Theorem rabren3dioph 43490

Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabren3dioph.a	⊢ (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
rabren3dioph.b	⊢ 𝑋 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.c	⊢ 𝑌 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.d	⊢ 𝑍 ∈ (1...𝑁)

Assertion

Ref	Expression
rabren3dioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑎   𝜑,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝜓(𝑏)

Proof of Theorem rabren3dioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
2		tpex 7744	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} ∈ V
3	1, 2	coex 7926	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) ∈ V
4		1ne2 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
5		1re 11207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		1lt3 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
7	5, 6	ltneii 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 3
8		2re 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2lt3 12413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
10	8, 9	ltneii 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 3
11		1ex 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
12		2ex 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
13		3ex 12322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ V
14		rabren3dioph.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 ∈ (1...𝑁)
15	14	elexi 3475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 ∈ V
16		rabren3dioph.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 ∈ (1...𝑁)
17	16	elexi 3475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ∈ V
18		rabren3dioph.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 ∈ (1...𝑁)
19	18	elexi 3475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	11, 12, 13, 15, 17, 19	fntp 6597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3})
21	4, 7, 10, 20	mp3an 1488	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3}
22	11	tpid1 4733	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {1, 2, 3}
23		fvco2 6978	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 1 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)))
24	21, 22, 23	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1))
25	11, 15	fvtp1 7193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋)
26	4, 7, 25	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋
27	26	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)) = (𝑏‘𝑋)
28	24, 27	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋)
29	12	tpid2 4735	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ {1, 2, 3}
30		fvco2 6978	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 2 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)))
31	21, 29, 30	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2))
32	12, 17	fvtp2 7194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌)
33	4, 10, 32	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌
34	33	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)) = (𝑏‘𝑌)
35	31, 34	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌)
36	13	tpid3 4738	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
37		fvco2 6978	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 3 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)))
38	21, 36, 37	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3))
39	13, 19	fvtp3 7195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍)
40	7, 10, 39	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍
41	40	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)) = (𝑏‘𝑍)
42	38, 41	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍)
43	28, 35, 42	3pm3.2i 1356	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍))
44		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘1) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1))
45	44	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋)))
46		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘2) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2))
47	46	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌)))
48		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘3) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3))
49	48	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍)))
50	45, 47, 49	3anbi123d 1462	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) ↔ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍))))
51	43, 50	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)))
52		rabren3dioph.a	. . . . 5 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
53	51, 52	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝜑 ↔ 𝜓))
54	3, 53	sbcie 3784	. . 3 ⊢ ([(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑 ↔ 𝜓)
55	54	rabbii 3419	. 2 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓}
56	11, 12, 13, 15, 17, 19, 4, 7, 10	ftp 7154	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
57		1z 12623	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		fztp 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
60		1p2e3 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
61	60	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = (1...3)
62		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
63		1p1e2 12363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
65	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
66	62, 64, 65	tpeq123d 4713	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
67	57, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
68	59, 61, 67	3eqtr3i 2792	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
69	68	feq2i 6697	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
70	56, 69	mpbir 234	. . . 4 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
71	14, 16, 18	3pm3.2i 1356	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁))
72	15, 17, 19	tpss 4801	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁)) ↔ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁))
73	71, 72	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)
74		fss 6722	. . . 4 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁))
75	70, 73, 74	mp2an 704	. . 3 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁)
76		rabrenfdioph 43489	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
77	75, 76	mp3an2 1476	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
78	55, 77	eqeltrrid 2866	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3414  [wsbc 3743   ⊆ wss 3904  {ctp 4592  ⟨cop 4594   ∘ ccom 5665   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  1c1 11100   + caddc 11102  2c2 12294  3c3 12295  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ...cfz 13534  Diophcdioph 43434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-mzpcl 43402  df-mzp 43403  df-dioph 43435

This theorem is referenced by:  rmxdioph  43691  expdiophlem2  43697