Theorem fvco 6980

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6567	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6979	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 592	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  dom cdm 5662   ∘ ccom 5666  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  fvcod  6981  fin23lem30  10325  hashkf  14367  hashgval  14368  gsumpropd2lem  18736  ofco2  22576  opfv  32929  xppreima  32930  psgnfzto1stlem  33360  cycpmfv1  33373  cycpmfv2  33374  cyc3co2  33400  smatlem  34131  mdetpmtr1  34157  madjusmdetlem2  34162  madjusmdetlem4  34164  eulerpartlemgvv  34710  eulerpartlemgu  34711  sseqfv2  34728  reprpmtf1o  34957  hgt750lemg  34985  aks5lem2  42843  comptiunov2i  44323  choicefi  45808  evthiccabs  46103  cncficcgt0  46493  dvsinax  46518  fvvolioof  46594  fvvolicof  46596  stirlinglem14  46692  fourierdlem42  46754  hoicvr  47153  hoi2toco  47212  ovolval3  47252  ovolval4lem1  47254  ovnovollem1  47261  ovnovollem2  47262