Theorem isdomn3 21017

Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn3.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn3	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		isdomn3.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 21008	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	5, 3	isnzr 20815	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
7	6	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
8		anass 474	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
9	7, 8	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
10	1, 5	ringidcl 20545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11		eldifsn 4750	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
12	11	baibr 546	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
13	10, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
14	1, 2	ringcl 20528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
16	15	biantrurd 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17		eldifsn 4750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
18	16, 17	bitr4di 292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
19	18	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20	19	2ralbidva 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21		con34b 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
22		neanior 3052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
23		df-ne 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
24	22, 23	imbi12i 353	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
25	21, 24	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26	25	2ralbii 3141	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27		impexp 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28		an4 669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
29		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
30		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
31	29, 30	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
32	28, 31	bitr4i 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
33	32	imbi1i 352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
34	27, 33	bitr3i 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35	34	2albii 1853	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36		r2al 3202	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37		r2al 3202	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
38	35, 36, 37	3bitr4ri 307	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
39	20, 26, 38	3bitr4g 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
40	13, 39	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41		isdomn3.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
42	41	ringmgp 20516	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
43	41, 1	mgpbas 20416	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
44	41, 5	ringidval 20460	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
45	41, 2	mgpplusg 20415	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑈)
46	43, 44, 45	issubm 19048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47		3anass 1111	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
48	46, 47	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49		difss 4075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
50	49	biantrur 540	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
51	48, 50	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
52	42, 51	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
53	40, 52	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
54	53	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
55	9, 54	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
56	4, 55	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  Mndcmnd 18973  SubMndcsubmnd 19027  mulGrpcmgp 20411  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  NzRingcnzr 20813  Domncdomn 20995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-nzr 20814  df-domn 20998

This theorem is used by:  fracfld  33974  zringfrac  34189  deg1mhm  44463