Theorem znfld 21921

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znfld	⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Proof of Theorem znfld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16893	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12653	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		zntos.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5	4	zncrng 21905	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7		crngring 20523	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
8	1, 2, 5, 7	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9		hash2 14590	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
10		prmuz2 16915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		eluzle 13018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	4, 13	znhash 21919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
16	12, 15	breqtrrd 5139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
17	9, 16	eqbrtrid 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
18		2onn 8689	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
19		nnfi 9221	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
21		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
22		hashdom 14564	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
23	20, 21, 22	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
24	17, 23	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2o ≼ (Base‘𝑌))
25	13	isnzr2 20819	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
26	8, 24, 25	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
27		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
28	4, 13, 27	znzrhfo 21908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶onto(Base‘𝑌))
29	3, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶onto(Base‘𝑌))
30		foelrn 7139	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶onto(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
31		foelrn 7139	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶onto(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
32	30, 31	anim12dan 631	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶onto(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
33	29, 32	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
34		reeanv 3238	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35		euclemma 16933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
36	35	3expb 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
37	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
38	27	zrhrhm 21872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
40		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
42		zringbas 21813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
43		zringmulr 21818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
44		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
45	42, 43, 44	rhmmul 20771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
46	39, 40, 41, 45	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
47	46	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
48		zmulcl 12785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
50	4, 27, 49	zndvds0 21911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
51	3, 48, 50	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
52	47, 51	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
53	4, 27, 49	zndvds0 21911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
54	3, 40, 53	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
55	4, 27, 49	zndvds0 21911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
56	3, 41, 55	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
57	54, 56	orbi12d 932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
58	36, 52, 57	3bitr4d 314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
59	58	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
60		oveq12 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
61	60	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
62		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌)))
63	62	orbi1d 930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
64		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))
65	64	orbi2d 929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
66	63, 65	sylan9bb 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
67	61, 66	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))))
68	59, 67	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
69	68	rexlimdvva 3223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
70	34, 69	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
71	70	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
72	33, 71	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
73	72	ralrimivva 3209	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
74	13, 44, 49	isdomn 21008	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
75	26, 73, 74	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
76		isidom 21027	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
77	6, 75, 76	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
78	4, 13	znfi 21920	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
79	1, 78	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
80	13	fiidomfld 21083	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑌) ∈ Fin → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
81	79, 80	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
82	77, 81	mpbid 235	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ⟶ontowfo 6564  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ωcom 7911  2_oc2o 8508   ≼ cdom 9009  Fincfn 9011   · cmul 11244   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ♯chash 14515   ∥ cdvds 16466  ℙcprime 16890  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511   RingHom crh 20750  NzRingcnzr 20813  Domncdomn 20995  IDomncidom 20996  Fieldcfield 21032  ℤ_ringczring 21806  ℤRHomczrh 21860  ℤ/nℤczn 21863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-imas 17730  df-qus 17731  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-eqg 19385  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-rhm 20753  df-nzr 20814  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-idom 20999  df-drng 21033  df-field 21034  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-rsp 21538  df-2idl 21594  df-cnfld 21730  df-zring 21807  df-zrh 21864  df-zn 21867

This theorem is used by:  znidomb  21922  lgsqrlem1  27730  lgsqrlem2  27731  lgsqrlem3  27732  lgsqrlem4  27733  lgseisenlem3  27761  lgseisenlem4  27762