Theorem unitrrg 20606

Description: Units are regular elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitrrg.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
unitrrg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitrrg	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem unitrrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitrrg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20278	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
5		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
6		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	2, 6, 7, 8	unitlinv 20296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
11	10	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
12		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
13	2, 6, 1	ringinvcl 20295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
15	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 7	ringass 20156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
18	12, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
19	1, 7, 8	ringlidm 20172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
20	19	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
21	11, 18, 20	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = 𝑦)
22		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	1, 7, 22	ringrz 20197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
24	12, 14, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) ↔ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
26	5, 25	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
27	26	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
28		unitrrg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
29	28, 1, 7, 22	isrrg 20601	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅))))
30	4, 27, 29	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐸)
31	30	ex 412	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐸))
32	31	ssrdv 3943	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  Unitcui 20258  inv_rcinvr 20290  RLRegcrlreg 20594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-rlreg 20597

This theorem is referenced by:  drngdomn  20652  znrrg  21490  deg1invg  26027  ply1divalg  26059  uc1pmon1p  26073  fta1glem1  26089  ig1peu  26096  1rrg  33232  mon1psubm  43172