MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr2gOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr2gOLD 7226
Description: Obsolete version of fvpr2g 7225 as of 26-Sep-2024. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
fvpr2gOLD ((𝐵𝑉𝐷𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2gOLD
StepHypRef Expression
1 prcom 4757 . . . . . 6 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
2 df-pr 4651 . . . . . 6 {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
31, 2eqtri 2768 . . . . 5 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
43fveq1i 6921 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵)
5 fvunsn 7213 . . . 4 (𝐴𝐵 → (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
64, 5eqtrid 2792 . . 3 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
763ad2ant3 1135 . 2 ((𝐵𝑉𝐷𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
8 fvsng 7214 . . 3 ((𝐵𝑉𝐷𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
983adant3 1132 . 2 ((𝐵𝑉𝐷𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
107, 9eqtrd 2780 1 ((𝐵𝑉𝐷𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  cun 3974  {csn 4648  {cpr 4650  cop 4654  cfv 6573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-res 5712  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator