Theorem grurankrcld 44258

Description: If a Grothendieck universe contains a set's rank, it contains that set. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grurankrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grurankrcld.2	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
grurankrcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
grurankrcld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grurankrcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grurankrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		grurankrcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝐺)
3	1, 2	grur1cld 44256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4		grurankrcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		r1rankid 9900	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
7		gruss 10837	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘(rank‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝐺)
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6560  𝑅₁cr1 9803  rankcrnk 9804  Univcgru 10831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-reg 9633  ax-inf2 9682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-map 8869  df-r1 9805  df-rank 9806  df-gru 10832

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44273