MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grumap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grumap 10837
Description: A Grothendieck universe contains all powers of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grumap ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑈) → (𝐴m 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem grumap
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑈) → 𝑈 ∈ Univ)
2 gruxp 10836 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈𝐴𝑈) → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
323com23 1123 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑈) → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
4 grupw 10824 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
51, 3, 4syl2anc 582 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑈) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
6 mapsspw 8901 . . 3 (𝐴m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
76a1i 11 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑈) → (𝐴m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
8 gruss 10825 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴m 𝐵) ∈ 𝑈)
91, 5, 7, 8syl3anc 1368 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑈) → (𝐴m 𝐵) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2098  wss 3947  𝒫 cpw 4604   × cxp 5678  (class class class)co 7424  m cmap 8849  Univcgru 10819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-map 8851  df-pm 8852  df-gru 10820
This theorem is referenced by:  gruixp  10838
  Copyright terms: Public domain W3C validator