Theorem grurankrcld 43574

Description: If a Grothendieck universe contains a set's rank, it contains that set. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankrcld.2	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
grurankrcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
grurankrcld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankrcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		grurankrcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
3	1, 2	grur1cld 43572	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4		grurankrcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		r1rankid 9856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
7		gruss 10793	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝐺)
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9759  rankcrnk 9760  Univcgru 10787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-map 8824  df-r1 9761  df-rank 9762  df-gru 10788

This theorem is referenced by:  gruscottcld  43589