Theorem fvco 6977

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6564	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6976	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 593	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  dom cdm 5655   ∘ ccom 5659  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-fv 6541

This theorem is used by:  fvcod  6978  fin23lem30  10347  hashkf  14399  hashgval  14400  gsumpropd2lem  18784  ofco2  22676  opfv  33120  xppreima  33121  psgnfzto1stlem  33543  cycpmfv1  33556  cycpmfv2  33557  cyc3co2  33583  smatlem  34310  mdetpmtr1  34336  madjusmdetlem2  34341  madjusmdetlem4  34343  eulerpartlemgvv  34890  eulerpartlemgu  34891  sseqfv2  34908  reprpmtf1o  35137  hgt750lemg  35165  aks5lem2  43056  comptiunov2i  44549  choicefi  46034  evthiccabs  46329  cncficcgt0  46719  dvsinax  46744  fvvolioof  46820  fvvolicof  46822  stirlinglem14  46918  fourierdlem42  46980  hoicvr  47379  hoi2toco  47438  ovolval3  47478  ovolval4lem1  47480  ovnovollem1  47487  ovnovollem2  47488