Theorem gruxp 10736

Description: A Grothendieck universe contains binary cartesian products of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruxp	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruun 10735	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
2		grupw 10724	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
3		grupw 10724	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
4		xpsspw 5763	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
5		gruss 10725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
6	4, 5	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
7	3, 6	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
8	2, 7	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
9	8	3ad2antl1 1186	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
10	1, 9	mpdan 687	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  Univcgru 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-gru 10720

This theorem is referenced by:  grumap  10737