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Theorem funun 6524
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))

Proof of Theorem funun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 6495 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2 funrel 6495 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
31, 2anim12i 613 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
4 relun 5747 . . . 4 (Rel (𝐹𝐺) ↔ (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
53, 4sylibr 233 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Rel (𝐹𝐺))
65adantr 481 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Rel (𝐹𝐺))
7 elun 4094 . . . . . . . 8 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
8 elun 4094 . . . . . . . 8 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
97, 8anbi12i 627 . . . . . . 7 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
10 anddi 1008 . . . . . . 7 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
119, 10bitri 274 . . . . . 6 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
12 disj1 4396 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
141319.21bi 2181 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
15 imnan 400 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
1614, 15sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
17 vex 3445 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
18 vex 3445 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
1917, 18opeldm 5843 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹)
20 vex 3445 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
2117, 20opeldm 5843 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
2219, 21anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
2316, 22nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
24 orel2 888 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
2614con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
27 imnan 400 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
2917, 18opeldm 5843 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
3017, 20opeldm 5843 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹)
3129, 30anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
3228, 31nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹))
33 orel1 886 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
3525, 34orim12d 962 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
3635adantl 482 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
3711, 36biimtrid 241 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
38 dffun4 6489 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
3938simprbi 497 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
403919.21bi 2181 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
414019.21bbi 2182 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
42 dffun4 6489 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧)))
4342simprbi 497 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
444319.21bi 2181 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
454419.21bbi 2182 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
4641, 45jaao 952 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4746adantr 481 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4837, 47syld 47 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4948alrimiv 1929 . . 3 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
5049alrimivv 1930 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
51 dffun4 6489 . 2 (Fun (𝐹𝐺) ↔ (Rel (𝐹𝐺) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧)))
526, 50, 51sylanbrc 583 1 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 844  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2105  cun 3895  cin 3896  c0 4268  cop 4578  dom cdm 5614  Rel wrel 5619  Fun wfun 6467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pr 5369
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-fun 6475
This theorem is referenced by:  funprg  6532  funtpg  6533  funtp  6535  funcnvpr  6540  funcnvtp  6541  funcnvqp  6542  fnun  6591  fvun  6908  wfrlem13OLD  8214  tfrlem10  8280  sbthlem7  8946  sbthlem8  8947  fodomr  8985  funsnfsupp  9242  axdc3lem4  10302  strleun  16947  setsfun  16961  setsfun0  16962  cnfldfunALT  20708  cnfldfunALTOLD  20709  noextend  26912  noextendseq  26913  bnj1421  33262  satffunlem1  33609  satffunlem2  33610
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