MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitrrg 21247
Description: Units are regular elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
unitrrg.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
unitrrg.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitrrg (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)

Proof of Theorem unitrrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 unitrrg.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
31, 2unitcl 20321 . . . . 5 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
43adantl 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5 oveq2 7434 . . . . . 6 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
6 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
7 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
8 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
92, 6, 7, 8unitlinv 20339 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
109adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1110oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦))
12 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
132, 6, 1ringinvcl 20338 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1413adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
154adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
171, 7ringass 20200 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
1812, 14, 15, 16, 17syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
191, 7, 8ringlidm 20212 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
2019adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
2111, 18, 203eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = 𝑦)
22 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
231, 7, 22ringrz 20237 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2412, 14, 23syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2521, 24eqeq12d 2744 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
265, 25imbitrid 243 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
2726ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…)))
28 unitrrg.e . . . . 5 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
2928, 1, 7, 22isrrg 21242 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐸 ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜π‘…))))
304, 27, 29sylanbrc 581 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
3130ex 411 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ 𝐸))
3231ssrdv 3988 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  1rcur 20128  Ringcrg 20180  Unitcui 20301  invrcinvr 20333  RLRegcrlreg 21233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-rlreg 21237
This theorem is referenced by:  drngdomn  21260  znrrg  21506  deg1invg  26062  ply1divalg  26093  uc1pmon1p  26107  fta1glem1  26122  ig1peu  26129  1rrg  32973  mon1psubm  42658
  Copyright terms: Public domain W3C validator