Theorem fvunsn 7127

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by NM, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsn	⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Proof of Theorem fvunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundir 5953	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
2		nelsn 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
3		ressnop0 7100	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
5	4	uneq2d 4109	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
6		un0 4335	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
7	5, 6	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
8	1, 7	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
9	8	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
10		fvressn 7109	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
11		fvprc 6826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ∅)
12		fvprc 6826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ∅)
13	11, 12	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
14	10, 13	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷)
15		fvressn 7109	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
16		fvprc 6826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = ∅)
17		fvprc 6826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (𝐴‘𝐷) = ∅)
18	16, 17	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
19	15, 18	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷)
20	9, 14, 19	3eqtr3g 2795	1 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-res 5636  df-iota 6448  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fvpr1g  7138  fvtp1  7143  fvtp1g  7146  f1ounsn  7220  ac6sfi  9187  cats1un  14674  ruclem6  16193  ruclem7  16194  wlkp1lem5  29759  wlkp1lem6  29760  fnchoice  45478  nnsum4primeseven  48288  nnsum4primesevenALTV  48289