MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr2g 7211
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof shortened by BJ, 26-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
fvpr2g ((𝐵𝑉𝐷𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2g
StepHypRef Expression
1 prcom 4737 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
21fveq1i 6908 . 2 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵)
3 necom 2992 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvpr1g 7210 . . 3 ((𝐵𝑉𝐷𝑊𝐵𝐴) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
53, 4syl3an3b 1404 . 2 ((𝐵𝑉𝐷𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
62, 5eqtrid 2787 1 ((𝐵𝑉𝐷𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {cpr 4633  cop 4637  cfv 6563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571
This theorem is referenced by:  fvpr2  7213  fpropnf1  7287  f1prex  7304  wrdlen2i  14978  fvpr1o  17607  linds2eq  33389  zlmodzxzscm  48202  zlmodzxzadd  48203  lincvalpr  48264  ldepspr  48319  2arymptfv  48500  fv2prop  48550  prelrrx2b  48564  line2ylem  48601  line2  48602  line2x  48604  line2y  48605
  Copyright terms: Public domain W3C validator