Theorem grurankrcld 43735

Description: If a Grothendieck universe contains a set's rank, it contains that set. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankrcld.2	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
grurankrcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
grurankrcld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankrcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		grurankrcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
3	1, 2	grur1cld 43733	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4		grurankrcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		r1rankid 9880	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
7		gruss 10817	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝐺)
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6542  𝑅₁cr1 9783  rankcrnk 9784  Univcgru 10811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-reg 9613  ax-inf2 9662

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-map 8843  df-r1 9785  df-rank 9786  df-gru 10812

This theorem is referenced by:  gruscottcld  43750