MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvco 6940
Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
fvco ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺𝐴)))

Proof of Theorem fvco
StepHypRef Expression
1 funfn 6532 . 2 (Fun 𝐺𝐺 Fn dom 𝐺)
2 fvco2 6939 . 2 ((𝐺 Fn dom 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺𝐴)))
31, 2sylanb 582 1 ((Fun 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  dom cdm 5634  ccom 5638  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  cfv 6497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  fin23lem30  10283  hashkf  14238  hashgval  14239  gsumpropd2lem  18539  ofco2  21816  opfv  31607  xppreima  31608  psgnfzto1stlem  31998  cycpmfv1  32011  cycpmfv2  32012  cyc3co2  32038  smatlem  32435  mdetpmtr1  32461  madjusmdetlem2  32466  madjusmdetlem4  32468  eulerpartlemgvv  33033  eulerpartlemgu  33034  sseqfv2  33051  reprpmtf1o  33296  hgt750lemg  33324  comptiunov2i  42066  choicefi  43508  fvcod  43535  evthiccabs  43820  cncficcgt0  44215  dvsinax  44240  fvvolioof  44316  fvvolicof  44318  stirlinglem14  44414  fourierdlem42  44476  hoicvr  44875  hoi2toco  44934  ovolval3  44974  ovolval4lem1  44976  ovnovollem1  44983  ovnovollem2  44984
  Copyright terms: Public domain W3C validator