Theorem fvco 6990

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6579	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6989	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 579	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10341  hashkf  14298  hashgval  14299  gsumpropd2lem  18606  ofco2  22175  opfv  32135  xppreima  32136  psgnfzto1stlem  32527  cycpmfv1  32540  cycpmfv2  32541  cyc3co2  32567  smatlem  33073  mdetpmtr1  33099  madjusmdetlem2  33104  madjusmdetlem4  33106  eulerpartlemgvv  33671  eulerpartlemgu  33672  sseqfv2  33689  reprpmtf1o  33934  hgt750lemg  33962  comptiunov2i  42761  choicefi  44199  fvcod  44226  evthiccabs  44509  cncficcgt0  44904  dvsinax  44929  fvvolioof  45005  fvvolicof  45007  stirlinglem14  45103  fourierdlem42  45165  hoicvr  45564  hoi2toco  45623  ovolval3  45663  ovolval4lem1  45665  ovnovollem1  45672  ovnovollem2  45673