Theorem fvco 6938

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6528	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6937	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 582	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635  Fun wfun 6492   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  fin23lem30  10264  hashkf  14294  hashgval  14295  gsumpropd2lem  18647  ofco2  22416  opfv  32717  xppreima  32718  psgnfzto1stlem  33161  cycpmfv1  33174  cycpmfv2  33175  cyc3co2  33201  smatlem  33941  mdetpmtr1  33967  madjusmdetlem2  33972  madjusmdetlem4  33974  eulerpartlemgvv  34520  eulerpartlemgu  34521  sseqfv2  34538  reprpmtf1o  34770  hgt750lemg  34798  aks5lem2  42626  comptiunov2i  44133  choicefi  45629  fvcod  45656  evthiccabs  45926  cncficcgt0  46316  dvsinax  46341  fvvolioof  46417  fvvolicof  46419  stirlinglem14  46515  fourierdlem42  46577  hoicvr  46976  hoi2toco  47035  ovolval3  47075  ovolval4lem1  47077  ovnovollem1  47084  ovnovollem2  47085