Theorem fvco 6991

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6578	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6990	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 593	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  dom cdm 5654   ∘ ccom 5658  Fun wfun 6540   Fn wfn 6541  ‘cfv 6546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-fv 6554

This theorem is used by:  fvcod  6992  fin23lem30  10430  hashkf  14486  hashgval  14487  gsumpropd2lem  18880  ofco2  22778  opfv  33292  xppreima  33293  psgnfzto1stlem  33714  cycpmfv1  33727  cycpmfv2  33728  cyc3co2  33754  smatlem  34482  mdetpmtr1  34508  madjusmdetlem2  34513  madjusmdetlem4  34515  eulerpartlemgvv  35061  eulerpartlemgu  35062  sseqfv2  35079  reprpmtf1o  35308  hgt750lemg  35336  aks5lem2  43377  comptiunov2i  44846  choicefi  46353  evthiccabs  46647  cncficcgt0  47037  dvsinax  47062  fvvolioof  47138  fvvolicof  47140  stirlinglem14  47236  fourierdlem42  47298  hoicvr  47697  hoi2toco  47756  ovolval3  47796  ovolval4lem1  47798  ovnovollem1  47805  ovnovollem2  47806