MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funun 6599
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))

Proof of Theorem funun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 6570 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2 funrel 6570 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
31, 2anim12i 612 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
4 relun 5813 . . . 4 (Rel (𝐹𝐺) ↔ (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
53, 4sylibr 233 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Rel (𝐹𝐺))
65adantr 480 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Rel (𝐹𝐺))
7 elun 4147 . . . . . . . 8 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
8 elun 4147 . . . . . . . 8 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
97, 8anbi12i 627 . . . . . . 7 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
10 anddi 1009 . . . . . . 7 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
119, 10bitri 275 . . . . . 6 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
12 disj1 4451 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
141319.21bi 2178 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
15 imnan 399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
1614, 15sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
17 vex 3475 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
18 vex 3475 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
1917, 18opeldm 5910 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹)
20 vex 3475 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
2117, 20opeldm 5910 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
2219, 21anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
2316, 22nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
24 orel2 889 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
2614con2d 134 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
27 imnan 399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
2917, 18opeldm 5910 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
3017, 20opeldm 5910 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹)
3129, 30anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
3228, 31nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹))
33 orel1 887 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
3525, 34orim12d 963 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
3635adantl 481 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
3711, 36biimtrid 241 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
38 dffun4 6564 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
3938simprbi 496 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
403919.21bi 2178 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
414019.21bbi 2179 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
42 dffun4 6564 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧)))
4342simprbi 496 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
444319.21bi 2178 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
454419.21bbi 2179 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
4641, 45jaao 953 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4746adantr 480 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4837, 47syld 47 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4948alrimiv 1923 . . 3 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
5049alrimivv 1924 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
51 dffun4 6564 . 2 (Fun (𝐹𝐺) ↔ (Rel (𝐹𝐺) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧)))
526, 50, 51sylanbrc 582 1 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  cun 3945  cin 3946  c0 4323  cop 4635  dom cdm 5678  Rel wrel 5683  Fun wfun 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-fun 6550
This theorem is referenced by:  funprg  6607  funtpg  6608  funtp  6610  funcnvpr  6615  funcnvtp  6616  funcnvqp  6617  fnun  6668  fvun  6988  wfrlem13OLD  8342  tfrlem10  8408  sbthlem7  9114  sbthlem8  9115  fodomr  9153  funsnfsupp  9416  axdc3lem4  10477  strleun  17126  setsfun  17140  setsfun0  17141  cnfldfunALT  21294  cnfldfunALTOLD  21307  cnfldfunALTOLDOLD  21308  noextend  27612  noextendseq  27613  bnj1421  34673  satffunlem1  35017  satffunlem2  35018
  Copyright terms: Public domain W3C validator