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Theorem grumnudlem 43507
Description: Lemma for grumnud 43508. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grumnudlem.1 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
grumnudlem.2 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grumnudlem.3 𝐹 = ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑( 𝑑 = 𝑐𝑑𝑓𝑏𝑑)} ∩ (𝐺 × 𝐺))
grumnudlem.4 ((𝑖𝐺𝐺) → (𝑖𝐹 ↔ ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
grumnudlem.5 (( ∈ (𝐹 Coll 𝑧) ∧ ( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
grumnudlem (𝜑𝐺𝑀)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑓,,𝑗   𝑧,𝐺   𝑓,,𝑗,𝐺   𝜑,𝑓,,𝑖,𝑗   𝑢,,𝑖,𝑗,𝐹   𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑞,𝑝,𝑙,𝑓,𝐺   𝑧,𝑢,𝑟,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝐺,𝑝,𝑙,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑏,𝑐,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑏,𝑐,𝑑,𝑙)   𝐺(𝑏,𝑐,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑢,𝑓,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑏,𝑐,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem grumnudlem
Dummy variables 𝑎 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grumnudlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
2 gruss 10797 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑧𝐺𝑎𝑧) → 𝑎𝐺)
31, 2syl3an1 1162 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐺𝑎𝑧) → 𝑎𝐺)
433expia 1120 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝑎𝑧𝑎𝐺))
54alrimiv 1929 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐺) → ∀𝑎(𝑎𝑧𝑎𝐺))
6 pwss 4625 . . . . 5 (𝒫 𝑧𝐺 ↔ ∀𝑎(𝑎𝑧𝑎𝐺))
75, 6sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝒫 𝑧𝐺)
8 ssun1 4172 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑧 ⊆ (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))
9 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → 𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
108, 9sseqtrrid 4035 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → 𝒫 𝑧𝑤)
11 simp1l3 1267 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
12 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑖𝑧)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (( = 𝑣𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = 𝑣)
1413unieqd 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (( = 𝑣𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = 𝑣)
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (( = 𝑣𝑗 = 𝑣) → = 𝑣)
1614, 15eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (( = 𝑣𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = )
1716adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = )
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = 𝑣)
19 simpll3 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → (𝑖𝑣𝑣𝑓))
2019simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑣𝑓)
2118, 20eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑗𝑓)
2219simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑖𝑣)
2322, 18eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑖𝑗)
2417, 21, 233jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → ( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
25 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) → 𝑣𝐺)
2624, 25rr-spce 43419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) → ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
27 simp1l1 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝜑)
2827, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝐺 ∈ Univ)
29 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑣𝐺)
30 gruuni 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑣𝐺) → 𝑣𝐺)
3128, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑣𝐺)
3226, 31rspcime 3616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃𝐺𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
33 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝜑)
3433, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝐺 ∈ Univ)
35 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝑧𝐺)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝑖𝑧)
37 gruel 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑧𝐺𝑖𝑧) → 𝑖𝐺)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝑖𝐺)
39383ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑖𝐺)
40 grumnudlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝐺𝐺) → (𝑖𝐹 ↔ ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
4139, 40sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ 𝐺) → (𝑖𝐹 ↔ ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
4241rexbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → (∃𝐺 𝑖𝐹 ↔ ∃𝐺𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
4332, 42mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃𝐺 𝑖𝐹)
44 rexex 3075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝐺 𝑖𝐹 → ∃ 𝑖𝐹)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃ 𝑖𝐹)
4612, 45cpcoll2d 43481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)𝑖𝐹)
4728adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝐺 ∈ Univ)
48353ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑧𝐺)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝑧𝐺)
501adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
51 grumnudlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 = ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑( 𝑑 = 𝑐𝑑𝑓𝑏𝑑)} ∩ (𝐺 × 𝐺))
52 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑( 𝑑 = 𝑐𝑑𝑓𝑏𝑑)} ∩ (𝐺 × 𝐺)) ⊆ (𝐺 × 𝐺)
5351, 52eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝑧𝐺)
5650, 54, 55grucollcld 43482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺)
5727, 49, 56syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺)
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → ∈ (𝐹 Coll 𝑧))
59 gruel 10804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝐺)
6047, 57, 58, 59syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝐺)
6139, 60, 40syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → (𝑖𝐹 ↔ ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
6261rexbidva 3175 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → (∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)𝑖𝐹 ↔ ∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
6346, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
64 rexcom4 3284 . . . . . . . . . . . . 13 (∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
65 grumnudlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ (𝐹 Coll 𝑧) ∧ ( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
6665rexlimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
6766exlimiv 1932 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑗 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
6864, 67sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
6963, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
70 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧) → 𝑢 (𝐹 Coll 𝑧))
71 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Coll 𝑧) ⊆ (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))
7270, 71sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝑢 ⊆ (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
74 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
7573, 74sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝑢𝑤)
7675ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) → ( 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧) → 𝑢𝑤))
7776anim2d 611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) → ((𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))
7877reximdv 3169 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) → (∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))
7911, 69, 78sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))
8079rexlimdv3a 3158 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))
8180ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))
8210, 81jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))
83823expa 1117 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))
84 grupw 10796 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑧𝐺) → 𝒫 𝑧𝐺)
851, 84sylan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝒫 𝑧𝐺)
86 gruuni 10801 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺) → (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺)
871, 56, 86syl2an2r 682 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺)
88 gruun 10807 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝑧𝐺 (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺) → (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∈ 𝐺)
8950, 85, 87, 88syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∈ 𝐺)
9083, 89rspcime 3616 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐺) → ∃𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))
9190alrimiv 1929 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐺) → ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))
927, 91jca 511 . . 3 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝒫 𝑧𝐺 ∧ ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
9392ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐺 (𝒫 𝑧𝐺 ∧ ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
94 grumnudlem.1 . . . 4 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
9594ismnu 43483 . . 3 (𝐺 ∈ Univ → (𝐺𝑀 ↔ ∀𝑧𝐺 (𝒫 𝑧𝐺 ∧ ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
961, 95syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑀 ↔ ∀𝑧𝐺 (𝒫 𝑧𝐺 ∧ ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
9793, 96mpbird 257 1 (𝜑𝐺𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086  wal 1538   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  {cab 2708  wral 3060  wrex 3069  cun 3946  cin 3947  wss 3948  𝒫 cpw 4602   cuni 4908   class class class wbr 5148  {copab 5210   × cxp 5674  Univcgru 10791   Coll ccoll 43472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-reg 9593  ax-inf2 9642  ax-ac2 10464
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-tc 9738  df-r1 9765  df-rank 9766  df-card 9940  df-cf 9942  df-acn 9943  df-ac 10117  df-wina 10685  df-ina 10686  df-gru 10792  df-scott 43458  df-coll 43473
This theorem is referenced by:  grumnud  43508
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