Theorem grurankrcld 44417

Description: If a Grothendieck universe contains a set's rank, it contains that set. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankrcld.2	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
grurankrcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
grurankrcld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankrcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		grurankrcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
3	1, 2	grur1cld 44415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4		grurankrcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		r1rankid 9769	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
7		gruss 10705	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝐺)
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490  𝑅₁cr1 9672  rankcrnk 9673  Univcgru 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-reg 9495  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-map 8763  df-r1 9674  df-rank 9675  df-gru 10700

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44432