Theorem prmidl0 21640

Description: The zero ideal of a commutative ring 𝑅 is a prime ideal if and only if 𝑅 is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmidl0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidl0	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem prmidl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))))
2		crngring 20478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4		0ringnnzr 20782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
5	4	biimpar 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
6	3, 5	sylancom 600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
7		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		prmidl0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 8	0ring 20783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (Base‘𝑅) = { 0 })
10	3, 6, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (Base‘𝑅) = { 0 })
11	10	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → { 0 } = (Base‘𝑅))
12	11	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (¬ 𝑅 ∈ NzRing → { 0 } = (Base‘𝑅)))
13	12	necon1ad 2972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
14	13	impr 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
15		nzrring 20772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
17	16, 8	lidl0 21516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
18	15, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8	fvexi 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
20		hashsng 14517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
22		1re 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	21, 22	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ)
25	7	isnzr2hash 20776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
26	25	simprbi 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
27	21, 26	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(Base‘𝑅)))
28	24, 27	ltned 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
29		fveq2 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({ 0 } = (Base‘𝑅) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘𝑅)))
30	29	necon3i 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)) → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
31	28, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
32	18, 31	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
33	32	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
34	14, 33	impbida 813	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
35	19	elsn2 4622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
36		velsn 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
37		velsn 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
38	36, 37	orbi12i 928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
39	35, 38	imbi12i 353	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
40	39	2ralbii 3137	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
42	34, 41	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
43	1, 42	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
44	43	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
45		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	7, 45	isprmidlc 21634	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
47	46	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
48		df-idom 20954	. . . 4 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
49	48	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
50		elin 4093	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
51	7, 45, 8	isdomn 20963	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
52	51	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
53	49, 50, 52	3bitri 300	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
54	44, 47, 53	3bitr4i 306	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∩ cin 4089  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  1c1 11205   < clt 11347  ♯chash 14478  Basecbs 17393  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  Ringcrg 20465  CRingccrg 20466  NzRingcnzr 20768  Domncdomn 20950  IDomncidom 20951  LIdealclidl 21490  PrmIdealcprmidl 21622

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-hash 14479  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-nzr 20769  df-subrg 20828  df-domn 20953  df-idom 20954  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-lidl 21492  df-rsp 21493  df-prmidl 21623

This theorem is used by:  ply1annprmidl  34386  crngprmringidom  49532