Theorem znfld 21878

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znfld	⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Proof of Theorem znfld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16861	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12623	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		zntos.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5	4	zncrng 21862	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7		crngring 20484	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
8	1, 2, 5, 7	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9		hash2 14559	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
10		prmuz2 16883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		eluzle 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	4, 13	znhash 21876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
16	12, 15	breqtrrd 5135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
17	9, 16	eqbrtrid 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
18		2onn 8662	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
19		nnfi 9194	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
21		fvex 6906	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
22		hashdom 14533	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
23	20, 21, 22	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
24	17, 23	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2o ≼ (Base‘𝑌))
25	13	isnzr2 20780	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
26	8, 24, 25	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
27		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
28	4, 13, 27	znzrhfo 21865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
29	3, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
30		foelrn 7115	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
31		foelrn 7115	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
32	30, 31	anim12dan 631	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
33	29, 32	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
34		reeanv 3237	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35		euclemma 16901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
36	35	3expb 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
37	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
38	27	zrhrhm 21829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
40		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
42		zringbas 21771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
43		zringmulr 21775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
44		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
45	42, 43, 44	rhmmul 20732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
46	39, 40, 41, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
47	46	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
48		zmulcl 12755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
50	4, 27, 49	zndvds0 21868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
51	3, 48, 50	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
52	47, 51	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
53	4, 27, 49	zndvds0 21868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
54	3, 40, 53	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
55	4, 27, 49	zndvds0 21868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
56	3, 41, 55	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
57	54, 56	orbi12d 932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
58	36, 52, 57	3bitr4d 314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
59	58	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
60		oveq12 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
61	60	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
62		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌)))
63	62	orbi1d 930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
64		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))
65	64	orbi2d 929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
66	63, 65	sylan9bb 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
67	61, 66	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))))
68	59, 67	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
69	68	rexlimdvva 3222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
70	34, 69	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
71	70	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
72	33, 71	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
73	72	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
74	13, 44, 49	isdomn 20969	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
75	26, 73, 74	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
76		isidom 20988	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
77	6, 75, 76	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
78	4, 13	znfi 21877	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
79	1, 78	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
80	13	fiidomfld 21044	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑌) ∈ Fin → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
81	79, 80	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
82	77, 81	mpbid 235	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3453   class class class wbr 5105  –onto→wfo 6544  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ωcom 7884  2_oc2o 8481   ≼ cdom 8982  Fincfn 8984   · cmul 11215   ≤ cle 11354  ℕcn 12345  2c2 12407  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975  ♯chash 14484   ∥ cdvds 16434  ℙcprime 16858  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441  0_gc0g 17622  Ringcrg 20471  CRingccrg 20472   RingHom crh 20711  NzRingcnzr 20774  Domncdomn 20956  IDomncidom 20957  Fieldcfield 20993  ℤ_ringczring 21764  ℤRHomczrh 21817  ℤ/nℤczn 21820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-inf 9445  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-prm 16859  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-0g 17624  df-imas 17692  df-qus 17693  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-nsg 19346  df-eqg 19347  df-ghm 19440  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-rhm 20714  df-nzr 20775  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-rlreg 20958  df-domn 20959  df-idom 20960  df-drng 20994  df-field 20995  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-lidl 21498  df-rsp 21499  df-2idl 21555  df-cnfld 21691  df-zring 21765  df-zrh 21821  df-zn 21824

This theorem is used by:  znidomb  21879  lgsqrlem1  27685  lgsqrlem2  27686  lgsqrlem3  27687  lgsqrlem4  27688  lgseisenlem3  27716  lgseisenlem4  27717