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Theorem funun 6373
 Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))

Proof of Theorem funun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 6344 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2 funrel 6344 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
31, 2anim12i 615 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
4 relun 5649 . . . 4 (Rel (𝐹𝐺) ↔ (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
53, 4sylibr 237 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Rel (𝐹𝐺))
65adantr 484 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Rel (𝐹𝐺))
7 elun 4076 . . . . . . . 8 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
8 elun 4076 . . . . . . . 8 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
97, 8anbi12i 629 . . . . . . 7 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
10 anddi 1008 . . . . . . 7 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
119, 10bitri 278 . . . . . 6 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
12 disj1 4358 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
1312biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
141319.21bi 2186 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
15 imnan 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
1614, 15sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
17 vex 3444 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
18 vex 3444 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
1917, 18opeldm 5741 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹)
20 vex 3444 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
2117, 20opeldm 5741 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
2219, 21anim12i 615 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
2316, 22nsyl 142 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
24 orel2 888 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
2614con2d 136 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
27 imnan 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
2826, 27sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
2917, 18opeldm 5741 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
3017, 20opeldm 5741 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹)
3129, 30anim12i 615 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
3228, 31nsyl 142 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹))
33 orel1 886 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
3525, 34orim12d 962 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
3635adantl 485 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
3711, 36syl5bi 245 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
38 dffun4 6339 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
3938simprbi 500 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
403919.21bi 2186 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
414019.21bbi 2187 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
42 dffun4 6339 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧)))
4342simprbi 500 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
444319.21bi 2186 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
454419.21bbi 2187 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
4641, 45jaao 952 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4746adantr 484 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4837, 47syld 47 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4948alrimiv 1928 . . 3 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
5049alrimivv 1929 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
51 dffun4 6339 . 2 (Fun (𝐹𝐺) ↔ (Rel (𝐹𝐺) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧)))
526, 50, 51sylanbrc 586 1 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  ⟨cop 4531  dom cdm 5520  Rel wrel 5525  Fun wfun 6321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pr 5296 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5032  df-opab 5094  df-id 5426  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-fun 6329 This theorem is referenced by:  funprg  6381  funtpg  6382  funtp  6384  funcnvpr  6389  funcnvtp  6390  funcnvqp  6391  fnun  6437  fvun  6733  wfrlem13  7957  tfrlem10  8013  sbthlem7  8624  sbthlem8  8625  fodomr  8659  funsnfsupp  8848  axdc3lem4  9871  setsfun  16517  setsfun0  16518  strleun  16590  cnfldfun  20111  bnj1421  32460  satffunlem1  32803  satffunlem2  32804  noextend  33322  noextendseq  33323
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