Theorem fvco 6979

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6566	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6978	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 592	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  dom cdm 5661   ∘ ccom 5665  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  fvcod  6980  fin23lem30  10321  hashkf  14364  hashgval  14365  gsumpropd2lem  18732  ofco2  22608  opfv  32989  xppreima  32990  psgnfzto1stlem  33420  cycpmfv1  33433  cycpmfv2  33434  cyc3co2  33460  smatlem  34187  mdetpmtr1  34213  madjusmdetlem2  34218  madjusmdetlem4  34220  eulerpartlemgvv  34766  eulerpartlemgu  34767  sseqfv2  34784  reprpmtf1o  35013  hgt750lemg  35041  aks5lem2  42954  comptiunov2i  44432  choicefi  45917  evthiccabs  46212  cncficcgt0  46602  dvsinax  46627  fvvolioof  46703  fvvolicof  46705  stirlinglem14  46801  fourierdlem42  46863  hoicvr  47262  hoi2toco  47321  ovolval3  47361  ovolval4lem1  47363  ovnovollem1  47370  ovnovollem2  47371