Theorem isdomn3 20732

Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn3.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn3	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		isdomn3.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20722	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	5, 3	isnzr 20531	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
7	6	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
8		anass 468	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
9	7, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
10	1, 5	ringidcl 20280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11		eldifsn 4791	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
12	11	baibr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
14	1, 2	ringcl 20268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
16	15	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17		eldifsn 4791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
18	16, 17	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
19	18	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20	19	2ralbidva 3217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21		con34b 316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
22		neanior 3033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
23		df-ne 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
24	22, 23	imbi12i 350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
25	21, 24	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26	25	2ralbii 3126	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28		an4 656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
29		eldifsn 4791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
30		eldifsn 4791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
31	29, 30	anbi12i 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
32	28, 31	bitr4i 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
33	32	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
34	27, 33	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35	34	2albii 1817	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36		r2al 3193	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37		r2al 3193	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
38	35, 36, 37	3bitr4ri 304	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
39	20, 26, 38	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
40	13, 39	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41		isdomn3.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
42	41	ringmgp 20257	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
43	41, 1	mgpbas 20158	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
44	41, 5	ringidval 20201	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
45	41, 2	mgpplusg 20156	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑈)
46	43, 44, 45	issubm 18829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47		3anass 1094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
48	46, 47	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49		difss 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
50	49	biantrur 530	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
51	48, 50	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
52	42, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
53	40, 52	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
54	53	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
55	9, 54	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
56	4, 55	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529  Domncdomn 20709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-domn 20712

This theorem is referenced by:  fracfld  33290  zringfrac  33562  deg1mhm  43189