Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn3 39669
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z 0 = (0g𝑅)
isdomn3.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2826 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdomn 19986 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2826 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
65, 3isnzr 19951 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
76anbi1i 623 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
8 anass 469 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 276 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 19238 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
11 eldifsn 4718 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
1211baibr 537 . . . . . . 7 ((1r𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
141, 2ringcl 19231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15143expb 1114 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
1615biantrurd 533 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17 eldifsn 4718 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
1816, 17syl6bbr 290 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1918imbi2d 342 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20192ralbidva 3203 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21 con34b 317 . . . . . . . . 9 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
22 neanior 3114 . . . . . . . . . 10 ((𝑥0𝑦0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
23 df-ne 3022 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 352 . . . . . . . . 9 (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 279 . . . . . . . 8 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26252ralbii 3171 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27 impexp 451 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28 an4 652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
29 eldifsn 4718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
30 eldifsn 4718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
3129, 30anbi12i 626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
3228, 31bitr4i 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3332imbi1i 351 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3427, 33bitr3i 278 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35342albii 1814 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36 r2al 3206 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37 r2al 3206 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 305 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 315 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
4013, 39anbi12d 630 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
4241ringmgp 19223 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 19165 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑈)
4441, 5ringidval 19173 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
4541, 2mgpplusg 19163 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g𝑈)
4643, 44, 45issubm 17956 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47 3anass 1089 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
4846, 47syl6bb 288 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49 difss 4112 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
5049biantrur 531 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5148, 50syl6bbr 290 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5340, 52bitr4d 283 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
5453pm5.32i 575 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
559, 54bitri 276 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
564, 55bitri 276 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081  wal 1528   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  cdif 3937  wss 3940  {csn 4564  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  .rcmulr 16556  0gc0g 16703  Mndcmnd 17900  SubMndcsubmnd 17943  mulGrpcmgp 19159  1rcur 19171  Ringcrg 19217  NzRingcnzr 19949  Domncdomn 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-nzr 19950  df-domn 19976
This theorem is referenced by:  deg1mhm  39672
  Copyright terms: Public domain W3C validator