Theorem unitrrg 20956

Description: Units are regular elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitrrg.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
unitrrg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitrrg	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem unitrrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitrrg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 20606	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
5		oveq2 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
6		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	2, 6, 7, 8	unitlinv 20624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
10	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
11	10	oveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
12		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
13	2, 6, 1	ringinvcl 20623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
15	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 7	ringass 20481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
18	12, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
19	1, 7, 8	ringlidm 20499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
20	19	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
21	11, 18, 20	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = 𝑦)
22		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	1, 7, 22	ringrz 20526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
24	12, 14, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) ↔ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
26	5, 25	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
27	26	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
28		unitrrg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
29	28, 1, 7, 22	isrrg 20951	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅))))
30	4, 27, 29	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐸)
31	30	ex 418	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐸))
32	31	ssrdv 3935	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388  ._rcmulr 17430  0_gc0g 17611  1_rcur 20408  Ringcrg 20460  Unitcui 20586  inv_rcinvr 20618  RLRegcrlreg 20944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-rlreg 20947

This theorem is used by:  drngdomn  21004  znrrg  21872  deg1invg  26425  ply1divalg  26457  uc1pmon1p  26471  fta1glem1  26487  ig1peu  26494  1rrg  33845  mon1psubm  44202