Theorem fvco 6983

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6570	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6982	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 593	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  dom cdm 5663   ∘ ccom 5667  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548

This theorem is used by:  fvcod  6984  fin23lem30  10341  hashkf  14386  hashgval  14387  gsumpropd2lem  18769  ofco2  22658  opfv  33060  xppreima  33061  psgnfzto1stlem  33484  cycpmfv1  33497  cycpmfv2  33498  cyc3co2  33524  smatlem  34251  mdetpmtr1  34277  madjusmdetlem2  34282  madjusmdetlem4  34284  eulerpartlemgvv  34831  eulerpartlemgu  34832  sseqfv2  34849  reprpmtf1o  35078  hgt750lemg  35106  aks5lem2  43012  comptiunov2i  44490  choicefi  45975  evthiccabs  46270  cncficcgt0  46660  dvsinax  46685  fvvolioof  46761  fvvolicof  46763  stirlinglem14  46859  fourierdlem42  46921  hoicvr  47320  hoi2toco  47379  ovolval3  47419  ovolval4lem1  47421  ovnovollem1  47428  ovnovollem2  47429