MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitrrg 20779
Description: Units are regular elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitrrg.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
unitrrg.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitrrg (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)

Proof of Theorem unitrrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 unitrrg.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitcl 20093 . . . . 5 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
43adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5 oveq2 7366 . . . . . 6 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
6 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
92, 6, 7, 8unitlinv 20111 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
109adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1110oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦))
12 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
132, 6, 1ringinvcl 20110 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1413adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
154adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
171, 7ringass 19989 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
1812, 14, 15, 16, 17syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
191, 7, 8ringlidm 19997 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
2019adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
2111, 18, 203eqtr3d 2781 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = 𝑦)
22 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
231, 7, 22ringrz 20017 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2412, 14, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2521, 24eqeq12d 2749 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
265, 25imbitrid 243 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
2726ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
28 unitrrg.e . . . . 5 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
2928, 1, 7, 22isrrg 20774 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…))))
304, 27, 29sylanbrc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
3130ex 414 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ 𝐸))
3231ssrdv 3951 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  1rcur 19918  Ringcrg 19969  Unitcui 20073  invrcinvr 20105  RLRegcrlreg 20765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-rlreg 20769
This theorem is referenced by:  drngdomn  20789  znrrg  20988  deg1invg  25487  ply1divalg  25518  uc1pmon1p  25532  fta1glem1  25546  ig1peu  25552  mon1psubm  41576
  Copyright terms: Public domain W3C validator