Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isdomn3 41931
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isdomn3.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
isdomn3.u π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3isdomn 20902 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
65, 3isnzr 20285 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
76anbi1i 624 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
8 anass 469 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 274 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 20076 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
11 eldifsn 4789 . . . . . . . 8 ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
1211baibr 537 . . . . . . 7 ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
141, 2ringcl 20066 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
15143expb 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
1615biantrurd 533 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 )))
17 eldifsn 4789 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
1816, 17bitr4di 288 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
1918imbi2d 340 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
20192ralbidva 3216 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
21 con34b 315 . . . . . . . . 9 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
22 neanior 3035 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ↔ Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
23 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 350 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 277 . . . . . . . 8 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
26252ralbii 3128 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
27 impexp 451 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
28 an4 654 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )))
29 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ))
30 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ))
3129, 30anbi12i 627 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )))
3228, 31bitr4i 277 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3332imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3427, 33bitr3i 276 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
35342albii 1822 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
36 r2al 3194 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
37 r2al 3194 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 303 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 313 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
4013, 39anbi12d 631 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘…)
4241ringmgp 20055 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 19987 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4441, 5ringidval 20000 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘ˆ)
4541, 2mgpplusg 19985 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘ˆ)
4643, 44, 45issubm 18680 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
47 3anass 1095 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
4846, 47bitrdi 286 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))))
49 difss 4130 . . . . . . . 8 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
5049biantrur 531 . . . . . . 7 (((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5148, 50bitr4di 288 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5340, 52bitr4d 281 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
5453pm5.32i 575 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
559, 54bitri 274 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
564, 55bitri 274 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Mndcmnd 18621  SubMndcsubmnd 18666  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  NzRingcnzr 20283  Domncdomn 20888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-nzr 20284  df-domn 20892
This theorem is referenced by:  deg1mhm  41934
  Copyright terms: Public domain W3C validator