Theorem fvcod 45134

Description: Value of a function composition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvcod.g	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
fvcod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
fvcod.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fvcod	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvcod.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)
2	1	fveq1i 6921	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴))
4		fvcod.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
5		fvcod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
6		fvco 7020	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  dom cdm 5700   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  subsaliuncllem  46278