Theorem gruxp 10876

Description: A Grothendieck universe contains binary cartesian products of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruxp	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruun 10875	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
2		grupw 10864	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
3		grupw 10864	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
4		xpsspw 5833	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
5		gruss 10865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
6	4, 5	mp3an3 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
7	3, 6	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
8	2, 7	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
9	8	3ad2antl1 1185	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
10	1, 9	mpdan 686	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   × cxp 5698  Univcgru 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-gru 10860

This theorem is referenced by:  grumap  10877