Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmidl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmidl0 32000
Description: The zero ideal of a commutative ring 𝑅 is a prime ideal if and only if 𝑅 is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
prmidl0.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
prmidl0 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem prmidl0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1090 . . . 4 (({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))))
2 crngring 19900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 0ringnnzr 20662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1 ↔ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing))
54biimpar 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1)
63, 5sylancom 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1)
7 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
8 prmidl0.1 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π‘…)
97, 80ring 20663 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = { 0 })
103, 6, 9syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = { 0 })
1110eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ { 0 } = (Baseβ€˜π‘…))
1211ex 414 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (Β¬ 𝑅 ∈ NzRing β†’ { 0 } = (Baseβ€˜π‘…)))
1312necon1ad 2959 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ({ 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ NzRing))
1413impr 456 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
15 nzrring 20654 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
1716, 8lidl0 20612 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
198fvexi 6852 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
20 hashsng 14197 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0 ∈ V β†’ (β™―β€˜{ 0 }) = 1)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (β™―β€˜{ 0 }) = 1
22 1re 11089 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
2321, 22eqeltri 2835 . . . . . . . . . . 11 (β™―β€˜{ 0 }) ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (β™―β€˜{ 0 }) ∈ ℝ)
257isnzr2hash 20657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…))))
2625simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 1 < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
2721, 26eqbrtrid 5139 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (β™―β€˜{ 0 }) < (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
2824, 27ltned 11225 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (β™―β€˜{ 0 }) β‰  (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
29 fveq2 6838 . . . . . . . . . 10 ({ 0 } = (Baseβ€˜π‘…) β†’ (β™―β€˜{ 0 }) = (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
3029necon3i 2975 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜{ 0 }) β‰  (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β†’ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…))
3128, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…))
3218, 31jca 513 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)))
3332adantl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)))
3414, 33impbida 800 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ (({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)) ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
3519elsn2 4624 . . . . . . . 8 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
36 velsn 4601 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
37 velsn 4601 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
3836, 37orbi12i 914 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }) ↔ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
3935, 38imbi12i 351 . . . . . . 7 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
40392ralbii 3126 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
4140a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
4234, 41anbi12d 632 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
431, 42bitrid 283 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
4443pm5.32i 576 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
45 eqid 2738 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
467, 45isprmidlc 31997 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ ({ 0 } ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
4746pm5.32i 576 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ { 0 } β†’ (π‘₯ ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
48 df-idom 20678 . . . 4 IDomn = (CRing ∩ Domn)
4948eleq2i 2830 . . 3 (𝑅 ∈ IDomn ↔ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
50 elin 3925 . . 3 (𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
517, 45, 8isdomn 20687 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5251anbi2i 624 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
5349, 50, 523bitri 297 . 2 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
5444, 47, 533bitr4i 303 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444   ∩ cin 3908  {csn 4585   class class class wbr 5104  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  β„cr 10984  1c1 10986   < clt 11123  β™―chash 14158  Basecbs 17018  .rcmulr 17069  0gc0g 17256  Ringcrg 19888  CRingccrg 19889  LIdealclidl 20554  NzRingcnzr 20650  Domncdomn 20673  IDomncidom 20674  PrmIdealcprmidl 31984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-hash 14159  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-0g 17258  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-subg 18858  df-cmn 19493  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-subrg 20143  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-lidl 20558  df-rsp 20559  df-nzr 20651  df-domn 20677  df-idom 20678  df-prmidl 31985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator