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Theorem grudomon 10809
Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grudomon ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝑈𝐴𝐵)) → 𝐴𝑈)

Proof of Theorem grudomon
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
2 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑈𝑦𝑈))
31, 2imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐵𝑥𝑈) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝑈)))
43imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))))
5 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐵𝐴𝐵))
6 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑈𝐴𝑈))
75, 6imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐵𝑥𝑈) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝑈)))
87imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴𝐵𝐴𝑈))))
9 r19.21v 3180 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈)))
10 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ On)
11 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
12 onelss 6404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1312imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
14 ssdomg 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ V → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1511, 13, 14mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
1610, 15sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
17 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐵)
18 domtr 9000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑥𝑥𝐵) → 𝑦𝐵)
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐵)
20 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵 → ((𝑦𝐵𝑦𝑈) → 𝑦𝑈))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐵𝑦𝑈) → 𝑦𝑈))
2221ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → ∀𝑦𝑥 𝑦𝑈))
23 dfss3 3970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑈 ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦𝑈)
24 domeng 8955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝑈 → (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵)))
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵)))
2625biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵))
27 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑈 ∈ Univ)
28 gruss 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈𝑦𝐵) → 𝑦𝑈)
29283expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
30293adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
32 ensym 8996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
3331, 32anim12d1 611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵𝑥𝑦) → (𝑦𝑈𝑦𝑥)))
3433ancomsd 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑦𝑦𝐵) → (𝑦𝑈𝑦𝑥)))
3534eximdv 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵) → ∃𝑦(𝑦𝑈𝑦𝑥)))
36 gruen 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈 ∧ (𝑦𝑈𝑦𝑥)) → 𝑥𝑈)
37363com23 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑦𝑈𝑦𝑥) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
38373exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝑈𝑦𝑥) → (𝑥𝑈𝑥𝑈)))
3938exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ Univ → (∃𝑦(𝑦𝑈𝑦𝑥) → (𝑥𝑈𝑥𝑈)))
4027, 35, 39sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵) → (𝑥𝑈𝑥𝑈)))
4126, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑈𝑥𝑈))
4223, 41biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑥 𝑦𝑈𝑥𝑈))
4322, 42syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → 𝑥𝑈))
4443ex 414 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → 𝑥𝑈)))
4544com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈)))
46453expib 1123 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈))))
4746a2d 29 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ On → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈)) → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈))))
489, 47biimtrid 241 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → (∀𝑦𝑥 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈)) → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈))))
494, 8, 48tfis3 7844 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴𝐵𝐴𝑈)))
5049com3l 89 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ On → 𝐴𝑈)))
5150impr 456 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵𝑈𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ On → 𝐴𝑈))
52513impia 1118 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵𝑈𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴𝑈)
53523com23 1127 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝑈𝐴𝐵)) → 𝐴𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3948   class class class wbr 5148  Oncon0 6362  cen 8933  cdom 8934  Univcgru 10782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-gru 10783
This theorem is referenced by:  gruina  10810  grur1  10812
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