Theorem fvco 6923

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6515	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6922	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 581	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  dom cdm 5621   ∘ ccom 5625  Fun wfun 6474   Fn wfn 6475  ‘cfv 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pr 5373

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-fv 6488

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10200  hashkf  14148  hashgval  14149  gsumpropd2lem  18461  ofco2  21707  opfv  31269  xppreima  31270  psgnfzto1stlem  31654  cycpmfv1  31667  cycpmfv2  31668  cyc3co2  31694  smatlem  32045  mdetpmtr1  32071  madjusmdetlem2  32076  madjusmdetlem4  32078  eulerpartlemgvv  32643  eulerpartlemgu  32644  sseqfv2  32661  reprpmtf1o  32906  hgt750lemg  32934  comptiunov2i  41687  choicefi  43119  fvcod  43146  evthiccabs  43422  cncficcgt0  43817  dvsinax  43842  fvvolioof  43918  fvvolicof  43920  stirlinglem14  44016  fourierdlem42  44078  hoicvr  44475  hoi2toco  44534  ovolval3  44574  ovolval4lem1  44576  ovnovollem1  44583  ovnovollem2  44584