Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grurankrcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grurankrcld 40862
Description: If a Grothendieck universe contains a set's rank, it contains that set. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grurankrcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grurankrcld.2 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
grurankrcld.3 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
grurankrcld (𝜑𝐴𝐺)

Proof of Theorem grurankrcld
StepHypRef Expression
1 grurankrcld.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
2 grurankrcld.2 . . 3 (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
31, 2grur1cld 40860 . 2 (𝜑 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4 grurankrcld.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 r1rankid 9285 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
7 gruss 10216 . 2 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴))) → 𝐴𝐺)
81, 3, 6, 7syl3anc 1368 1 (𝜑𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  wss 3919  cfv 6343  𝑅1cr1 9188  rankcrnk 9189  Univcgru 10210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-reg 9053  ax-inf2 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-map 8404  df-r1 9190  df-rank 9191  df-gru 10211
This theorem is referenced by:  gruscottcld  40877
  Copyright terms: Public domain W3C validator