Theorem grumap 10737

Description: A Grothendieck universe contains all powers of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grumap	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem grumap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ Univ)
2		gruxp 10736	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
3	2	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
4		grupw 10724	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
6		mapsspw 8828	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
8		gruss 10725	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Univcgru 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778  df-pm 8779  df-gru 10720

This theorem is referenced by:  gruixp  10738