Theorem fvpr2gOLD 7043

Description: Obsolete version of fvpr2g 7042 as of 26-Sep-2024. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr2gOLD	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2gOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4665	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
2		df-pr 4561	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
3	1, 2	eqtri 2767	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	fveq1i 6754	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵)
5		fvunsn 7030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
6	4, 5	syl5eq 2792	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
7	6	3ad2ant3 1137	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
8		fvsng 7031	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
9	8	3adant3 1134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
10	7, 9	eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943   ∪ cun 3882  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ‘cfv 6415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pr 5346

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3425  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4255  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5479  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-res 5591  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fv 6423

This theorem is referenced by: (None)