Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmidl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmidl0 32012
Description: The zero ideal of a commutative ring 𝑅 is a prime ideal if and only if 𝑅 is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
prmidl0.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
prmidl0 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem prmidl0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1089 . . . 4 (({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))))
2 crngring 19900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 0ringnnzr 20662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1 ↔ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing))
54biimpar 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1)
63, 5sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
8 prmidl0.1 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π‘…)
97, 80ring 20663 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = { 0 })
103, 6, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = { 0 })
1110eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ { 0 } = (Baseβ€˜π‘…))
1211ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (Β¬ 𝑅 ∈ NzRing β†’ { 0 } = (Baseβ€˜π‘…)))
1312necon1ad 2958 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ({ 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ NzRing))
1413impr 455 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
15 nzrring 20654 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
1716, 8lidl0 20612 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
198fvexi 6851 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
20 hashsng 14196 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ V β†’ (β™―β€˜{ 0 }) = 1)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (β™―β€˜{ 0 }) = 1
22 1re 11088 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
2321, 22eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 (β™―β€˜{ 0 }) ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (β™―β€˜{ 0 }) ∈ ℝ)
257isnzr2hash 20657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…))))
2625simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
2721, 26eqbrtrid 5138 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (β™―β€˜{ 0 }) < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
2824, 27ltned 11224 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (β™―β€˜{ 0 }) β‰  (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
29 fveq2 6837 . . . . . . . . . 10 ({ 0 } = (Baseβ€˜π‘…) β†’ (β™―β€˜{ 0 }) = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
3029necon3i 2974 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜{ 0 }) β‰  (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β†’ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…))
3128, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…))
3218, 31jca 512 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)))
3414, 33impbida 799 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ (({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)) ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
3519elsn2 4623 . . . . . . . 8 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
36 velsn 4600 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
37 velsn 4600 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
3836, 37orbi12i 913 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }) ↔ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
3935, 38imbi12i 350 . . . . . . 7 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
40392ralbii 3125 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
4140a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
4234, 41anbi12d 631 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
431, 42bitrid 282 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
4443pm5.32i 575 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
45 eqid 2737 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
467, 45isprmidlc 32009 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ ({ 0 } ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
4746pm5.32i 575 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
48 df-idom 20678 . . . 4 IDomn = (CRing ∩ Domn)
4948eleq2i 2829 . . 3 (𝑅 ∈ IDomn ↔ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
50 elin 3924 . . 3 (𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
517, 45, 8isdomn 20687 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5251anbi2i 623 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
5349, 50, 523bitri 296 . 2 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
5444, 47, 533bitr4i 302 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443   ∩ cin 3907  {csn 4584   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  β„cr 10983  1c1 10985   < clt 11122  β™―chash 14157  Basecbs 17017  .rcmulr 17068  0gc0g 17255  Ringcrg 19888  CRingccrg 19889  LIdealclidl 20554  NzRingcnzr 20650  Domncdomn 20673  IDomncidom 20674  PrmIdealcprmidl 31996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-oadd 8383  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-dju 9770  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-n0 12347  df-xnn0 12419  df-z 12433  df-uz 12696  df-fz 13353  df-hash 14158  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-0g 17257  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-subg 18857  df-cmn 19493  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-subrg 20143  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-lidl 20558  df-rsp 20559  df-nzr 20651  df-domn 20677  df-idom 20678  df-prmidl 31997
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator