Theorem fvco 6940

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6530	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6939	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 582	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5632   ∘ ccom 5636  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-fv 6508

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10264  hashkf  14267  hashgval  14268  gsumpropd2lem  18616  ofco2  22407  opfv  32734  xppreima  32735  psgnfzto1stlem  33194  cycpmfv1  33207  cycpmfv2  33208  cyc3co2  33234  smatlem  33975  mdetpmtr1  34001  madjusmdetlem2  34006  madjusmdetlem4  34008  eulerpartlemgvv  34554  eulerpartlemgu  34555  sseqfv2  34572  reprpmtf1o  34804  hgt750lemg  34832  aks5lem2  42557  comptiunov2i  44062  choicefi  45558  fvcod  45585  evthiccabs  45856  cncficcgt0  46246  dvsinax  46271  fvvolioof  46347  fvvolicof  46349  stirlinglem14  46445  fourierdlem42  46507  hoicvr  46906  hoi2toco  46965  ovolval3  47005  ovolval4lem1  47007  ovnovollem1  47014  ovnovollem2  47015