Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isdomn3 42401
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isdomn3.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
isdomn3.u π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2724 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3isdomn 21189 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2724 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
65, 3isnzr 20401 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
76anbi1i 623 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
8 anass 468 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 275 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 20150 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
11 eldifsn 4782 . . . . . . . 8 ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
1211baibr 536 . . . . . . 7 ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
141, 2ringcl 20140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
15143expb 1117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
1615biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 )))
17 eldifsn 4782 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
1816, 17bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
1918imbi2d 340 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
20192ralbidva 3208 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
21 con34b 316 . . . . . . . . 9 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
22 neanior 3027 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ↔ Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
23 df-ne 2933 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 350 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 278 . . . . . . . 8 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
26252ralbii 3120 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
27 impexp 450 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
28 an4 653 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )))
29 eldifsn 4782 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ))
30 eldifsn 4782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ))
3129, 30anbi12i 626 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )))
3228, 31bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3332imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3427, 33bitr3i 277 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
35342albii 1814 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
36 r2al 3186 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
37 r2al 3186 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 304 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 314 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
4013, 39anbi12d 630 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘…)
4241ringmgp 20129 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 20030 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4441, 5ringidval 20073 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘ˆ)
4541, 2mgpplusg 20028 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘ˆ)
4643, 44, 45issubm 18715 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
47 3anass 1092 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
4846, 47bitrdi 287 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))))
49 difss 4123 . . . . . . . 8 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
5049biantrur 530 . . . . . . 7 (((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5148, 50bitr4di 289 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5340, 52bitr4d 282 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
5453pm5.32i 574 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
559, 54bitri 275 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
564, 55bitri 275 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  {csn 4620  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Mndcmnd 18654  SubMndcsubmnd 18699  mulGrpcmgp 20024  1rcur 20071  Ringcrg 20123  NzRingcnzr 20399  Domncdomn 21175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-mgp 20025  df-ur 20072  df-ring 20125  df-nzr 20400  df-domn 21179
This theorem is referenced by:  deg1mhm  42404
  Copyright terms: Public domain W3C validator