Theorem fvcod 40342

Description: Value of a function composition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvcod.g	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
fvcod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
fvcod.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fvcod	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvcod.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)
2	1	fveq1i 6447	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴))
4		fvcod.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
5		fvcod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
6		fvco 6534	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2814	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  dom cdm 5355   ∘ ccom 5359  Fun wfun 6129  ‘cfv 6135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-fv 6143

This theorem is referenced by:  subsaliuncllem  41499