Theorem fvunsn 7135

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by NM, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsn	⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Proof of Theorem fvunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundir 5954	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
2		nelsn 4626	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
3		ressnop0 7107	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
5	4	uneq2d 4127	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
6		un0 4353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
7	5, 6	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
8	1, 7	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
9	8	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
10		fvressn 7116	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
11		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ∅)
12		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ∅)
13	11, 12	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
14	10, 13	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷)
15		fvressn 7116	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
16		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = ∅)
17		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (𝐴‘𝐷) = ∅)
18	16, 17	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
19	15, 18	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷)
20	9, 14, 19	3eqtr3g 2787	1 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ∪ cun 3909  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-res 5643  df-iota 6452  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  fvpr1g  7146  fvtp1  7151  fvtp1g  7154  f1ounsn  7229  ac6sfi  9207  cats1un  14662  ruclem6  16179  ruclem7  16180  wlkp1lem5  29579  wlkp1lem6  29580  fnchoice  44996  nnsum4primeseven  47774  nnsum4primesevenALTV  47775