Theorem fvco 6960

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6546	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6959	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 590	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  dom cdm 5643   ∘ ccom 5647  Fun wfun 6510   Fn wfn 6511  ‘cfv 6516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-fv 6524

This theorem is referenced by:  fvcod  6961  fin23lem30  10293  hashkf  14339  hashgval  14340  gsumpropd2lem  18704  ofco2  22499  opfv  32807  xppreima  32808  psgnfzto1stlem  33241  cycpmfv1  33254  cycpmfv2  33255  cyc3co2  33281  smatlem  34055  mdetpmtr1  34081  madjusmdetlem2  34086  madjusmdetlem4  34088  eulerpartlemgvv  34634  eulerpartlemgu  34635  sseqfv2  34652  reprpmtf1o  34881  hgt750lemg  34909  aks5lem2  42765  comptiunov2i  44243  choicefi  45738  evthiccabs  46033  cncficcgt0  46423  dvsinax  46448  fvvolioof  46524  fvvolicof  46526  stirlinglem14  46622  fourierdlem42  46684  hoicvr  47083  hoi2toco  47142  ovolval3  47182  ovolval4lem1  47184  ovnovollem1  47191  ovnovollem2  47192