Theorem fvco 6944

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6536	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6943	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 581	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  dom cdm 5638   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  ‘cfv 6501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-fv 6509

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10287  hashkf  14242  hashgval  14243  gsumpropd2lem  18548  ofco2  21837  opfv  31628  xppreima  31629  psgnfzto1stlem  32019  cycpmfv1  32032  cycpmfv2  32033  cyc3co2  32059  smatlem  32467  mdetpmtr1  32493  madjusmdetlem2  32498  madjusmdetlem4  32500  eulerpartlemgvv  33065  eulerpartlemgu  33066  sseqfv2  33083  reprpmtf1o  33328  hgt750lemg  33356  comptiunov2i  42100  choicefi  43542  fvcod  43569  evthiccabs  43854  cncficcgt0  44249  dvsinax  44274  fvvolioof  44350  fvvolicof  44352  stirlinglem14  44448  fourierdlem42  44510  hoicvr  44909  hoi2toco  44968  ovolval3  45008  ovolval4lem1  45010  ovnovollem1  45017  ovnovollem2  45018