Theorem isdomn3 20600

Description: Nonzero elements form a multiplicative submonoid of any domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn3.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn3	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Proof of Theorem isdomn3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		isdomn3.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20590	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	5, 3	isnzr 20399	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
7	6	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))))
8		anass 468	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
9	7, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))))
10	1, 5	ringidcl 20150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
11		eldifsn 4746	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
12	11	baibr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
14	1, 2	ringcl 20135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
16	15	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 )))
17		eldifsn 4746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
18	16, 17	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
19	18	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
20	19	2ralbidva 3197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
21		con34b 316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ (¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
22		neanior 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ ¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))
23		df-ne 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
24	22, 23	imbi12i 350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
25	21, 24	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
26	25	2ralbii 3108	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 0 ))
27		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
28		an4 656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
29		eldifsn 4746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
30		eldifsn 4746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
31	29, 30	anbi12i 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )))
32	28, 31	bitr4i 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
33	32	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
34	27, 33	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
35	34	2albii 1820	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
36		r2al 3171	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
37		r2al 3171	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
38	35, 36, 37	3bitr4ri 304	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
39	20, 26, 38	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
40	13, 39	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
41		isdomn3.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
42	41	ringmgp 20124	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
43	41, 1	mgpbas 20030	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
44	41, 5	ringidval 20068	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑈)
45	41, 2	mgpplusg 20029	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑈)
46	43, 44, 45	issubm 18706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
47		3anass 1094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
48	46, 47	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))))
49		difss 4095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
50	49	biantrur 530	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ↔ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
51	48, 50	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
52	42, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))))
53	40, 52	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
54	53	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
55	9, 54	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0 ))) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))
56	4, 55	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378  Mndcmnd 18637  SubMndcsubmnd 18685  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  NzRingcnzr 20397  Domncdomn 20577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-nzr 20398  df-domn 20580

This theorem is referenced by:  fracfld  33231  zringfrac  33498  deg1mhm  43162