Theorem fvco 6930

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6520	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6929	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 581	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  dom cdm 5622   ∘ ccom 5626  Fun wfun 6484   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-fv 6498

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10250  hashkf  14253  hashgval  14254  gsumpropd2lem  18602  ofco2  22393  opfv  32671  xppreima  32672  psgnfzto1stlem  33131  cycpmfv1  33144  cycpmfv2  33145  cyc3co2  33171  smatlem  33903  mdetpmtr1  33929  madjusmdetlem2  33934  madjusmdetlem4  33936  eulerpartlemgvv  34482  eulerpartlemgu  34483  sseqfv2  34500  reprpmtf1o  34732  hgt750lemg  34760  aks5lem2  42380  comptiunov2i  43889  choicefi  45386  fvcod  45413  evthiccabs  45684  cncficcgt0  46074  dvsinax  46099  fvvolioof  46175  fvvolicof  46177  stirlinglem14  46273  fourierdlem42  46335  hoicvr  46734  hoi2toco  46793  ovolval3  46833  ovolval4lem1  46835  ovnovollem1  46842  ovnovollem2  46843