Theorem fvco 6759

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6385	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6758	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 583	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  dom cdm 5555   ∘ ccom 5559  Fun wfun 6349   Fn wfn 6350  ‘cfv 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-fv 6363

This theorem is referenced by:  fin23lem30  9764  hashkf  13693  hashgval  13694  gsumpropd2lem  17889  ofco2  21060  opfv  30393  xppreima  30394  psgnfzto1stlem  30742  cycpmfv1  30755  cycpmfv2  30756  cyc3co2  30782  smatlem  31062  mdetpmtr1  31088  madjusmdetlem2  31093  madjusmdetlem4  31095  eulerpartlemgvv  31634  eulerpartlemgu  31635  sseqfv2  31652  reprpmtf1o  31897  hgt750lemg  31925  comptiunov2i  40100  choicefi  41512  fvcod  41541  evthiccabs  41820  cncficcgt0  42220  dvsinax  42246  fvvolioof  42323  fvvolicof  42325  stirlinglem14  42421  fourierdlem42  42483  hoicvr  42879  hoi2toco  42938  ovolval3  42978  ovolval4lem1  42980  ovnovollem1  42987  ovnovollem2  42988