Theorem grudomon 10895

Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grudomon	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem grudomon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≼ 𝐵 ↔ 𝑦 ≼ 𝐵))
2		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
3	1, 2	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
4	3	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))))
5		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
6		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
7	5, 6	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
8	7	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑈))))
9		r19.21v 3188	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
10		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → 𝑥 ∈ On)
11		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		onelss 6404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
13	12	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
14		ssdomg 9020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ≼ 𝑥))
15	11, 13, 14	mpsyl 69	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≼ 𝑥)
16	10, 15	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≼ 𝑥)
17		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≼ 𝐵)
18		domtr 9027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → 𝑦 ≼ 𝐵)
19	16, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≼ 𝐵)
20		pm2.27 43	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ≼ 𝐵 → ((𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈))
22	21	ralimdva 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑈))
23		dfss3 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑈)
24		domeng 8982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → (𝑥 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵)))
25	24	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵)))
26	25	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → ∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵))
27		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → 𝑈 ∈ Univ)
28		gruss 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑈)
29	28	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
30	29	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
32		ensym 9023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝑥)
33	31, 32	anim12d1 622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥)))
34	33	ancomsd 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥)))
35	34	eximdv 1950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥)))
36		gruen 10890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	36	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
38	37	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
39	38	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
40	27, 35, 39	sylsyld 62	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
41	26, 40	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈))
42	23, 41	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈))
43	22, 42	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈))
44	43	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)))
45	44	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
46	45	3expib 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
47	46	a2d 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
48	9, 47	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
49	4, 8, 48	tfis3 7867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
50	49	com3l 90	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ 𝑈)))
51	50	impr 460	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ 𝑈))
52	51	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝑈)
53	52	3com23 1144	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  Oncon0 6361   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964  Univcgru 10868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-gru 10869

This theorem is used by:  gruina  10896  grur1  10898