Theorem unitrrg 20787

Description: Units are regular elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitrrg.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
unitrrg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitrrg	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem unitrrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitrrg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
5		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
6		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	2, 6, 7, 8	unitlinv 20474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
10	9	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
11	10	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
12		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
13	2, 6, 1	ringinvcl 20473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
15	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 7	ringass 20334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
18	12, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
19	1, 7, 8	ringlidm 20351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
20	19	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
21	11, 18, 20	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = 𝑦)
22		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	1, 7, 22	ringrz 20376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
24	12, 14, 23	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) ↔ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
26	5, 25	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
27	26	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
28		unitrrg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
29	28, 1, 7, 22	isrrg 20782	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅))))
30	4, 27, 29	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐸)
31	30	ex 417	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐸))
32	31	ssrdv 3942	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  Unitcui 20436  inv_rcinvr 20468  RLRegcrlreg 20775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-rlreg 20778

This theorem is referenced by:  drngdomn  20834  znrrg  21694  deg1invg  26242  ply1divalg  26274  uc1pmon1p  26288  fta1glem1  26304  ig1peu  26311  1rrg  33569  mon1psubm  43896