Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isdomn3 42248
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isdomn3.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
isdomn3.u π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3isdomn 21110 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
65, 3isnzr 20405 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
76anbi1i 624 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
8 anass 469 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 274 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 20154 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
11 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
1211baibr 537 . . . . . . 7 ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
141, 2ringcl 20144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
15143expb 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
1615biantrurd 533 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 )))
17 eldifsn 4790 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
1816, 17bitr4di 288 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
1918imbi2d 340 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
20192ralbidva 3216 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
21 con34b 315 . . . . . . . . 9 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
22 neanior 3035 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ↔ Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
23 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 350 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 277 . . . . . . . 8 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
26252ralbii 3128 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
27 impexp 451 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
28 an4 654 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )))
29 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ))
30 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ))
3129, 30anbi12i 627 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )))
3228, 31bitr4i 277 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3332imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3427, 33bitr3i 276 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
35342albii 1822 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
36 r2al 3194 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
37 r2al 3194 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 303 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 313 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
4013, 39anbi12d 631 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘…)
4241ringmgp 20133 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 20034 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4441, 5ringidval 20077 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘ˆ)
4541, 2mgpplusg 20032 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘ˆ)
4643, 44, 45issubm 18720 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
47 3anass 1095 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
4846, 47bitrdi 286 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))))
49 difss 4131 . . . . . . . 8 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
5049biantrur 531 . . . . . . 7 (((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5148, 50bitr4di 288 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5340, 52bitr4d 281 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
5453pm5.32i 575 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
559, 54bitri 274 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
564, 55bitri 274 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18704  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  NzRingcnzr 20403  Domncdomn 21096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-nzr 20404  df-domn 21100
This theorem is referenced by:  deg1mhm  42251
  Copyright terms: Public domain W3C validator