MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruima 10746
Description: A Grothendieck universe contains image sets drawn from its members. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruima ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ))

Proof of Theorem gruima
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ Fun 𝐹)
2 funrel 6522 . . . 4 (Fun 𝐹 β†’ Rel 𝐹)
3 df-ima 5650 . . . . 5 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
4 resres 5954 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
5 resdm 5986 . . . . . . . 8 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
65reseq1d 5940 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
74, 6eqtr3id 2787 . . . . . 6 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
87rneqd 5897 . . . . 5 (Rel 𝐹 β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
93, 8eqtr4id 2792 . . . 4 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
101, 2, 93syl 18 . . 3 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
11 simpl1 1192 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ Univ)
12 simpr 486 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
13 inss2 4193 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
1413a1i 11 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
15 gruss 10740 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
1611, 12, 14, 15syl3anc 1372 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
17 funforn 6767 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 ↔ 𝐹:dom 𝐹–ontoβ†’ran 𝐹)
18 fof 6760 . . . . . . . 8 (𝐹:dom 𝐹–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹)
1917, 18sylbi 216 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹)
20 inss1 4192 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
21 fssres 6712 . . . . . . 7 ((𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹 ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹)
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹)
23 ffn 6672 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
241, 22, 233syl 18 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
25 simpl3 1194 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ)
2610, 25eqsstrrd 3987 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) βŠ† π‘ˆ)
27 df-f 6504 . . . . 5 ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ ↔ ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∧ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) βŠ† π‘ˆ))
2824, 26, 27sylanbrc 584 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ)
29 grurn 10745 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ ∧ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
3011, 16, 28, 29syl3anc 1372 . . 3 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
3110, 30eqeltrd 2834 . 2 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
3231ex 414 1 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Rel wrel 5642  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  Univcgru 10734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5227  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-gru 10735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator