Theorem fvco 6926

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6517	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6925	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 581	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  dom cdm 5619   ∘ ccom 5623  Fun wfun 6481   Fn wfn 6482  ‘cfv 6487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-fv 6495

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10239  hashkf  14245  hashgval  14246  gsumpropd2lem  18593  ofco2  22372  opfv  32633  xppreima  32634  psgnfzto1stlem  33076  cycpmfv1  33089  cycpmfv2  33090  cyc3co2  33116  smatlem  33817  mdetpmtr1  33843  madjusmdetlem2  33848  madjusmdetlem4  33850  eulerpartlemgvv  34396  eulerpartlemgu  34397  sseqfv2  34414  reprpmtf1o  34646  hgt750lemg  34674  aks5lem2  42286  comptiunov2i  43804  choicefi  45302  fvcod  45329  evthiccabs  45601  cncficcgt0  45991  dvsinax  46016  fvvolioof  46092  fvvolicof  46094  stirlinglem14  46190  fourierdlem42  46252  hoicvr  46651  hoi2toco  46710  ovolval3  46750  ovolval4lem1  46752  ovnovollem1  46759  ovnovollem2  46760