Theorem rabren3dioph 42803

Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabren3dioph.a	⊢ (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
rabren3dioph.b	⊢ 𝑋 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.c	⊢ 𝑌 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.d	⊢ 𝑍 ∈ (1...𝑁)

Assertion

Ref	Expression
rabren3dioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑎   𝜑,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝜓(𝑏)

Proof of Theorem rabren3dioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3482	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
2		tpex 7765	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} ∈ V
3	1, 2	coex 7953	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) ∈ V
4		1ne2 12472	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
5		1re 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		1lt3 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
7	5, 6	ltneii 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 3
8		2re 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2lt3 12436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
10	8, 9	ltneii 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 3
11		1ex 11255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
12		2ex 12341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
13		3ex 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ V
14		rabren3dioph.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 ∈ (1...𝑁)
15	14	elexi 3501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 ∈ V
16		rabren3dioph.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 ∈ (1...𝑁)
17	16	elexi 3501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ∈ V
18		rabren3dioph.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 ∈ (1...𝑁)
19	18	elexi 3501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	11, 12, 13, 15, 17, 19	fntp 6629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3})
21	4, 7, 10, 20	mp3an 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3}
22	11	tpid1 4773	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {1, 2, 3}
23		fvco2 7006	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 1 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)))
24	21, 22, 23	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1))
25	11, 15	fvtp1 7215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋)
26	4, 7, 25	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋
27	26	fveq2i 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)) = (𝑏‘𝑋)
28	24, 27	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋)
29	12	tpid2 4775	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ {1, 2, 3}
30		fvco2 7006	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 2 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)))
31	21, 29, 30	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2))
32	12, 17	fvtp2 7216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌)
33	4, 10, 32	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌
34	33	fveq2i 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)) = (𝑏‘𝑌)
35	31, 34	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌)
36	13	tpid3 4778	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
37		fvco2 7006	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 3 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)))
38	21, 36, 37	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3))
39	13, 19	fvtp3 7217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍)
40	7, 10, 39	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍
41	40	fveq2i 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)) = (𝑏‘𝑍)
42	38, 41	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍)
43	28, 35, 42	3pm3.2i 1338	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍))
44		fveq1 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘1) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1))
45	44	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋)))
46		fveq1 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘2) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2))
47	46	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌)))
48		fveq1 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘3) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3))
49	48	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍)))
50	45, 47, 49	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) ↔ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘𝑍))))
51	43, 50	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)))
52		rabren3dioph.a	. . . . 5 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑏‘𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏‘𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏‘𝑍)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝜑 ↔ 𝜓))
54	3, 53	sbcie 3835	. . 3 ⊢ ([(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑 ↔ 𝜓)
55	54	rabbii 3439	. 2 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓}
56	11, 12, 13, 15, 17, 19, 4, 7, 10	ftp 7177	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
57		1z 12645	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		fztp 13617	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
60		1p2e3 12407	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
61	60	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = (1...3)
62		eqidd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
63		1p1e2 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
65	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
66	62, 64, 65	tpeq123d 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
67	57, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
68	59, 61, 67	3eqtr3i 2771	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, 2, 3}
69	68	feq2i 6729	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
70	56, 69	mpbir 231	. . . 4 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
71	14, 16, 18	3pm3.2i 1338	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁))
72	15, 17, 19	tpss 4842	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁)) ↔ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁))
73	71, 72	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)
74		fss 6753	. . . 4 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁))
75	70, 73, 74	mp2an 692	. . 3 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁)
76		rabrenfdioph 42802	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
77	75, 76	mp3an2 1448	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
78	55, 77	eqeltrrid 2844	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433  [wsbc 3791   ⊆ wss 3963  {ctp 4635  ⟨cop 4637   ∘ ccom 5693   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  1c1 11154   + caddc 11156  2c2 12319  3c3 12320  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ...cfz 13544  Diophcdioph 42743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712  df-dioph 42744

This theorem is referenced by:  rmxdioph  43005  expdiophlem2  43011