MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znfld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znfld 21116
Description: The โ„ค/nโ„ค structure is a finite field when ๐‘› is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
Assertion
Ref Expression
znfld (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)

Proof of Theorem znfld
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16611 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 nnnn0 12479 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4 zntos.y . . . . 5 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
54zncrng 21100 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
63, 5syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
7 crngring 20068 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
81, 2, 5, 74syl 19 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
9 hash2 14365 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜2o) = 2
10 prmuz2 16633 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
11 eluzle 12835 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
13 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
144, 13znhash 21114 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) = ๐‘)
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) = ๐‘)
1612, 15breqtrrd 5177 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)))
179, 16eqbrtrid 5184 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)))
18 2onn 8641 . . . . . . . 8 2o โˆˆ ฯ‰
19 nnfi 9167 . . . . . . . 8 (2o โˆˆ ฯ‰ โ†’ 2o โˆˆ Fin)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 2o โˆˆ Fin
21 fvex 6905 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V
22 hashdom 14339 . . . . . . 7 ((2o โˆˆ Fin โˆง (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V) โ†’ ((โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†” 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ)))
2320, 21, 22mp2an 691 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†” 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2417, 23sylib 217 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2513isnzr2 20297 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ NzRing โ†” (๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ)))
268, 24, 25sylanbrc 584 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ NzRing)
27 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
284, 13, 27znzrhfo 21103 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ))
293, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ))
30 foelrn 7108 . . . . . . . 8 (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง))
31 foelrn 7108 . . . . . . . 8 (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค))
3230, 31anim12dan 620 . . . . . . 7 (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)))
3329, 32sylan 581 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)))
34 reeanv 3227 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)))
35 euclemma 16650 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ง ยท ๐‘ค) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ค)))
36353expb 1121 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ง ยท ๐‘ค) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ค)))
378adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
3827zrhrhm 21061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
41 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
42 zringbas 21023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
43 zringmulr 21027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rโ€˜๐‘Œ) = (.rโ€˜๐‘Œ)
4542, 43, 44rhmmul 20264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ง ยท ๐‘ค)) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)))
4639, 40, 41, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ง ยท ๐‘ค)) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)))
4746eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ง ยท ๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ)))
48 zmulcl 12611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gโ€˜๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘Œ)
504, 27, 49zndvds0 21106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ง ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ง ยท ๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ง ยท ๐‘ค)))
513, 48, 50syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ง ยท ๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ง ยท ๐‘ค)))
5247, 51bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ง ยท ๐‘ค)))
534, 27, 49zndvds0 21106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ง))
543, 40, 53syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ง))
554, 27, 49zndvds0 21106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ค))
563, 41, 55syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ค))
5754, 56orbi12d 918 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ค)))
5836, 52, 573bitr4d 311 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
5958biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
60 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)))
6160eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ)))
62 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ)))
6362orbi1d 916 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ)) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ))))
64 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) โ†’ (๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ)))
6564orbi2d 915 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ)) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
6663, 65sylan9bb 511 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ)) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
6761, 66imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) โ†’ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ))) โ†” ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง)(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Œ)))))
6859, 67syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ)))))
6968rexlimdvva 3212 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ)))))
7034, 69biimtrrid 242 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ((โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ)))))
7170imp 408 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ))))
7233, 71syldan 592 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ))))
7372ralrimivva 3201 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ))))
7413, 44, 49isdomn 20910 . . . 4 (๐‘Œ โˆˆ Domn โ†” (๐‘Œ โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Œ)๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ๐‘ฆ = (0gโ€˜๐‘Œ)))))
7526, 73, 74sylanbrc 584 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Domn)
76 isidom 20922 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” (๐‘Œ โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ Domn))
776, 75, 76sylanbrc 584 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
784, 13znfi 21115 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ Fin)
791, 78syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ Fin)
8013fiidomfld 20927 . . 3 ((Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ Fin โ†’ (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” ๐‘Œ โˆˆ Field))
8179, 80syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” ๐‘Œ โˆˆ Field))
8277, 81mpbid 231 1 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  โ€“ontoโ†’wfo 6542  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  ฯ‰com 7855  2oc2o 8460   โ‰ผ cdom 8937  Fincfn 8939   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ™ฏchash 14290   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  NzRingcnzr 20291  Fieldcfield 20358  Domncdomn 20896  IDomncidom 20897  โ„คringczring 21017  โ„คRHomczrh 21049  โ„ค/nโ„คczn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-rlreg 20899  df-domn 20900  df-idom 20901  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by:  znidomb  21117  lgsqrlem1  26849  lgsqrlem2  26850  lgsqrlem3  26851  lgsqrlem4  26852  lgseisenlem3  26880  lgseisenlem4  26881
  Copyright terms: Public domain W3C validator