Theorem fvunsn 7177

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by NM, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsn	⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Proof of Theorem fvunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundir 5987	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
2		nelsn 4627	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
3		ressnop0 7150	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
5	4	uneq2d 4115	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
6		un0 4344	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
7	5, 6	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
8	1, 7	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
9	8	fveq1d 6880	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
10		fvressn 7159	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
11		fvprc 6870	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ∅)
12		fvprc 6870	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ∅)
13	11, 12	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
14	10, 13	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷)
15		fvressn 7159	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
16		fvprc 6870	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = ∅)
17		fvprc 6870	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (𝐴‘𝐷) = ∅)
18	16, 17	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
19	15, 18	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷)
20	9, 14, 19	3eqtr3g 2818	1 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-res 5667  df-iota 6489  df-fv 6541

This theorem is used by:  fvpr1g  7188  fvtp1  7193  fvtp1g  7196  f1ounsn  7273  ac6sfi  9254  cats1un  14790  ruclem6  16323  ruclem7  16324  wlkp1lem5  30135  wlkp1lem6  30136  fnchoice  45863  nnsum4primeseven  48716  nnsum4primesevenALTV  48717