Theorem fvco 6932

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6522	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6931	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 581	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  dom cdm 5624   ∘ ccom 5628  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10252  hashkf  14255  hashgval  14256  gsumpropd2lem  18604  ofco2  22395  opfv  32722  xppreima  32723  psgnfzto1stlem  33182  cycpmfv1  33195  cycpmfv2  33196  cyc3co2  33222  smatlem  33954  mdetpmtr1  33980  madjusmdetlem2  33985  madjusmdetlem4  33987  eulerpartlemgvv  34533  eulerpartlemgu  34534  sseqfv2  34551  reprpmtf1o  34783  hgt750lemg  34811  aks5lem2  42441  comptiunov2i  43947  choicefi  45444  fvcod  45471  evthiccabs  45742  cncficcgt0  46132  dvsinax  46157  fvvolioof  46233  fvvolicof  46235  stirlinglem14  46331  fourierdlem42  46393  hoicvr  46792  hoi2toco  46851  ovolval3  46891  ovolval4lem1  46893  ovnovollem1  46900  ovnovollem2  46901