Theorem gruina 10736

Description: If a Grothendieck universe 𝑈 is nonempty, then the height of the ordinals in 𝑈 is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)

Assertion

Ref	Expression
gruina	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Proof of Theorem gruina

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4294	. . . 4 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
2		0ss 4341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
3		gruss 10714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∅ ⊆ 𝑥) → ∅ ∈ 𝑈)
4	2, 3	mp3an3 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
5		0elon 6374	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ On
6		elin 3906	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (∅ ∈ 𝑈 ∧ ∅ ∈ On))
7	4, 5, 6	sylanblrc 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ (𝑈 ∩ On))
8		gruina.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
9	7, 8	eleqtrrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝐴)
10	9	ne0d 4283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
12	11	exlimiv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
13	1, 12	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
14	13	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
15		grutr 10711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
16		tron 6342	. . . . . . . 8 ⊢ Tr On
17		trin 5205	. . . . . . . 8 ⊢ ((Tr 𝑈 ∧ Tr On) → Tr (𝑈 ∩ On))
18	15, 16, 17	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr (𝑈 ∩ On))
19		inss2 4179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ On
20		epweon 7724	. . . . . . . 8 ⊢ E We On
21		wess 5612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∩ On) ⊆ On → ( E We On → E We (𝑈 ∩ On)))
22	19, 20, 21	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ E We (𝑈 ∩ On)
23		df-ord 6322	. . . . . . 7 ⊢ (Ord (𝑈 ∩ On) ↔ (Tr (𝑈 ∩ On) ∧ E We (𝑈 ∩ On)))
24	18, 22, 23	sylanblrc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Ord (𝑈 ∩ On))
25		inex1g 5257	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ V)
26		elon2 6330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∩ On) ∈ On ↔ (Ord (𝑈 ∩ On) ∧ (𝑈 ∩ On) ∈ V))
27	24, 25, 26	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ On)
28	8, 27	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ∈ On)
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
30		eloni 6329	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
31		ordirr 6337	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
33		elin 3906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On))
34	33	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On))
35	34, 8	eleqtrrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐴)
36	35	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐴))
37	32, 36	mtod 198	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈)
38	29, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈)
39		inss1 4178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
40	8, 39	eqsstri 3969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈
41	40	sseli 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑈)
42		vpwex 5316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
43	42	canth2 9063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
44	42	pwex 5319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
45	44	cardid 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥
46	45	ensymi 8946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥)
47	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ On)
48		grupw 10713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
49		grupw 10713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
50	48, 49	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
51	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ On)
52		endom 8921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)
53	45, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥
54		cardon 9863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On
55		grudomon 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On ∧ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
56	54, 55	mp3an2 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
57	53, 56	mpanr2 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
58		elin 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On))
59	58	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On))
60	59, 8	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
61	57, 54, 60	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
62		onelss 6361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴))
63	51, 61, 62	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
64	50, 63	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
65		ssdomg 8942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴))
66	47, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴)
67		endomtr 8954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
68	46, 66, 67	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
69		sdomdomtr 9043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
70	43, 68, 69	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
71	41, 70	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
72	71	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
73		inawinalem 10607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
74	28, 72, 73	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
76		winainflem 10611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
77	14, 29, 75, 76	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ω ⊆ 𝐴)
78		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
79	78	canth2 9063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
80		sdomtr 9048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
81	79, 71, 80	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
82	81	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
83		iscard 9894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
84	28, 82, 83	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (card‘𝐴) = 𝐴)
85		cardlim 9891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
86		sseq2 3949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
87		limeq 6331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
88	86, 87	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
89	85, 88	mpbii 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
90	84, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
92	77, 91	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Lim 𝐴)
93		cflm 10167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (cf‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
94	29, 92, 93	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
95		cardon 9863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (card‘𝑦) ∈ On
96		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (card‘𝑦) → (𝑥 ∈ On ↔ (card‘𝑦) ∈ On))
97	95, 96	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (card‘𝑦) → 𝑥 ∈ On)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
99	98	exlimiv 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
100	99	abssi 4009	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ⊆ On
101		fvex 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ V
102	94, 101	eqeltrrdi 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ V)
103		intex 5282	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ V)
104	102, 103	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅)
105		onint 7739	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ⊆ On ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
106	100, 104, 105	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
107	94, 106	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
108		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → (𝑥 = (card‘𝑦) ↔ (cf‘𝐴) = (card‘𝑦)))
109	108	anbi1d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ↔ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))))
110	109	exbidv 1923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))))
111	101, 110	elab 3623	. . . . . 6 ⊢ ((cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)))
112	107, 111	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)))
113		simp2rr 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝑦)
114		simp1l 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
115		simp2rl 1244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
116	115, 40	sstrdi 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝑈)
117	40	sseli 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
118	117	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
119		simp2l 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) = (card‘𝑦))
120		vex 3434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
121	120	cardid 10464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘𝑦) ≈ 𝑦
122	119, 121	eqbrtrdi 5125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)
123		gruen 10730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦 ⊆ 𝑈 ∧ ((cf‘𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
124	114, 116, 118, 122, 123	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑈)
125		gruuni 10718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑈)
126	114, 124, 125	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑈)
127	113, 126	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
128	127	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
129	128	exlimdv 1935	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
130	112, 129	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈))
131	38, 130	mtod 198	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴)
132		cfon 10172	. . . . 5 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
133		cfle 10171	. . . . . 6 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴
134		onsseleq 6360	. . . . . 6 ⊢ (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝐴 ↔ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴)))
135	133, 134	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
136	132, 135	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
137	136	ord 865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
138	29, 131, 137	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
139	72	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
140		elina 10605	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴))
141	14, 138, 139, 140	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890   class class class wbr 5086  Tr wtr 5193   E cep 5525   We wwe 5578  Ord word 6318  Oncon0 6319  Lim wlim 6320  ‘cfv 6494  ωcom 7812   ≈ cen 8885   ≼ cdom 8886   ≺ csdm 8887  cardccrd 9854  cfccf 9856  Inacccina 10601  Univcgru 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-ac2 10380

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-card 9858  df-cf 9860  df-ac 10033  df-ina 10603  df-gru 10709

This theorem is referenced by:  grur1a  10737  grur1  10738  grutsk  10740