Theorem prmidl0 33459

Description: The zero ideal of a commutative ring 𝑅 is a prime ideal if and only if 𝑅 is an integral domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmidl0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidl0	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem prmidl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))))
2		crngring 20171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Ring)
4		0ringnnzr 20449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
5	4	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
6	3, 5	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (♯‘(Base‘𝑅)) = 1)
7		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		prmidl0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 8	0ring 20450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (Base‘𝑅) = { 0 })
10	3, 6, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → (Base‘𝑅) = { 0 })
11	10	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ¬ 𝑅 ∈ NzRing) → { 0 } = (Base‘𝑅))
12	11	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (¬ 𝑅 ∈ NzRing → { 0 } = (Base‘𝑅)))
13	12	necon1ad 2946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
14	13	impr 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ NzRing)
15		nzrring 20440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
17	16, 8	lidl0 21176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8	fvexi 6845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
20		hashsng 14283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘{ 0 }) = 1
22		1re 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	21, 22	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ∈ ℝ)
25	7	isnzr2hash 20443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘𝑅))))
26	25	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘𝑅)))
27	21, 26	eqbrtrid 5130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(Base‘𝑅)))
28	24, 27	ltned 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)))
29		fveq2 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({ 0 } = (Base‘𝑅) → (♯‘{ 0 }) = (♯‘(Base‘𝑅)))
30	29	necon3i 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{ 0 }) ≠ (♯‘(Base‘𝑅)) → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
32	18, 31	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)))
34	14, 33	impbida 800	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
35	19	elsn2 4619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
36		velsn 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
37		velsn 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
38	36, 37	orbi12i 914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
39	35, 38	imbi12i 350	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
40	39	2ralbii 3108	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
42	34, 41	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
43	1, 42	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 }))) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
44	43	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
45		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	7, 45	isprmidlc 33456	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
47	46	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑥 ∈ { 0 } ∨ 𝑦 ∈ { 0 })))))
48		df-idom 20620	. . . 4 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
49	48	eleq2i 2825	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
50		elin 3914	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
51	7, 45, 8	isdomn 20629	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
52	51	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
53	49, 50, 52	3bitri 297	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
54	44, 47, 53	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ↔ 𝑅 ∈ IDomn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ∩ cin 3897  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  1c1 11018   < clt 11157  ♯chash 14244  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169  0_gc0g 17350  Ringcrg 20159  CRingccrg 20160  NzRingcnzr 20436  Domncdomn 20616  IDomncidom 20617  LIdealclidl 21152  PrmIdealcprmidl 33444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-hash 14245  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-nzr 20437  df-subrg 20494  df-domn 20619  df-idom 20620  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-lidl 21154  df-rsp 21155  df-prmidl 33445

This theorem is referenced by:  ply1annprmidl  33792