Theorem fvco 6925

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6515	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6924	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 587	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  dom cdm 5618   ∘ ccom 5622  Fun wfun 6479   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-fv 6493

This theorem is referenced by:  fvcod  6926  fin23lem30  10255  hashkf  14285  hashgval  14286  gsumpropd2lem  18638  ofco2  22434  opfv  32736  xppreima  32737  psgnfzto1stlem  33181  cycpmfv1  33194  cycpmfv2  33195  cyc3co2  33221  smatlem  33981  mdetpmtr1  34007  madjusmdetlem2  34012  madjusmdetlem4  34014  eulerpartlemgvv  34560  eulerpartlemgu  34561  sseqfv2  34578  reprpmtf1o  34810  hgt750lemg  34838  aks5lem2  42672  comptiunov2i  44150  choicefi  45646  evthiccabs  45941  cncficcgt0  46331  dvsinax  46356  fvvolioof  46432  fvvolicof  46434  stirlinglem14  46530  fourierdlem42  46592  hoicvr  46991  hoi2toco  47050  ovolval3  47090  ovolval4lem1  47092  ovnovollem1  47099  ovnovollem2  47100