Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn3 41029
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z 0 = (0g𝑅)
isdomn3.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2738 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdomn 20565 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2738 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
65, 3isnzr 20530 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
76anbi1i 624 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
8 anass 469 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 274 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 19807 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
11 eldifsn 4720 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
1211baibr 537 . . . . . . 7 ((1r𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
141, 2ringcl 19800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15143expb 1119 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
1615biantrurd 533 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17 eldifsn 4720 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
1816, 17bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1918imbi2d 341 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20192ralbidva 3128 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21 con34b 316 . . . . . . . . 9 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
22 neanior 3037 . . . . . . . . . 10 ((𝑥0𝑦0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
23 df-ne 2944 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 351 . . . . . . . . 9 (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 277 . . . . . . . 8 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26252ralbii 3093 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27 impexp 451 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28 an4 653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
29 eldifsn 4720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
30 eldifsn 4720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
3129, 30anbi12i 627 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
3228, 31bitr4i 277 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3332imbi1i 350 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3427, 33bitr3i 276 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35342albii 1823 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36 r2al 3118 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37 r2al 3118 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 304 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 314 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
4013, 39anbi12d 631 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
4241ringmgp 19789 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 19726 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑈)
4441, 5ringidval 19739 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
4541, 2mgpplusg 19724 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g𝑈)
4643, 44, 45issubm 18442 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47 3anass 1094 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
4846, 47bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49 difss 4066 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
5049biantrur 531 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5148, 50bitr4di 289 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5340, 52bitr4d 281 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
5453pm5.32i 575 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
559, 54bitri 274 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
564, 55bitri 274 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3884  wss 3887  {csn 4561  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  .rcmulr 16963  0gc0g 17150  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  mulGrpcmgp 19720  1rcur 19737  Ringcrg 19783  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-nzr 20529  df-domn 20555
This theorem is referenced by:  deg1mhm  41032
  Copyright terms: Public domain W3C validator