Theorem grumap 10817

Description: A Grothendieck universe contains all powers of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grumap	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem grumap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ Univ)
2		gruxp 10816	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
3	2	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
4		grupw 10804	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
6		mapsspw 8885	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
8		gruss 10805	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   × cxp 5653  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  Univcgru 10799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8828  df-pm 8829  df-gru 10800

This theorem is used by:  gruixp  10818