Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grurankrcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grurankrcld 44230
Description: If a Grothendieck universe contains a set's rank, it contains that set. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grurankrcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grurankrcld.2 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
grurankrcld.3 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
grurankrcld (𝜑𝐴𝐺)

Proof of Theorem grurankrcld
StepHypRef Expression
1 grurankrcld.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
2 grurankrcld.2 . . 3 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
31, 2grur1cld 44228 . 2 (𝜑 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4 grurankrcld.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 r1rankid 9897 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
7 gruss 10834 . 2 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴))) → 𝐴𝐺)
81, 3, 6, 7syl3anc 1370 1 (𝜑𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3963  cfv 6563  𝑅1cr1 9800  rankcrnk 9801  Univcgru 10828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-r1 9802  df-rank 9803  df-gru 10829
This theorem is referenced by:  gruscottcld  44245
  Copyright terms: Public domain W3C validator