Theorem gruina 10574

Description: If a Grothendieck universe 𝑈 is nonempty, then the height of the ordinals in 𝑈 is a strongly inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)

Assertion

Ref	Expression
gruina	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Proof of Theorem gruina

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4280	. . . 4 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
2		0ss 4330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
3		gruss 10552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∅ ⊆ 𝑥) → ∅ ∈ 𝑈)
4	2, 3	mp3an3 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
5		0elon 6319	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ On
6		elin 3903	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (∅ ∈ 𝑈 ∧ ∅ ∈ On))
7	4, 5, 6	sylanblrc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ (𝑈 ∩ On))
8		gruina.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
9	7, 8	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝐴)
10	9	ne0d 4269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
12	11	exlimiv 1933	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
13	1, 12	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ → (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ≠ ∅))
14	13	impcom 408	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
15		grutr 10549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
16		tron 6289	. . . . . . . 8 ⊢ Tr On
17		trin 5201	. . . . . . . 8 ⊢ ((Tr 𝑈 ∧ Tr On) → Tr (𝑈 ∩ On))
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr (𝑈 ∩ On))
19		inss2 4163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ On
20		epweon 7625	. . . . . . . 8 ⊢ E We On
21		wess 5576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∩ On) ⊆ On → ( E We On → E We (𝑈 ∩ On)))
22	19, 20, 21	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ E We (𝑈 ∩ On)
23		df-ord 6269	. . . . . . 7 ⊢ (Ord (𝑈 ∩ On) ↔ (Tr (𝑈 ∩ On) ∧ E We (𝑈 ∩ On)))
24	18, 22, 23	sylanblrc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Ord (𝑈 ∩ On))
25		inex1g 5243	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ V)
26		elon2 6277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∩ On) ∈ On ↔ (Ord (𝑈 ∩ On) ∧ (𝑈 ∩ On) ∈ V))
27	24, 25, 26	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∩ On) ∈ On)
28	8, 27	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → 𝐴 ∈ On)
29	28	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
30		eloni 6276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
31		ordirr 6284	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
33		elin 3903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On))
34	33	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ (𝑈 ∩ On))
35	34, 8	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐴)
36	35	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐴))
37	32, 36	mtod 197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈)
38	29, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑈)
39		inss1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
40	8, 39	eqsstri 3955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈
41	40	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑈)
42		vpwex 5300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
43	42	canth2 8917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
44	42	pwex 5303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
45	44	cardid 10303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥
46	45	ensymi 8790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥)
47	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ On)
48		grupw 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
49		grupw 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
50	48, 49	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
51	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ On)
52		endom 8767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≈ 𝒫 𝒫 𝑥 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)
53	45, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥
54		cardon 9702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On
55		grudomon 10573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On ∧ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
56	54, 55	mp3an2 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝒫 𝒫 𝑥)) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
57	53, 56	mpanr2 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈)
58		elin 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On) ↔ ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On))
59	58	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ (𝑈 ∩ On))
60	59, 8	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ On) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
61	57, 54, 60	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴)
62		onelss 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∈ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴))
63	51, 61, 62	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
64	50, 63	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴)
65		ssdomg 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝒫 𝒫 𝑥) ⊆ 𝐴 → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴))
66	47, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴)
67		endomtr 8798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≈ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ∧ (card‘𝒫 𝒫 𝑥) ≼ 𝐴) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
68	46, 66, 67	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
69		sdomdomtr 8897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
70	43, 68, 69	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
71	41, 70	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
72	71	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
73		inawinalem 10445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
74	28, 72, 73	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
76		winainflem 10449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
77	14, 29, 75, 76	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ω ⊆ 𝐴)
78		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
79	78	canth2 8917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
80		sdomtr 8902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
81	79, 71, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
82	81	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴)
83		iscard 9733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
84	28, 82, 83	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (card‘𝐴) = 𝐴)
85		cardlim 9730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
86		sseq2 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
87		limeq 6278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
88	86, 87	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
89	85, 88	mpbii 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
90	84, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
92	77, 91	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Lim 𝐴)
93		cflm 10006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (cf‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
94	29, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
95		cardon 9702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (card‘𝑦) ∈ On
96		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (card‘𝑦) → (𝑥 ∈ On ↔ (card‘𝑦) ∈ On))
97	95, 96	mpbiri 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (card‘𝑦) → 𝑥 ∈ On)
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
99	98	exlimiv 1933	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → 𝑥 ∈ On)
100	99	abssi 4003	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ⊆ On
101		fvex 6787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ V
102	94, 101	eqeltrrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ V)
103		intex 5261	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ V)
104	102, 103	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅)
105		onint 7640	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ⊆ On ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
106	100, 104, 105	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
107	94, 106	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))})
108		eqeq1 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → (𝑥 = (card‘𝑦) ↔ (cf‘𝐴) = (card‘𝑦)))
109	108	anbi1d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → ((𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ↔ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))))
110	109	exbidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (cf‘𝐴) → (∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))))
111	101, 110	elab 3609	. . . . . 6 ⊢ ((cf‘𝐴) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦))} ↔ ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)))
112	107, 111	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)))
113		simp2rr 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝑦)
114		simp1l 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
115		simp2rl 1241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
116	115, 40	sstrdi 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝑈)
117	40	sseli 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
118	117	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ∈ 𝑈)
119		simp2l 1198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) = (card‘𝑦))
120		vex 3436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
121	120	cardid 10303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘𝑦) ≈ 𝑦
122	119, 121	eqbrtrdi 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)
123		gruen 10568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦 ⊆ 𝑈 ∧ ((cf‘𝐴) ∈ 𝑈 ∧ (cf‘𝐴) ≈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
124	114, 116, 118, 122, 123	syl112anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑈)
125		gruuni 10556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑈)
126	114, 124, 125	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑈)
127	113, 126	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ ((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) ∧ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
128	127	3exp 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
129	128	exlimdv 1936	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (∃𝑦((cf‘𝐴) = (card‘𝑦) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑦)) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
130	112, 129	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑈))
131	38, 130	mtod 197	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴)
132		cfon 10011	. . . . 5 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
133		cfle 10010	. . . . . 6 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴
134		onsseleq 6307	. . . . . 6 ⊢ (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝐴 ↔ ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴)))
135	133, 134	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ (((cf‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
136	132, 135	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) ∈ 𝐴 ∨ (cf‘𝐴) = 𝐴))
137	136	ord 861	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ (cf‘𝐴) ∈ 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
138	29, 131, 137	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (cf‘𝐴) = 𝐴)
139	72	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)
140		elina 10443	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴))
141	14, 138, 139, 140	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839  ∩ cint 4879   class class class wbr 5074  Tr wtr 5191   E cep 5494   We wwe 5543  Ord word 6265  Oncon0 6266  Lim wlim 6267  ‘cfv 6433  ωcom 7712   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732  cardccrd 9693  cfccf 9695  Inacccina 10439  Univcgru 10546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-ac2 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-card 9697  df-cf 9699  df-ac 9872  df-ina 10441  df-gru 10547

This theorem is referenced by:  grur1a  10575  grur1  10576  grutsk  10578