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Theorem grumnudlem 40144
Description: Lemma for grumnud 40145. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grumnudlem.1 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
grumnudlem.2 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grumnudlem.3 𝐹 = ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑( 𝑑 = 𝑐𝑑𝑓𝑏𝑑)} ∩ (𝐺 × 𝐺))
grumnudlem.4 ((𝑖𝐺𝐺) → (𝑖𝐹 ↔ ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
grumnudlem.5 (( ∈ (𝐹 Coll 𝑧) ∧ ( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
grumnudlem (𝜑𝐺𝑀)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑓,,𝑗   𝑧,𝐺   𝑓,,𝑗,𝐺   𝜑,𝑓,,𝑖,𝑗   𝑢,,𝑖,𝑗,𝐹   𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑞,𝑝,𝑙,𝑓,𝐺   𝑧,𝑢,𝑟,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝐺,𝑝,𝑙,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑏,𝑐,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑏,𝑐,𝑑,𝑙)   𝐺(𝑏,𝑐,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑢,𝑓,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑏,𝑐,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem grumnudlem
Dummy variables 𝑎 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grumnudlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
2 gruss 10069 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑧𝐺𝑎𝑧) → 𝑎𝐺)
31, 2syl3an1 1156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐺𝑎𝑧) → 𝑎𝐺)
433expia 1114 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝑎𝑧𝑎𝐺))
54alrimiv 1905 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐺) → ∀𝑎(𝑎𝑧𝑎𝐺))
6 pwss 4474 . . . . 5 (𝒫 𝑧𝐺 ↔ ∀𝑎(𝑎𝑧𝑎𝐺))
75, 6sylibr 235 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝒫 𝑧𝐺)
8 ssun1 4073 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑧 ⊆ (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))
9 simp3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → 𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
108, 9sseqtrrid 3945 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → 𝒫 𝑧𝑤)
11 simp1l3 1261 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
12 simp1r 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑖𝑧)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (( = 𝑣𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = 𝑣)
1413unieqd 4759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (( = 𝑣𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = 𝑣)
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (( = 𝑣𝑗 = 𝑣) → = 𝑣)
1614, 15eqtr4d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (( = 𝑣𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = )
1716adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = )
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑗 = 𝑣)
19 simpll3 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → (𝑖𝑣𝑣𝑓))
2019simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑣𝑓)
2118, 20eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑗𝑓)
2219simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑖𝑣)
2322, 18eleqtrrd 2886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → 𝑖𝑗)
2417, 21, 233jca 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) ∧ 𝑗 = 𝑣) → ( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
25 simpl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) → 𝑣𝐺)
2624, 25rr-spce 40070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ = 𝑣) → ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
27 simp1l1 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝜑)
2827, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝐺 ∈ Univ)
29 simp2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑣𝐺)
30 gruuni 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑣𝐺) → 𝑣𝐺)
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑣𝐺)
3226, 31rr-rspce 40071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃𝐺𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
33 simpl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝜑)
3433, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝐺 ∈ Univ)
35 simpl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝑧𝐺)
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝑖𝑧)
37 gruel 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑧𝐺𝑖𝑧) → 𝑖𝐺)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → 𝑖𝐺)
39383ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑖𝐺)
40 grumnudlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝐺𝐺) → (𝑖𝐹 ↔ ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
4139, 40sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ 𝐺) → (𝑖𝐹 ↔ ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
4241rexbidva 3259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → (∃𝐺 𝑖𝐹 ↔ ∃𝐺𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
4332, 42mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃𝐺 𝑖𝐹)
44 rexex 3204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝐺 𝑖𝐹 → ∃ 𝑖𝐹)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃ 𝑖𝐹)
4612, 45cpcoll2d 40118 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)𝑖𝐹)
4728adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝐺 ∈ Univ)
48353ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → 𝑧𝐺)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝑧𝐺)
501adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
51 grumnudlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 = ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑( 𝑑 = 𝑐𝑑𝑓𝑏𝑑)} ∩ (𝐺 × 𝐺))
52 inss2 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝑏, 𝑐⟩ ∣ ∃𝑑( 𝑑 = 𝑐𝑑𝑓𝑏𝑑)} ∩ (𝐺 × 𝐺)) ⊆ (𝐺 × 𝐺)
5351, 52eqsstri 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝑧𝐺)
5650, 54, 55grucollcld 40119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺)
5727, 49, 56syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺)
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → ∈ (𝐹 Coll 𝑧))
59 gruel 10076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝐺)
6047, 57, 58, 59syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝐺)
6139, 60, 40syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) ∧ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → (𝑖𝐹 ↔ ∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
6261rexbidva 3259 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → (∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)𝑖𝐹 ↔ ∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)))
6346, 62mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
64 rexcom4 3213 . . . . . . . . . . . . 13 (∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗))
65 grumnudlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ (𝐹 Coll 𝑧) ∧ ( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
6665rexlimiva 3244 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
6766exlimiv 1908 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑗 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
6864, 67sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (∃ ∈ (𝐹 Coll 𝑧)∃𝑗( 𝑗 = 𝑗𝑓𝑖𝑗) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
6963, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)))
70 elssuni 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧) → 𝑢 (𝐹 Coll 𝑧))
71 ssun2 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Coll 𝑧) ⊆ (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))
7270, 71syl6ss 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝑢 ⊆ (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
74 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)))
7573, 74sseqtr4d 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → 𝑢𝑤)
7675ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) → ( 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧) → 𝑢𝑤))
7776anim2d 611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) → ((𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))
7877reximdv 3236 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) → (∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢 ∈ (𝐹 Coll 𝑧)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))
7911, 69, 78sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) ∧ 𝑣𝐺 ∧ (𝑖𝑣𝑣𝑓)) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))
8079rexlimdv3a 3249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) ∧ 𝑖𝑧) → (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))
8180ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))
8210, 81jca 512 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐺𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))
83823expa 1111 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑤 = (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧))) → (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))
84 grupw 10068 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑧𝐺) → 𝒫 𝑧𝐺)
851, 84sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐺) → 𝒫 𝑧𝐺)
86 gruuni 10073 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺) → (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺)
871, 56, 86syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺)
88 gruun 10079 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝑧𝐺 (𝐹 Coll 𝑧) ∈ 𝐺) → (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∈ 𝐺)
8950, 85, 87, 88syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝒫 𝑧 (𝐹 Coll 𝑧)) ∈ 𝐺)
9083, 89rr-rspce 40071 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐺) → ∃𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))
9190alrimiv 1905 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐺) → ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))
927, 91jca 512 . . 3 ((𝜑𝑧𝐺) → (𝒫 𝑧𝐺 ∧ ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
9392ralrimiva 3149 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐺 (𝒫 𝑧𝐺 ∧ ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤)))))
94 grumnudlem.1 . . . 4 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
9594ismnu 40120 . . 3 (𝐺 ∈ Univ → (𝐺𝑀 ↔ ∀𝑧𝐺 (𝒫 𝑧𝐺 ∧ ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
961, 95syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑀 ↔ ∀𝑧𝐺 (𝒫 𝑧𝐺 ∧ ∀𝑓𝑤𝐺 (𝒫 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑖𝑧 (∃𝑣𝐺 (𝑖𝑣𝑣𝑓) → ∃𝑢𝑓 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))))))
9793, 96mpbird 258 1 (𝜑𝐺𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wal 1520   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  {cab 2775  wral 3105  wrex 3106  cun 3861  cin 3862  wss 3863  𝒫 cpw 4457   cuni 4749   class class class wbr 4966  {copab 5028   × cxp 5446  Univcgru 10063   Coll ccoll 40109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-reg 8907  ax-inf2 8955  ax-ac2 9736
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-tc 9030  df-r1 9044  df-rank 9045  df-card 9219  df-cf 9221  df-acn 9222  df-ac 9393  df-wina 9957  df-ina 9958  df-gru 10064  df-scott 40095  df-coll 40110
This theorem is referenced by:  grumnud  40145
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