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Theorem gruina 10833
Description: If a Grothendieck universe 𝑈 is nonempty, then the height of the ordinals in 𝑈 is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
Assertion
Ref Expression
gruina ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Proof of Theorem gruina
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4342 . . . 4 (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑈)
2 0ss 4392 . . . . . . . . . 10 ∅ ⊆ 𝑥
3 gruss 10811 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈 ∧ ∅ ⊆ 𝑥) → ∅ ∈ 𝑈)
42, 3mp3an3 1447 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
5 0elon 6417 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ On
6 elin 3960 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (∅ ∈ 𝑈 ∧ ∅ ∈ On))
74, 5, 6sylanblrc 589 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → ∅ ∈ (𝑈 ∩ On))
8 gruina.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
97, 8eleqtrrdi 2839 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → ∅ ∈ 𝐴)
109ne0d 4331 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
1110expcom 413 . . . . 5 (𝑥𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
1211exlimiv 1926 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
131, 12sylbi 216 . . 3 (𝑈 ≠ ∅ → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
1413impcom 407 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
15 grutr 10808 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
16 tron 6386 . . . . . . . 8 Tr On
17 trin 5271 . . . . . . . 8 ((Tr 𝑈 ∧ Tr On) → Tr (𝑈 ∩ On))
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Univ → Tr (𝑈 ∩ On))
19 inss2 4225 . . . . . . . 8 (𝑈 ∩ On) ⊆ On
20 epweon 7771 . . . . . . . 8 E We On
21 wess 5659 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∩ On) ⊆ On → ( E We On → E We (𝑈 ∩ On)))
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . . 7 E We (𝑈 ∩ On)
23 df-ord 6366 . . . . . . 7 (Ord (𝑈 ∩ On) ↔ (Tr (𝑈 ∩ On) ∧ E We (𝑈 ∩ On)))
2418, 22, 23sylanblrc 589 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Univ → Ord (𝑈 ∩ On))
25 inex1g 5313 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ V)
26 elon2 6374 . . . . . 6 ((𝑈 ∩ On) ∈ On ↔ (Ord (𝑈 ∩ On) ∧ (𝑈 ∩ On) ∈ V))
2724, 25, 26sylanbrc 582 . . . . 5 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ On)
288, 27eqeltrid 2832 . . . 4 (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ∈ On)
2928adantr 480 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
30 eloni 6373 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
31 ordirr 6381 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴𝐴)
33 elin 3960 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (𝐴𝑈𝐴 ∈ On))
3433biimpri 227 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On))
3534, 8eleqtrrdi 2839 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐴 ∈ On) → 𝐴𝐴)
3635expcom 413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑈𝐴𝐴))
3732, 36mtod 197 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴𝑈)
3829, 37syl 17 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ 𝐴𝑈)
39 inss1 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
408, 39eqsstri 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴𝑈
4140sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴𝑥𝑈)
42 vpwex 5371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 𝑥 ∈ V
4342canth2 9146 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
4442pwex 5374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
4544cardid 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥
4645ensymi 9016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥)
4728adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ On)
48 grupw 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
49 grupw 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝑥𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑈)
5048, 49syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑈)
5128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝑈) → 𝐴 ∈ On)
52 endom 8991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥
54 cardon 9959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On
55 grudomon 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On ∧ (𝒫 𝒫 𝑥𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
5654, 55mp3an2 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝒫 𝒫 𝑥𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
5753, 56mpanr2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
58 elin 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On))
5958biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On))
6059, 8eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
6157, 54, 60sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
62 onelss 6405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴))
6351, 61, 62sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
6450, 63syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
65 ssdomg 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴))
6647, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴)
67 endomtr 9024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴) → 𝒫 𝒫 𝑥𝐴)
6846, 66, 67sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥𝐴)
69 sdomdomtr 9126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥𝐴) → 𝒫 𝑥𝐴)
7043, 68, 69sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝐴)
7141, 70sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝒫 𝑥𝐴)
7271ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴)
73 inawinalem 10704 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
7428, 72, 73sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
7574adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
76 winainflem 10708 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
7714, 29, 75, 76syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ω ⊆ 𝐴)
78 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
7978canth2 9146 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
80 sdomtr 9131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
8179, 71, 80sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
8281ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
83 iscard 9990 . . . . . . . . . . . 12 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴))
8428, 82, 83sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ Univ → (card‘𝐴) = 𝐴)
85 cardlim 9987 . . . . . . . . . . . 12 (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
86 sseq2 4004 . . . . . . . . . . . . 13 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
87 limeq 6375 . . . . . . . . . . . . 13 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
8886, 87bibi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
8985, 88mpbii 232 . . . . . . . . . . 11 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9084, 89syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Univ → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9190adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9277, 91mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Lim 𝐴)
93 cflm 10265 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (cf‘𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
9429, 92, 93syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
95 cardon 9959 . . . . . . . . . . . 12 (card‘𝑦) ∈ On
96 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (card‘𝑦) → (𝑥 ∈ On ↔ (card‘𝑦) ∈ On))
9795, 96mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (card‘𝑦) → 𝑥 ∈ On)
9897adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
9998exlimiv 1926 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
10099abssi 4063 . . . . . . . 8 {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ⊆ On
101 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (cf‘𝐴) ∈ V
10294, 101eqeltrrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ∈ V)
103 intex 5333 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ∈ V)
104102, 103sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ≠ ∅)
105 onint 7787 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ⊆ On ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
106100, 104, 105sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
10794, 106eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))})
108 eqeq1 2731 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (cf‘𝐴) → (𝑥 = (card‘𝑦) ↔ (cf‘𝐴) = (card‘𝑦)))
109108anbi1d 629 . . . . . . . 8 (𝑥 = (cf‘𝐴) → ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ↔ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))))
110109exbidv 1917 . . . . . . 7 (𝑥 = (cf‘𝐴) → (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))))
111101, 110elab 3665 . . . . . 6 ((cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦))} ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)))
112107, 111sylib 217 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)))
113 simp2rr 1241 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 = 𝑦)
114 simp1l 1195 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
115 simp2rl 1240 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦𝐴)
116115, 40sstrdi 3990 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦𝑈)
11740sseli 3974 . . . . . . . . . . 11 ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
1181173ad2ant3 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
119 simp2l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) = (card‘𝑦))
120 vex 3473 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
121120cardid 10562 . . . . . . . . . . 11 (card‘𝑦) ≈ 𝑦
122119, 121eqbrtrdi 5181 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)
123 gruen 10827 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦𝑈 ∧ ((cf‘𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)) → 𝑦𝑈)
124114, 116, 118, 122, 123syl112anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦𝑈)
125 gruuni 10815 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
126114, 124, 125syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦𝑈)
127113, 126eqeltrd 2828 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴𝑈)
1281273exp 1117 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴𝐴𝑈)))
129128exlimdv 1929 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝐴 = 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴𝐴𝑈)))
130112, 129mpd 15 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴𝐴𝑈))
13138, 130mtod 197 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴)
132 cfon 10270 . . . . 5 (cf‘𝐴) ∈ On
133 cfle 10269 . . . . . 6 (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴
134 onsseleq 6404 . . . . . 6 (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝐴 ↔ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴)))
135133, 134mpbii 232 . . . . 5 (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
136132, 135mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
137136ord 863 . . 3 (𝐴 ∈ On → (¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
13829, 131, 137sylc 65 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
13972adantr 480 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴)
140 elina 10702 . 2 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴))
14114, 138, 139, 140syl3anbrc 1341 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  {cab 2704  wne 2935  wral 3056  wrex 3065  Vcvv 3469  cin 3943  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4598   cuni 4903   cint 4944   class class class wbr 5142  Tr wtr 5259   E cep 5575   We wwe 5626  Ord word 6362  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  cfv 6542  ωcom 7864  cen 8952  cdom 8953  csdm 8954  cardccrd 9950  cfccf 9952  Inacccina 10698  Univcgru 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-ac2 10478
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-card 9954  df-cf 9956  df-ac 10131  df-ina 10700  df-gru 10806
This theorem is referenced by:  grur1a  10834  grur1  10835  grutsk  10837
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