Theorem islhp2 39379

Description: The predicate "is a co-atom (lattice hyperplane)". (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpset.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
lhpset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhpset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islhp2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ 𝑊𝐶 1 ))

Proof of Theorem islhp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpset.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lhpset.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		lhpset.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhpset.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp 39378	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊𝐶 1 )))
6	5	baibd 539	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ 𝑊𝐶 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  Basecbs 17151  1.cp1 18387   ⋖ ccvr 38643  LHypclh 39366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-lhyp 39370

This theorem is referenced by:  lhpoc  39396