Theorem fvcod 45348

Description: Value of a function composition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvcod.g	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
fvcod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
fvcod.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fvcod	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvcod.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)
2	1	fveq1i 6829	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴))
4		fvcod.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
5		fvcod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
6		fvco 6926	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  dom cdm 5619   ∘ ccom 5623  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  subsaliuncllem  46479