Theorem eqinfd 9442

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infexd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
eqinfd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
eqinfd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦𝑅𝐶)
eqinfd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)

Assertion

Ref	Expression
eqinfd	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem eqinfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqinfd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eqinfd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦𝑅𝐶)
3	2	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶)
4		eqinfd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶𝑅𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)
5	4	expr 461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
6	5	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
7		infexd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
8	7	eqinf 9441	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1493	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109   Or wor 5568  infcinf 9397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-po 5569  df-so 5570  df-cnv 5669  df-iota 6492  df-riota 7367  df-sup 9398  df-inf 9399

This theorem is referenced by:  infmin  9452  xrinf0  13360  infmremnf  13365  infmrp1  13366