Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grurankrcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grurankrcld 42456
Description: If a Grothendieck universe contains a set's rank, it contains that set. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grurankrcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grurankrcld.2 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
grurankrcld.3 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
grurankrcld (𝜑𝐴𝐺)

Proof of Theorem grurankrcld
StepHypRef Expression
1 grurankrcld.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
2 grurankrcld.2 . . 3 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
31, 2grur1cld 42454 . 2 (𝜑 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4 grurankrcld.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 r1rankid 9791 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
7 gruss 10728 . 2 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴))) → 𝐴𝐺)
81, 3, 6, 7syl3anc 1371 1 (𝜑𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3908  cfv 6493  𝑅1cr1 9694  rankcrnk 9695  Univcgru 10722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-reg 9524  ax-inf2 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-map 8763  df-r1 9696  df-rank 9697  df-gru 10723
This theorem is referenced by:  gruscottcld  42471
  Copyright terms: Public domain W3C validator