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Theorem gruina 10856
Description: If a Grothendieck universe 𝑈 is nonempty, then the height of the ordinals in 𝑈 is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
Assertion
Ref Expression
gruina ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Proof of Theorem gruina
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4359 . . . 4 (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑈)
2 0ss 4406 . . . . . . . . . 10 ∅ ⊆ 𝑥
3 gruss 10834 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈 ∧ ∅ ⊆ 𝑥) → ∅ ∈ 𝑈)
42, 3mp3an3 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
5 0elon 6440 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ On
6 elin 3979 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (∅ ∈ 𝑈 ∧ ∅ ∈ On))
74, 5, 6sylanblrc 590 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → ∅ ∈ (𝑈 ∩ On))
8 gruina.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
97, 8eleqtrrdi 2850 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → ∅ ∈ 𝐴)
109ne0d 4348 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
1110expcom 413 . . . . 5 (𝑥𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
1211exlimiv 1928 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
131, 12sylbi 217 . . 3 (𝑈 ≠ ∅ → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
1413impcom 407 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
15 grutr 10831 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
16 tron 6409 . . . . . . . 8 Tr On
17 trin 5277 . . . . . . . 8 ((Tr 𝑈 ∧ Tr On) → Tr (𝑈 ∩ On))
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Univ → Tr (𝑈 ∩ On))
19 inss2 4246 . . . . . . . 8 (𝑈 ∩ On) ⊆ On
20 epweon 7794 . . . . . . . 8 E We On
21 wess 5675 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∩ On) ⊆ On → ( E We On → E We (𝑈 ∩ On)))
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . . 7 E We (𝑈 ∩ On)
23 df-ord 6389 . . . . . . 7 (Ord (𝑈 ∩ On) ↔ (Tr (𝑈 ∩ On) ∧ E We (𝑈 ∩ On)))
2418, 22, 23sylanblrc 590 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Univ → Ord (𝑈 ∩ On))
25 inex1g 5325 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ V)
26 elon2 6397 . . . . . 6 ((𝑈 ∩ On) ∈ On ↔ (Ord (𝑈 ∩ On) ∧ (𝑈 ∩ On) ∈ V))
2724, 25, 26sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ On)
288, 27eqeltrid 2843 . . . 4 (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ∈ On)
2928adantr 480 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
30 eloni 6396 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
31 ordirr 6404 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴𝐴)
33 elin 3979 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (𝐴𝑈𝐴 ∈ On))
3433biimpri 228 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On))
3534, 8eleqtrrdi 2850 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐴 ∈ On) → 𝐴𝐴)
3635expcom 413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑈𝐴𝐴))
3732, 36mtod 198 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴𝑈)
3829, 37syl 17 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ 𝐴𝑈)
39 inss1 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
408, 39eqsstri 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴𝑈
4140sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴𝑥𝑈)
42 vpwex 5383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 𝑥 ∈ V
4342canth2 9169 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
4442pwex 5386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
4544cardid 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥
4645ensymi 9043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥)
4728adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ On)
48 grupw 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
49 grupw 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝑥𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑈)
5048, 49syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑈)
5128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ On)
52 endom 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥
54 cardon 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On
55 grudomon 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On ∧ (𝒫 𝒫 𝑥𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
5654, 55mp3an2 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝒫 𝒫 𝑥𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
5753, 56mpanr2 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
58 elin 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On))
5958biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On))
6059, 8eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
6157, 54, 60sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
62 onelss 6428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴))
6351, 61, 62sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
6450, 63syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
65 ssdomg 9039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴))
6647, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴)
67 endomtr 9051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴) → 𝒫 𝒫 𝑥𝐴)
6846, 66, 67sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥𝐴)
69 sdomdomtr 9149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝐴) → 𝒫 𝑥𝐴)
7043, 68, 69sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝐴)
7141, 70sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝒫 𝑥𝐴)
7271ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴)
73 inawinalem 10727 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
7428, 72, 73sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
7574adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
76 winainflem 10731 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
7714, 29, 75, 76syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ω ⊆ 𝐴)
78 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
7978canth2 9169 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
80 sdomtr 9154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
8179, 71, 80sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
8281ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
83 iscard 10013 . . . . . . . . . . . 12 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴))
8428, 82, 83sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ Univ → (card‘𝐴) = 𝐴)
85 cardlim 10010 . . . . . . . . . . . 12 (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
86 sseq2 4022 . . . . . . . . . . . . 13 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
87 limeq 6398 . . . . . . . . . . . . 13 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
8886, 87bibi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
8985, 88mpbii 233 . . . . . . . . . . 11 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9084, 89syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Univ → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9190adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9277, 91mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Lim 𝐴)
93 cflm 10288 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (cf‘𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
9429, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
95 cardon 9982 . . . . . . . . . . . 12 (card‘𝑦) ∈ On
96 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (card‘𝑦) → (𝑥 ∈ On ↔ (card‘𝑦) ∈ On))
9795, 96mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (card‘𝑦) → 𝑥 ∈ On)
9897adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
9998exlimiv 1928 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
10099abssi 4080 . . . . . . . 8 {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ⊆ On
101 fvex 6920 . . . . . . . . . 10 (cf‘𝐴) ∈ V
10294, 101eqeltrrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ∈ V)
103 intex 5350 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ∈ V)
104102, 103sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ≠ ∅)
105 onint 7810 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ⊆ On ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
106100, 104, 105sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
10794, 106eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
108 eqeq1 2739 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (cf‘𝐴) → (𝑥 = (card‘𝑦) ↔ (cf‘𝐴) = (card‘𝑦)))
109108anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑥 = (cf‘𝐴) → ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ↔ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))))
110109exbidv 1919 . . . . . . 7 (𝑥 = (cf‘𝐴) → (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))))
111101, 110elab 3681 . . . . . 6 ((cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)))
112107, 111sylib 218 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)))
113 simp2rr 1242 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 = 𝑦)
114 simp1l 1196 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
115 simp2rl 1241 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦𝐴)
116115, 40sstrdi 4008 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦𝑈)
11740sseli 3991 . . . . . . . . . . 11 ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
1181173ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
119 simp2l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) = (card‘𝑦))
120 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
121120cardid 10585 . . . . . . . . . . 11 (card‘𝑦) ≈ 𝑦
122119, 121eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)
123 gruen 10850 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦𝑈 ∧ ((cf‘𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)) → 𝑦𝑈)
124114, 116, 118, 122, 123syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦𝑈)
125 gruuni 10838 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
126114, 124, 125syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦𝑈)
127113, 126eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴𝑈)
1281273exp 1118 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴𝐴𝑈)))
129128exlimdv 1931 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴𝐴𝑈)))
130112, 129mpd 15 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴𝐴𝑈))
13138, 130mtod 198 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴)
132 cfon 10293 . . . . 5 (cf‘𝐴) ∈ On
133 cfle 10292 . . . . . 6 (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴
134 onsseleq 6427 . . . . . 6 (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝐴 ↔ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴)))
135133, 134mpbii 233 . . . . 5 (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
136132, 135mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
137136ord 864 . . 3 (𝐴 ∈ On → (¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
13829, 131, 137sylc 65 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
13972adantr 480 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴)
140 elina 10725 . 2 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴))
14114, 138, 139, 140syl3anbrc 1342 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   cint 4951   class class class wbr 5148  Tr wtr 5265   E cep 5588   We wwe 5640  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  cfv 6563  ωcom 7887  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  cardccrd 9973  cfccf 9975  Inacccina 10721  Univcgru 10828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-ac2 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-card 9977  df-cf 9979  df-ac 10154  df-ina 10723  df-gru 10829
This theorem is referenced by:  grur1a  10857  grur1  10858  grutsk  10860
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