MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruixp 10849
Description: A Grothendieck universe contains indexed cartesian products of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruixp ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → X𝑥𝐴 𝐵𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem gruixp
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → 𝑈 ∈ Univ)
2 gruiun 10839 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → 𝑥𝐴 𝐵𝑈)
3 simp2 1138 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → 𝐴𝑈)
4 grumap 10848 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴 𝐵𝑈𝐴𝑈) → ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴) ∈ 𝑈)
51, 2, 3, 4syl3anc 1373 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴) ∈ 𝑈)
6 ixpssmapg 8968 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑈X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴))
763ad2ant3 1136 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴))
8 gruss 10836 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴) ∈ 𝑈X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴)) → X𝑥𝐴 𝐵𝑈)
91, 5, 7, 8syl3anc 1373 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → X𝑥𝐴 𝐵𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087  wcel 2108  wral 3061  wss 3951   ciun 4991  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Xcixp 8937  Univcgru 10830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-gru 10831
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator