Theorem znfld 20479

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znfld	⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Proof of Theorem znfld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16194	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12062	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		zntos.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5	4	zncrng 20463	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7		crngring 19528	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
8	1, 2, 5, 7	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9		hash2 13937	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
10		prmuz2 16216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		eluzle 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	4, 13	znhash 20477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
16	12, 15	breqtrrd 5067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
17	9, 16	eqbrtrid 5074	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
18		2onn 8346	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
19		nnfi 8823	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
21		fvex 6708	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
22		hashdom 13911	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
23	20, 21, 22	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
24	17, 23	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2o ≼ (Base‘𝑌))
25	13	isnzr2 20255	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
26	8, 24, 25	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
27		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
28	4, 13, 27	znzrhfo 20466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
29	3, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
30		foelrn 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
31		foelrn 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
32	30, 31	anim12dan 622	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
33	29, 32	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
34		reeanv 3269	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35		euclemma 16233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
36	35	3expb 1122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
37	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
38	27	zrhrhm 20432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
40		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
41		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
42		zringbas 20395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
43		zringmulr 20398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘ℤring)
44		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
45	42, 43, 44	rhmmul 19701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
46	39, 40, 41, 45	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
47	46	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
48		zmulcl 12191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
49		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
50	4, 27, 49	zndvds0 20469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
51	3, 48, 50	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
52	47, 51	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
53	4, 27, 49	zndvds0 20469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
54	3, 40, 53	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
55	4, 27, 49	zndvds0 20469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
56	3, 41, 55	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
57	54, 56	orbi12d 919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
58	36, 52, 57	3bitr4d 314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
59	58	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
60		oveq12 7200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
61	60	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
62		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌)))
63	62	orbi1d 917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
64		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))
65	64	orbi2d 916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
66	63, 65	sylan9bb 513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
67	61, 66	imbi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))))
68	59, 67	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
69	68	rexlimdvva 3203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
70	34, 69	syl5bir 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
71	70	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
72	33, 71	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
73	72	ralrimivva 3102	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
74	13, 44, 49	isdomn 20286	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
75	26, 73, 74	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
76		isidom 20296	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
77	6, 75, 76	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
78	4, 13	znfi 20478	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
79	1, 78	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
80	13	fiidomfld 20300	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑌) ∈ Fin → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
81	79, 80	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑌 ∈ Field))
82	77, 81	mpbid 235	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  Vcvv 3398   class class class wbr 5039  –onto→wfo 6356  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ωcom 7622  2_oc2o 8174   ≼ cdom 8602  Fincfn 8604   · cmul 10699   ≤ cle 10833  ℕcn 11795  2c2 11850  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403  ♯chash 13861   ∥ cdvds 15778  ℙcprime 16191  Basecbs 16666  ._rcmulr 16750  0_gc0g 16898  Ringcrg 19516  CRingccrg 19517   RingHom crh 19686  Fieldcfield 19722  NzRingcnzr 20249  Domncdomn 20272  IDomncidom 20273  ℤ_ringzring 20389  ℤRHomczrh 20420  ℤ/nℤczn 20423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-tpos 7946  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-oadd 8184  df-er 8369  df-ec 8371  df-qs 8375  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-dju 9482  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-xnn0 12128  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-dvds 15779  df-gcd 16017  df-prm 16192  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-0g 16900  df-imas 16967  df-qus 16968  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-mulg 18443  df-subg 18494  df-nsg 18495  df-eqg 18496  df-ghm 18574  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-cring 19519  df-oppr 19595  df-dvdsr 19613  df-unit 19614  df-invr 19644  df-rnghom 19689  df-drng 19723  df-field 19724  df-subrg 19752  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-lsp 19963  df-sra 20163  df-rgmod 20164  df-lidl 20165  df-rsp 20166  df-2idl 20224  df-nzr 20250  df-rlreg 20275  df-domn 20276  df-idom 20277  df-cnfld 20318  df-zring 20390  df-zrh 20424  df-zn 20427

This theorem is referenced by:  znidomb  20480  lgsqrlem1  26181  lgsqrlem2  26182  lgsqrlem3  26183  lgsqrlem4  26184  lgseisenlem3  26212  lgseisenlem4  26213