MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruixp 10309
Description: A Grothendieck universe contains indexed cartesian products of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruixp ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → X𝑥𝐴 𝐵𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem gruixp
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → 𝑈 ∈ Univ)
2 gruiun 10299 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → 𝑥𝐴 𝐵𝑈)
3 simp2 1138 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → 𝐴𝑈)
4 grumap 10308 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴 𝐵𝑈𝐴𝑈) → ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴) ∈ 𝑈)
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴) ∈ 𝑈)
6 ixpssmapg 8538 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑈X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴))
763ad2ant3 1136 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴))
8 gruss 10296 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴) ∈ 𝑈X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴)) → X𝑥𝐴 𝐵𝑈)
91, 5, 7, 8syl3anc 1372 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑈) → X𝑥𝐴 𝐵𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088  wcel 2114  wral 3053  wss 3843   ciun 4881  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Xcixp 8507  Univcgru 10290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-gru 10291
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator