Theorem isdomn3 41029

Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn3.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn3	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		isdomn3.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20565	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	5, 3	isnzr 20530	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
7	6	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
8		anass 469	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
9	7, 8	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
10	1, 5	ringidcl 19807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11		eldifsn 4720	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
12	11	baibr 537	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
14	1, 2	ringcl 19800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
16	15	biantrurd 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17		eldifsn 4720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
18	16, 17	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
19	18	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20	19	2ralbidva 3128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21		con34b 316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
22		neanior 3037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
23		df-ne 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
24	22, 23	imbi12i 351	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
25	21, 24	bitr4i 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26	25	2ralbii 3093	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27		impexp 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28		an4 653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
29		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
30		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
31	29, 30	anbi12i 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
32	28, 31	bitr4i 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
33	32	imbi1i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
34	27, 33	bitr3i 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35	34	2albii 1823	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36		r2al 3118	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37		r2al 3118	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
38	35, 36, 37	3bitr4ri 304	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
39	20, 26, 38	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
40	13, 39	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41		isdomn3.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
42	41	ringmgp 19789	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
43	41, 1	mgpbas 19726	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
44	41, 5	ringidval 19739	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
45	41, 2	mgpplusg 19724	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑈)
46	43, 44, 45	issubm 18442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47		3anass 1094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
48	46, 47	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49		difss 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
50	49	biantrur 531	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
51	48, 50	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
52	42, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
53	40, 52	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
54	53	pm5.32i 575	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
55	9, 54	bitri 274	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
56	4, 55	bitri 274	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-nzr 20529  df-domn 20555

This theorem is referenced by:  deg1mhm  41032