MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znfld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znfld 21499
Description: The ℤ/n structure is a finite field when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znfld (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Proof of Theorem znfld
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16650 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnnn0 12515 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 zntos.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
54zncrng 21483 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7 crngring 20190 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
81, 2, 5, 74syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9 hash2 14402 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
10 prmuz2 16672 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 eluzle 12871 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
144, 13znhash 21497 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
1612, 15breqtrrd 5178 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
179, 16eqbrtrid 5185 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
18 2onn 8667 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
19 nnfi 9196 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
21 fvex 6913 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) ∈ V
22 hashdom 14376 . . . . . . 7 ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2320, 21, 22mp2an 690 . . . . . 6 ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
2417, 23sylib 217 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 2o ≼ (Base‘𝑌))
2513isnzr2 20462 . . . . 5 (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
268, 24, 25sylanbrc 581 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
27 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
284, 13, 27znzrhfo 21486 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
293, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
30 foelrn 7120 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
31 foelrn 7120 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
3230, 31anim12dan 617 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
3329, 32sylan 578 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
34 reeanv 3222 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35 euclemma 16689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
36353expb 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
378adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
3827zrhrhm 21442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
40 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
42 zringbas 21384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ = (Base‘ℤring)
43 zringmulr 21388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r‘ℤring)
44 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑌) = (.r𝑌)
4542, 43, 44rhmmul 20430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
4639, 40, 41, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
4746eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌)))
48 zmulcl 12647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
49 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑌) = (0g𝑌)
504, 27, 49zndvds0 21489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
513, 48, 50syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
5247, 51bitr3d 280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
534, 27, 49zndvds0 21489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑧))
543, 40, 53syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑧))
554, 27, 49zndvds0 21489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑤))
563, 41, 55syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑤))
5754, 56orbi12d 916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
5836, 52, 573bitr4d 310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
5958biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
60 oveq12 7433 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
6160eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌)))
62 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌)))
6362orbi1d 914 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
64 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)))
6564orbi2d 913 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6663, 65sylan9bb 508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6761, 66imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)))))
6859, 67syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
6968rexlimdvva 3207 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7034, 69biimtrrid 242 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7170imp 405 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7233, 71syldan 589 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7372ralrimivva 3196 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7413, 44, 49isdomn 21246 . . . 4 (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7526, 73, 74sylanbrc 581 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
76 isidom 21259 . . 3 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
776, 75, 76sylanbrc 581 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
784, 13znfi 21498 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
791, 78syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
8013fiidomfld 21267 . . 3 ((Base‘𝑌) ∈ Fin → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
8179, 80syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
8277, 81mpbid 231 1 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3057  wrex 3066  Vcvv 3471   class class class wbr 5150  ontowfo 6549  cfv 6551  (class class class)co 7424  ωcom 7874  2oc2o 8485  cdom 8966  Fincfn 8968   · cmul 11149  cle 11285  cn 12248  2c2 12303  0cn0 12508  cz 12594  cuz 12858  chash 14327  cdvds 16236  cprime 16647  Basecbs 17185  .rcmulr 17239  0gc0g 17426  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179   RingHom crh 20413  NzRingcnzr 20456  Fieldcfield 20630  Domncdomn 21232  IDomncidom 21233  ringczring 21377  ℤRHomczrh 21430  ℤ/nczn 21433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-prm 16648  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-imas 17495  df-qus 17496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-nsg 19084  df-eqg 19085  df-ghm 19173  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-rhm 20416  df-nzr 20457  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-field 20632  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-lidl 21109  df-rsp 21110  df-2idl 21149  df-rlreg 21235  df-domn 21236  df-idom 21237  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zrh 21434  df-zn 21437
This theorem is referenced by:  znidomb  21500  lgsqrlem1  27297  lgsqrlem2  27298  lgsqrlem3  27299  lgsqrlem4  27300  lgseisenlem3  27328  lgseisenlem4  27329
  Copyright terms: Public domain W3C validator