Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmidl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmidl0 32223
Description: The zero ideal of a commutative ring 𝑅 is a prime ideal if and only if 𝑅 is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
prmidl0.1 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
prmidl0 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem prmidl0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1089 . . . 4 (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))))
2 crngring 19976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4 0ringnnzr 20739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
54biimpar 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
63, 5sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 prmidl0.1 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑅)
97, 80ring 20740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (Base‘𝑅) = { 0 })
103, 6, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (Base‘𝑅) = { 0 })
1110eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → { 0 } = (Base‘𝑅))
1211ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (¬ 𝑅 ∈ NzRing → { 0 } = (Base‘𝑅)))
1312necon1ad 2960 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
1413impr 455 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
15 nzrring 20731 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
1716, 8lidl0 20689 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
198fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
20 hashsng 14269 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘{ 0 }) = 1
22 1re 11155 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
2321, 22eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ)
257isnzr2hash 20734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
2625simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
2721, 26eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(Base‘𝑅)))
2824, 27ltned 11291 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
29 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 ({ 0 } = (Base‘𝑅) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘𝑅)))
3029necon3i 2976 . . . . . . . . 9 ((♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)) → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
3128, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
3218, 31jca 512 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
3414, 33impbida 799 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
3519elsn2 4625 . . . . . . . 8 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
36 velsn 4602 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
37 velsn 4602 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
3836, 37orbi12i 913 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
3935, 38imbi12i 350 . . . . . . 7 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))
40392ralbii 3127 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))
4140a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
4234, 41anbi12d 631 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → ((({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
431, 42bitrid 282 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
4443pm5.32i 575 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
45 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
467, 45isprmidlc 32220 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
4746pm5.32i 575 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
48 df-idom 20755 . . . 4 IDomn = (CRing ∩ Domn)
4948eleq2i 2829 . . 3 (𝑅 ∈ IDomn ↔ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
50 elin 3926 . . 3 (𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
517, 45, 8isdomn 20764 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
5251anbi2i 623 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
5349, 50, 523bitri 296 . 2 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
5444, 47, 533bitr4i 302 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   < clt 11189  chash 14230  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  LIdealclidl 20631  NzRingcnzr 20727  Domncdomn 20750  IDomncidom 20751  PrmIdealcprmidl 32207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-nzr 20728  df-domn 20754  df-idom 20755  df-prmidl 32208
This theorem is referenced by:  ply1annprmidl  32373
  Copyright terms: Public domain W3C validator