Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmidl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmidl0 31034
 Description: The zero ideal of a commutative ring 𝑅 is a prime ideal if and only if 𝑅 is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
prmidl0.1 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
prmidl0 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem prmidl0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1086 . . . 4 (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))))
2 crngring 19305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4 0ringnnzr 20038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
54biimpar 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
63, 5sylancom 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
7 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 prmidl0.1 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑅)
97, 80ring 20039 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (Base‘𝑅) = { 0 })
103, 6, 9syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (Base‘𝑅) = { 0 })
1110eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → { 0 } = (Base‘𝑅))
1211ex 416 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (¬ 𝑅 ∈ NzRing → { 0 } = (Base‘𝑅)))
1312necon1ad 3007 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
1413impr 458 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
15 nzrring 20030 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
1716, 8lidl0 19988 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
198fvexi 6663 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
20 hashsng 13730 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘{ 0 }) = 1
22 1re 10634 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
2321, 22eqeltri 2889 . . . . . . . . . . 11 (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ)
257isnzr2hash 20033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
2625simprbi 500 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
2721, 26eqbrtrid 5068 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(Base‘𝑅)))
2824, 27ltned 10769 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
29 fveq2 6649 . . . . . . . . . 10 ({ 0 } = (Base‘𝑅) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘𝑅)))
3029necon3i 3022 . . . . . . . . 9 ((♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)) → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
3128, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
3218, 31jca 515 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
3332adantl 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
3414, 33impbida 800 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
3519elsn2 4567 . . . . . . . 8 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
36 velsn 4544 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
37 velsn 4544 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
3836, 37orbi12i 912 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
3935, 38imbi12i 354 . . . . . . 7 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))
40392ralbii 3137 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))
4140a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
4234, 41anbi12d 633 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → ((({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
431, 42syl5bb 286 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
4443pm5.32i 578 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
45 eqid 2801 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
467, 45isprmidlc 31031 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
4746pm5.32i 578 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
48 df-idom 20054 . . . 4 IDomn = (CRing ∩ Domn)
4948eleq2i 2884 . . 3 (𝑅 ∈ IDomn ↔ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
50 elin 3900 . . 3 (𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
517, 45, 8isdomn 20063 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
5251anbi2i 625 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
5349, 50, 523bitri 300 . 2 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
5444, 47, 533bitr4i 306 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  Vcvv 3444   ∩ cin 3883  {csn 4528   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  1c1 10531   < clt 10668  ♯chash 13690  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  LIdealclidl 19938  NzRingcnzr 20026  Domncdomn 20049  IDomncidom 20050  PrmIdealcprmidl 31018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-hash 13691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cmn 18903  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-nzr 20027  df-domn 20053  df-idom 20054  df-prmidl 31019 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator