MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gruima 10797
Description: A Grothendieck universe contains image sets drawn from its members. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruima ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem gruima
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ Fun 𝐹)
2 funrel 6566 . . . 4 (Fun 𝐹 β†’ Rel 𝐹)
3 df-ima 5690 . . . . 5 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
4 resres 5995 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
5 resdm 6027 . . . . . . . 8 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
65reseq1d 5981 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
74, 6eqtr3id 2787 . . . . . 6 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
87rneqd 5938 . . . . 5 (Rel 𝐹 β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
93, 8eqtr4id 2792 . . . 4 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
101, 2, 93syl 18 . . 3 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
11 simpl1 1192 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ Univ)
12 simpr 486 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
13 inss2 4230 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
1413a1i 11 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
15 gruss 10791 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
1611, 12, 14, 15syl3anc 1372 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
17 funforn 6813 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 ↔ 𝐹:dom 𝐹–ontoβ†’ran 𝐹)
18 fof 6806 . . . . . . . 8 (𝐹:dom 𝐹–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹)
1917, 18sylbi 216 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹)
20 inss1 4229 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
21 fssres 6758 . . . . . . 7 ((𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹 ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹)
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹)
23 ffn 6718 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
241, 22, 233syl 18 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
25 simpl3 1194 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ)
2610, 25eqsstrrd 4022 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) βŠ† π‘ˆ)
27 df-f 6548 . . . . 5 ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ ↔ ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∧ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) βŠ† π‘ˆ))
2824, 26, 27sylanbrc 584 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ)
29 grurn 10796 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ ∧ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
3011, 16, 28, 29syl3anc 1372 . . 3 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
3110, 30eqeltrd 2834 . 2 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
3231ex 414 1 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  Univcgru 10785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fo 6550  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-gru 10786
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator