 . . . . . . . . . . 11 2 < 3
108, 9ltneii 11323 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 3
11 1ex 11206 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
12 2ex 12285 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
13 3ex 12290 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ V
14 rabren3dioph.b . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ (1...𝑁)
1514elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
16 rabren3dioph.c . . . . . . . . . . . 12 𝑌 ∈ (1...𝑁)
1716elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 𝑌 ∈ V
18 rabren3dioph.d . . . . . . . . . . . 12 𝑍 ∈ (1...𝑁)
1918elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ∈ V
2011, 12, 13, 15, 17, 19fntp 6606 . . . . . . . . . 10 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3})
214, 7, 10, 20mp3an 1461 . . . . . . . . 9 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3}
2211tpid1 4771 . . . . . . . . 9 1 ∈ {1, 2, 3}
23 fvco2 6985 . . . . . . . . 9 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 1 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)))
2421, 22, 23mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1))
2511, 15fvtp1 7192 . . . . . . . . . 10 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋)
264, 7, 25mp2an 690 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋
2726fveq2i 6891 . . . . . . . 8 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)) = (𝑏𝑋)
2824, 27eqtri 2760 . . . . . . 7 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋)
2912tpid2 4773 . . . . . . . . 9 2 ∈ {1, 2, 3}
30 fvco2 6985 . . . . . . . . 9 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 2 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)))
3121, 29, 30mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2))
3212, 17fvtp2 7193 . . . . . . . . . 10 ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌)
334, 10, 32mp2an 690 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌
3433fveq2i 6891 . . . . . . . 8 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)) = (𝑏𝑌)
3531, 34eqtri 2760 . . . . . . 7 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌)
3613tpid3 4776 . . . . . . . . 9 3 ∈ {1, 2, 3}
37 fvco2 6985 . . . . . . . . 9 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 3 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)))
3821, 36, 37mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3))
3913, 19fvtp3 7194 . . . . . . . . . 10 ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍)
407, 10, 39mp2an 690 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍
4140fveq2i 6891 . . . . . . . 8 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)) = (𝑏𝑍)
4238, 41eqtri 2760 . . . . . . 7 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍)
4328, 35, 423pm3.2i 1339 . . . . . 6 (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍))
44 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘1) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1))
4544eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋)))
46 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘2) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2))
4746eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌)))
48 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘3) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3))
4948eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘3) = (𝑏𝑍) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍)))
5045, 47, 493anbi123d 1436 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) ↔ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍))))
5143, 50mpbiri 257 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)))
52 rabren3dioph.a . . . . 5 (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) → (𝜑𝜓))
5351, 52syl 17 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝜑𝜓))
543, 53sbcie 3819 . . 3 ([(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑𝜓)
5554rabbii 3438 . 2 {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝜓}
5611, 12, 13, 15, 17, 19, 4, 7, 10ftp 7151 . . . . 5 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
57 1z 12588 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
58 fztp 13553 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
60 1p2e3 12351 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
6160oveq2i 7416 . . . . . . 7 (1...(1 + 2)) = (1...3)
62 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
63 1p1e2 12333 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
6560a1i 11 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
6662, 64, 65tpeq123d 4751 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
6757, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
6859, 61, 673eqtr3i 2768 . . . . . 6 (1...3) = {1, 2, 3}
6968feq2i 6706 . . . . 5 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
7056, 69mpbir 230 . . . 4 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
7114, 16, 183pm3.2i 1339 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁))
7215, 17, 19tpss 4837 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁)) ↔ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁))
7371, 72mpbi 229 . . . 4 {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)
74 fss 6731 . . . 4 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁))
7570, 73, 74mp2an 690 . . 3 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁)
76 rabrenfdioph 41537 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7775, 76mp3an2 1449 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7855, 77eqeltrrid 2838 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  {crab 3432  [wsbc 3776  wss 3947  {ctp 4631  cop 4633  ccom 5679   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  1c1 11107   + caddc 11109  2c2 12263  3c3 12264  0cn0 12468  cz 12554  ...cfz 13480  Diophcdioph 41478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-mzpcl 41446  df-mzp 41447  df-dioph 41479
This theorem is referenced by:  rmxdioph  41740  expdiophlem2  41746
  Copyright terms: Public domain W3C validator