Theorem unitrrg 20985

Description: Units are regular elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitrrg.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
unitrrg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitrrg	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem unitrrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitrrg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20635	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
5		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
6		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	2, 6, 7, 8	unitlinv 20653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
10	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
11	10	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
12		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
13	2, 6, 1	ringinvcl 20652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
15	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 7	ringass 20510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
18	12, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
19	1, 7, 8	ringlidm 20528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
20	19	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
21	11, 18, 20	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = 𝑦)
22		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	1, 7, 22	ringrz 20555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
24	12, 14, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) ↔ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
26	5, 25	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
27	26	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
28		unitrrg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
29	28, 1, 7, 22	isrrg 20980	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅))))
30	4, 27, 29	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐸)
31	30	ex 418	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐸))
32	31	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  Unitcui 20615  inv_rcinvr 20647  RLRegcrlreg 20973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-rlreg 20976

This theorem is used by:  drngdomn  21033  znrrg  21901  deg1invg  26454  ply1divalg  26486  uc1pmon1p  26500  fta1glem1  26516  ig1peu  26523  1rrg  33914  mon1psubm  44393