Theorem fvcod 45467

Description: Value of a function composition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvcod.g	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
fvcod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
fvcod.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fvcod	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvcod.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐺)
2	1	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴))
4		fvcod.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
5		fvcod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
6		fvco 6932	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  dom cdm 5624   ∘ ccom 5628  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  subsaliuncllem  46597