Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn3 38391
Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z 0 = (0g𝑅)
isdomn3.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isdomn3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2765 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 isdomn3.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdomn 19568 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
5 eqid 2765 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
65, 3isnzr 19533 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
76anbi1i 617 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))))
8 anass 460 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
97, 8bitri 266 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))))
101, 5ringidcl 18835 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
11 eldifsn 4472 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
1211baibr 532 . . . . . . 7 ((1r𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
141, 2ringcl 18828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15143expb 1149 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
1615biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17 eldifsn 4472 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
1816, 17syl6bbr 280 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1918imbi2d 331 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20192ralbidva 3135 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21 con34b 307 . . . . . . . . 9 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
22 neanior 3029 . . . . . . . . . 10 ((𝑥0𝑦0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
23 df-ne 2938 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
2422, 23imbi12i 341 . . . . . . . . 9 (((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
2521, 24bitr4i 269 . . . . . . . 8 (((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26252ralbii 3128 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27 impexp 441 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28 an4 646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
29 eldifsn 4472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
30 eldifsn 4472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
3129, 30anbi12i 620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )))
3228, 31bitr4i 269 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3332imbi1i 340 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥0𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3427, 33bitr3i 268 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35342albii 1915 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36 r2al 3086 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37 r2al 3086 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3835, 36, 373bitr4ri 295 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥0𝑦0 ) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
3920, 26, 383bitr4g 305 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
4013, 39anbi12d 624 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41 isdomn3.u . . . . . . 7 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
4241ringmgp 18820 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
4341, 1mgpbas 18762 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑈)
4441, 5ringidval 18770 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
4541, 2mgpplusg 18760 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g𝑈)
4643, 44, 45issubm 17615 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47 3anass 1116 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
4846, 47syl6bb 278 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49 difss 3899 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
5049biantrur 526 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5148, 50syl6bbr 280 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5242, 51syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
5340, 52bitr4d 273 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
5453pm5.32i 570 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
559, 54bitri 266 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
564, 55bitri 266 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107  wal 1650   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  .rcmulr 16217  0gc0g 16368  Mndcmnd 17562  SubMndcsubmnd 17602  mulGrpcmgp 18756  1rcur 18768  Ringcrg 18814  NzRingcnzr 19531  Domncdomn 19554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-plusg 16229  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-nzr 19532  df-domn 19558
This theorem is referenced by:  deg1mhm  38394
  Copyright terms: Public domain W3C validator