Theorem gruxp 10730

Description: A Grothendieck universe contains binary cartesian products of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruxp	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruun 10729	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
2		grupw 10718	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
3		grupw 10718	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
4		xpsspw 5766	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
5		gruss 10719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
6	4, 5	mp3an3 1453	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
7	3, 6	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
8	2, 7	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
9	8	3ad2antl1 1187	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)
10	1, 9	mpdan 688	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   × cxp 5630  Univcgru 10713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-gru 10714

This theorem is referenced by:  grumap  10731