Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn3 41574
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isdomn3.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
isdomn3.u π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))

Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3isdomn 20780 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
65, 3isnzr 20745 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
76anbi1i 625 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
8 anass 470 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 275 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 19994 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
11 eldifsn 4748 . . . . . . . 8 ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
1211baibr 538 . . . . . . 7 ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
141, 2ringcl 19986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
15143expb 1121 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡)
1615biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 )))
17 eldifsn 4748 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
1816, 17bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
1918imbi2d 341 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
20192ralbidva 3207 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
21 con34b 316 . . . . . . . . 9 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
22 neanior 3034 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) ↔ Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
23 df-ne 2941 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 351 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) β†’ Β¬ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 278 . . . . . . . 8 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
26252ralbii 3124 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) β‰  0 ))
27 impexp 452 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
28 an4 655 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )))
29 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ))
30 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 ))
3129, 30anbi12i 628 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )))
3228, 31bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3332imbi1i 350 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3427, 33bitr3i 277 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
35342albii 1823 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
36 r2al 3188 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
37 r2al 3188 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 304 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ β‰  0 ∧ 𝑦 β‰  0 ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 314 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
4013, 39anbi12d 632 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (mulGrpβ€˜π‘…)
4241ringmgp 19975 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 19907 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4441, 5ringidval 19920 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘ˆ)
4541, 2mgpplusg 19905 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘ˆ)
4643, 44, 45issubm 18619 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
47 3anass 1096 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
4846, 47bitrdi 287 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))))
49 difss 4092 . . . . . . . 8 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
5049biantrur 532 . . . . . . 7 (((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) ↔ ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5148, 50bitr4di 289 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ Mnd β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))))
5340, 52bitr4d 282 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
5453pm5.32i 576 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
559, 54bitri 275 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 β†’ (π‘₯ = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
564, 55bitri 275 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605  mulGrpcmgp 19901  1rcur 19918  Ringcrg 19969  NzRingcnzr 20743  Domncdomn 20766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-nzr 20744  df-domn 20770
This theorem is referenced by:  deg1mhm  41577
  Copyright terms: Public domain W3C validator