Theorem eqinfd 9503

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infexd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
eqinfd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
eqinfd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦𝑅𝐶)
eqinfd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)

Assertion

Ref	Expression
eqinfd	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem eqinfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqinfd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eqinfd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦𝑅𝐶)
3	2	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶)
4		eqinfd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)
5	4	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
6	5	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
7		infexd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
8	7	eqinf 9502	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1466	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124   Or wor 5565  infcinf 9458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-po 5566  df-so 5567  df-cnv 5667  df-iota 6489  df-riota 7367  df-sup 9459  df-inf 9460

This theorem is referenced by:  infmin  9513  xrinf0  13360  infmremnf  13365  infmrp1  13366