MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitrrg 21200
Description: Units are regular elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitrrg.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
unitrrg.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitrrg (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)

Proof of Theorem unitrrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 unitrrg.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitcl 20274 . . . . 5 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
43adantl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5 oveq2 7412 . . . . . 6 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
6 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
7 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
8 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
92, 6, 7, 8unitlinv 20292 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
109adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1110oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦))
12 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
132, 6, 1ringinvcl 20291 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
154adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
171, 7ringass 20155 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
1812, 14, 15, 16, 17syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
191, 7, 8ringlidm 20165 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
2019adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
2111, 18, 203eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = 𝑦)
22 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
231, 7, 22ringrz 20190 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2412, 14, 23syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2521, 24eqeq12d 2742 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
265, 25imbitrid 243 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
2726ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
28 unitrrg.e . . . . 5 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
2928, 1, 7, 22isrrg 21195 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…))))
304, 27, 29sylanbrc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
3130ex 412 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ 𝐸))
3231ssrdv 3983 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  0gc0g 17391  1rcur 20083  Ringcrg 20135  Unitcui 20254  invrcinvr 20286  RLRegcrlreg 21186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-rlreg 21190
This theorem is referenced by:  drngdomn  21212  znrrg  21455  deg1invg  25992  ply1divalg  26023  uc1pmon1p  26037  fta1glem1  26052  ig1peu  26059  mon1psubm  42506
  Copyright terms: Public domain W3C validator