Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grurankrcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grurankrcld 42606
Description: If a Grothendieck universe contains a set's rank, it contains that set. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grurankrcld.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Univ)
grurankrcld.2 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝐺)
grurankrcld.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
grurankrcld (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankrcld
StepHypRef Expression
1 grurankrcld.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Univ)
2 grurankrcld.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝐺)
31, 2grur1cld 42604 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄)) ∈ 𝐺)
4 grurankrcld.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 r1rankid 9803 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄)))
64, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄)))
7 gruss 10740 . 2 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄)) ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ 𝐺)
81, 3, 6, 7syl3anc 1372 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6500  π‘…1cr1 9706  rankcrnk 9707  Univcgru 10734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-map 8773  df-r1 9708  df-rank 9709  df-gru 10735
This theorem is referenced by:  gruscottcld  42621
  Copyright terms: Public domain W3C validator