Theorem grudomon 10753

Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grudomon	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem grudomon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≼ 𝐵 ↔ 𝑦 ≼ 𝐵))
2		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
3	1, 2	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
4	3	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))))
5		breq1 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
6		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
7	5, 6	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
8	7	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑈))))
9		r19.21v 3176	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
10		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → 𝑥 ∈ On)
11		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		onelss 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
13	12	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
14		ssdomg 8940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ≼ 𝑥))
15	11, 13, 14	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≼ 𝑥)
16	10, 15	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≼ 𝑥)
17		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≼ 𝐵)
18		domtr 8947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → 𝑦 ≼ 𝐵)
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≼ 𝐵)
20		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ≼ 𝐵 → ((𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈))
22	21	ralimdva 3164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑈))
23		dfss3 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑈)
24		domeng 8902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 → (𝑥 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵)))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵)))
26	25	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → ∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵))
27		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → 𝑈 ∈ Univ)
28		gruss 10732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑈)
29	28	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
30	29	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
32		ensym 8943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝑥)
33	31, 32	anim12d1 610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥)))
34	33	ancomsd 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥)))
35	34	eximdv 1920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥)))
36		gruen 10748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
37	36	3com23 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
38	37	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
39	38	exlimdv 1936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
40	27, 35, 39	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∃𝑦(𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
41	26, 40	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (𝑥 ⊆ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈))
42	23, 41	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝑈))
43	22, 42	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ≼ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈))
44	43	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)))
45	44	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
46	45	3expib 1122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
47	46	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
48	9, 47	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≼ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑥 ≼ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
49	4, 8, 48	tfis3 7794	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
50	49	com3l 89	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ 𝑈)))
51	50	impr 455	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ 𝑈))
52	51	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝑈)
53	52	3com23 1126	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  Oncon0 6317   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881  Univcgru 10726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-gru 10727

This theorem is referenced by:  gruina  10754  grur1  10756