Theorem fvcod 6982

Description: Value of a function composition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvcod.g	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
fvcod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
fvcod.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fvcod	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvcod.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)
2	1	fveq1i 6884	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴))
4		fvcod.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
5		fvcod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
6		fvco 6981	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  dom cdm 5663   ∘ ccom 5667  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  selvascl  33888  subsaliuncllem  47054