Theorem grumap 10721

Description: A Grothendieck universe contains all powers of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grumap	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem grumap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ Univ)
2		gruxp 10720	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
3	2	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
4		grupw 10708	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
6		mapsspw 8812	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
8		gruss 10709	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553   × cxp 5621  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Univcgru 10703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8762  df-pm 8763  df-gru 10704

This theorem is referenced by:  gruixp  10722