Theorem fvpr2gOLD 7211

Description: Obsolete version of fvpr2g 7210 as of 26-Sep-2024. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr2gOLD	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2gOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4744	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
2		df-pr 4639	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
3	1, 2	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	fveq1i 6906	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵)
5		fvunsn 7198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
6	4, 5	eqtrid 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
7	6	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
8		fvsng 7199	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
9	8	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
10	7, 9	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933   ∪ cun 3957  {csn 4636  {cpr 4638  ⟨cop 4642  ‘cfv 6558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-br 5157  df-opab 5219  df-id 5584  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-res 5698  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fv 6566

This theorem is referenced by: (None)