Theorem gruina 10747

Description: If a Grothendieck universe 𝑈 is nonempty, then the height of the ordinals in 𝑈 is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)

Assertion

Ref	Expression
gruina	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Proof of Theorem gruina

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4312	. . . 4 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
2		0ss 4359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
3		gruss 10725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∅ ⊆ 𝑥) → ∅ ∈ 𝑈)
4	2, 3	mp3an3 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
5		0elon 6375	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ On
6		elin 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (∅ ∈ 𝑈 ∧ ∅ ∈ On))
7	4, 5, 6	sylanblrc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ (𝑈 ∩ On))
8		gruina.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
9	7, 8	eleqtrrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝐴)
10	9	ne0d 4301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
12	11	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
13	1, 12	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
14	13	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
15		grutr 10722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
16		tron 6343	. . . . . . . 8 ⊢ Tr On
17		trin 5221	. . . . . . . 8 ⊢ ((Tr 𝑈 ∧ Tr On) → Tr (𝑈 ∩ On))
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr (𝑈 ∩ On))
19		inss2 4197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ On
20		epweon 7731	. . . . . . . 8 ⊢ E We On
21		wess 5617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∩ On) ⊆ On → ( E We On → E We (𝑈 ∩ On)))
22	19, 20, 21	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ E We (𝑈 ∩ On)
23		df-ord 6323	. . . . . . 7 ⊢ (Ord (𝑈 ∩ On) ↔ (Tr (𝑈 ∩ On) ∧ E We (𝑈 ∩ On)))
24	18, 22, 23	sylanblrc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Ord (𝑈 ∩ On))
25		inex1g 5269	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ V)
26		elon2 6331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∩ On) ∈ On ↔ (Ord (𝑈 ∩ On) ∧ (𝑈 ∩ On) ∈ V))
27	24, 25, 26	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ On)
28	8, 27	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ∈ On)
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
30		eloni 6330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
31		ordirr 6338	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
33		elin 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On))
34	33	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On))
35	34, 8	eleqtrrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐴)
36	35	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐴))
37	32, 36	mtod 198	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈)
38	29, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈)
39		inss1 4196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
40	8, 39	eqsstri 3990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈
41	40	sseli 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑈)
42		vpwex 5327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
43	42	canth2 9071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
44	42	pwex 5330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
45	44	cardid 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥
46	45	ensymi 8952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥)
47	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ On)
48		grupw 10724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
49		grupw 10724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
50	48, 49	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
51	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ On)
52		endom 8927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)
53	45, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥
54		cardon 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On
55		grudomon 10746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On ∧ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
56	54, 55	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
57	53, 56	mpanr2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
58		elin 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On))
59	58	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On))
60	59, 8	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
61	57, 54, 60	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
62		onelss 6362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴))
63	51, 61, 62	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
64	50, 63	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
65		ssdomg 8948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴))
66	47, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴)
67		endomtr 8960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
68	46, 66, 67	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
69		sdomdomtr 9051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
70	43, 68, 69	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
71	41, 70	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
72	71	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
73		inawinalem 10618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
74	28, 72, 73	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
76		winainflem 10622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
77	14, 29, 75, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ω ⊆ 𝐴)
78		vex 3448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
79	78	canth2 9071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
80		sdomtr 9056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
81	79, 71, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
82	81	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
83		iscard 9904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
84	28, 82, 83	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (card‘𝐴) = 𝐴)
85		cardlim 9901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
86		sseq2 3970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
87		limeq 6332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
88	86, 87	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
89	85, 88	mpbii 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
90	84, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
92	77, 91	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Lim 𝐴)
93		cflm 10179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (cf‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
94	29, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
95		cardon 9873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (card‘𝑦) ∈ On
96		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (card‘𝑦) → (𝑥 ∈ On ↔ (card‘𝑦) ∈ On))
97	95, 96	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (card‘𝑦) → 𝑥 ∈ On)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
99	98	exlimiv 1930	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
100	99	abssi 4029	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ⊆ On
101		fvex 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ V
102	94, 101	eqeltrrdi 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ V)
103		intex 5294	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ V)
104	102, 103	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅)
105		onint 7746	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ⊆ On ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
106	100, 104, 105	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
107	94, 106	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
108		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → (𝑥 = (card‘𝑦) ↔ (cf‘𝐴) = (card‘𝑦)))
109	108	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ↔ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))))
110	109	exbidv 1921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))))
111	101, 110	elab 3643	. . . . . 6 ⊢ ((cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)))
112	107, 111	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)))
113		simp2rr 1244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝑦)
114		simp1l 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
115		simp2rl 1243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
116	115, 40	sstrdi 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝑈)
117	40	sseli 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
118	117	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
119		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) = (card‘𝑦))
120		vex 3448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
121	120	cardid 10476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘𝑦) ≈ 𝑦
122	119, 121	eqbrtrdi 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)
123		gruen 10741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦 ⊆ 𝑈 ∧ ((cf‘𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
124	114, 116, 118, 122, 123	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑈)
125		gruuni 10729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑈)
126	114, 124, 125	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑈)
127	113, 126	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
128	127	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
129	128	exlimdv 1933	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
130	112, 129	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈))
131	38, 130	mtod 198	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴)
132		cfon 10184	. . . . 5 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
133		cfle 10183	. . . . . 6 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴
134		onsseleq 6361	. . . . . 6 ⊢ (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝐴 ↔ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴)))
135	133, 134	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
136	132, 135	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
137	136	ord 864	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
138	29, 131, 137	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
139	72	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
140		elina 10616	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴))
141	14, 138, 139, 140	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102  Tr wtr 5209   E cep 5530   We wwe 5583  Ord word 6319  Oncon0 6320  Lim wlim 6321  ‘cfv 6499  ωcom 7822   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  cardccrd 9864  cfccf 9866  Inacccina 10612  Univcgru 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-ac2 10392

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-card 9868  df-cf 9870  df-ac 10045  df-ina 10614  df-gru 10720

This theorem is referenced by:  grur1a  10748  grur1  10749  grutsk  10751