Theorem gruxp 10789

Description: A Grothendieck universe contains binary cartesian products of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruxp	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruun 10788	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
2		grupw 10777	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
3		grupw 10777	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
4		xpsspw 5804	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
5		gruss 10778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
6	4, 5	mp3an3 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
7	3, 6	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
8	2, 7	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
9	8	3ad2antl1 1186	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
10	1, 9	mpdan 686	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3944   ⊆ wss 3946  𝒫 cpw 4598   × cxp 5670  Univcgru 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810  df-gru 10773

This theorem is referenced by:  grumap  10790