Theorem prmidl0 31132

Description: The zero ideal of a commutative ring 𝑅 is a prime ideal if and only if 𝑅 is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmidl0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidl0	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem prmidl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1087	. . . 4 ⊢ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))))
2		crngring 19362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4		0ringnnzr 20095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
5	4	biimpar 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
6	3, 5	sylancom 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
7		eqid 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		prmidl0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 8	0ring 20096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (Base‘𝑅) = { 0 })
10	3, 6, 9	syl2anc 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (Base‘𝑅) = { 0 })
11	10	eqcomd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → { 0 } = (Base‘𝑅))
12	11	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (¬ 𝑅 ∈ NzRing → { 0 } = (Base‘𝑅)))
13	12	necon1ad 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
14	13	impr 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
15		nzrring 20087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
17	16, 8	lidl0 20045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8	fvexi 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
20		hashsng 13765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
22		1re 10664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	21, 22	eqeltri 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ)
25	7	isnzr2hash 20090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
26	25	simprbi 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
27	21, 26	eqbrtrid 5060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(Base‘𝑅)))
28	24, 27	ltned 10799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
29		fveq2 6651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({ 0 } = (Base‘𝑅) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘𝑅)))
30	29	necon3i 2981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)) → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
32	18, 31	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
33	32	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
34	14, 33	impbida 801	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
35	19	elsn2 4554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
36		velsn 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
37		velsn 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
38	36, 37	orbi12i 913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
39	35, 38	imbi12i 355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
40	39	2ralbii 3096	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
42	34, 41	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
43	1, 42	syl5bb 286	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
44	43	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
45		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	7, 45	isprmidlc 31129	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
47	46	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
48		df-idom 20111	. . . 4 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
49	48	eleq2i 2842	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
50		elin 3870	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
51	7, 45, 8	isdomn 20120	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
52	51	anbi2i 626	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
53	49, 50, 52	3bitri 301	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
54	44, 47, 53	3bitr4i 307	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ∀wral 3068  Vcvv 3407   ∩ cin 3853  {csn 4515   class class class wbr 5025  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  1c1 10561   < clt 10698  ♯chash 13725  Basecbs 16526  ._rcmulr 16609  0_gc0g 16756  Ringcrg 19350  CRingccrg 19351  LIdealclidl 19995  NzRingcnzr 20083  Domncdomn 20106  IDomncidom 20107  PrmIdealcprmidl 31116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-dju 9348  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-n0 11920  df-xnn0 11992  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-hash 13726  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-0g 16758  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-subg 18328  df-cmn 18960  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-cring 19353  df-subrg 19586  df-lmod 19689  df-lss 19757  df-lsp 19797  df-sra 19997  df-rgmod 19998  df-lidl 19999  df-rsp 20000  df-nzr 20084  df-domn 20110  df-idom 20111  df-prmidl 31117

This theorem is referenced by: (None)