Theorem fvco 6848

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6448	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6847	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 580	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  dom cdm 5580   ∘ ccom 5584  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10029  hashkf  13974  hashgval  13975  gsumpropd2lem  18278  ofco2  21508  opfv  30883  xppreima  30884  psgnfzto1stlem  31269  cycpmfv1  31282  cycpmfv2  31283  cyc3co2  31309  smatlem  31649  mdetpmtr1  31675  madjusmdetlem2  31680  madjusmdetlem4  31682  eulerpartlemgvv  32243  eulerpartlemgu  32244  sseqfv2  32261  reprpmtf1o  32506  hgt750lemg  32534  comptiunov2i  41203  choicefi  42629  fvcod  42655  evthiccabs  42924  cncficcgt0  43319  dvsinax  43344  fvvolioof  43420  fvvolicof  43422  stirlinglem14  43518  fourierdlem42  43580  hoicvr  43976  hoi2toco  44035  ovolval3  44075  ovolval4lem1  44077  ovnovollem1  44084  ovnovollem2  44085