MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gruima 10796
Description: A Grothendieck universe contains image sets drawn from its members. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruima ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem gruima
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ Fun 𝐹)
2 funrel 6565 . . . 4 (Fun 𝐹 β†’ Rel 𝐹)
3 df-ima 5689 . . . . 5 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
4 resres 5994 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
5 resdm 6026 . . . . . . . 8 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
65reseq1d 5980 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
74, 6eqtr3id 2786 . . . . . 6 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
87rneqd 5937 . . . . 5 (Rel 𝐹 β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
93, 8eqtr4id 2791 . . . 4 (Rel 𝐹 β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
101, 2, 93syl 18 . . 3 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
11 simpl1 1191 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ Univ)
12 simpr 485 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
13 inss2 4229 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
1413a1i 11 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
15 gruss 10790 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
1611, 12, 14, 15syl3anc 1371 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
17 funforn 6812 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 ↔ 𝐹:dom 𝐹–ontoβ†’ran 𝐹)
18 fof 6805 . . . . . . . 8 (𝐹:dom 𝐹–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹)
1917, 18sylbi 216 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹)
20 inss1 4228 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
21 fssres 6757 . . . . . . 7 ((𝐹:dom 𝐹⟢ran 𝐹 ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹)
2219, 20, 21sylancl 586 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹)
23 ffn 6717 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟢ran 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
241, 22, 233syl 18 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
25 simpl3 1193 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ)
2610, 25eqsstrrd 4021 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) βŠ† π‘ˆ)
27 df-f 6547 . . . . 5 ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ ↔ ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) Fn (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∧ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) βŠ† π‘ˆ))
2824, 26, 27sylanbrc 583 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ)
29 grurn 10795 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ ∧ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆπ‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
3011, 16, 28, 29syl3anc 1371 . . 3 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ran (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
3110, 30eqeltrd 2833 . 2 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
3231ex 413 1 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  Univcgru 10784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-gru 10785
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator