Theorem lhpbase 40117

Description: A co-atom is a member of the lattice base set (i.e., a lattice element). (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpbase	⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lhpbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4289	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → ¬ 𝐻 = ∅)
2		lhpbase.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2738	. . . 4 ⊢ (𝐻 = ∅ ↔ (LHyp‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → ¬ (LHyp‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6820	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LHyp‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝐾 ∈ V)
7		lhpbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islhp 40115	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 688	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  Basecbs 17122  1.cp1 18330   ⋖ ccvr 39381  LHypclh 40103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-lhyp 40107

This theorem is referenced by:  lhplt  40119  lhp2lt  40120  lhpexlt  40121  lhp0lt  40122  lhpexle  40124  lhpexnle  40125  lhpexle1  40127  lhpexle2lem  40128  lhpexle3lem  40130  lhpocnle  40135  lhpocat  40136  lhpjat1  40139  lhpjat2  40140  lhpj1  40141  lhpmcvr  40142  lhpmcvr2  40143  lhpmcvr3  40144  lhpmcvr4N  40145  lhpmcvr5N  40146  lhpmcvr6N  40147  lhpm0atN  40148  lhpmat  40149  lhpmatb  40150  lhp2at0  40151  lhpelim  40156  lhpmod2i2  40157  lhpmod6i1  40158  cdlemb2  40160  lhpat  40162  lhpat3  40165  4atexlemwb  40178  ltrnatb  40256  ltrnel  40258  ltrncnvel  40261  trlval2  40282  trlcl  40283  trljat1  40285  trljat2  40286  trlle  40303  trlval3  40306  cdlemc1  40310  cdlemc2  40311  cdlemc4  40313  cdlemc5  40314  cdlemc6  40315  cdlemd2  40318  cdleme0aa  40329  cdleme0b  40331  cdleme0c  40332  cdleme0cp  40333  cdleme0cq  40334  cdleme0e  40336  cdleme0fN  40337  cdlemeulpq  40339  cdleme01N  40340  cdleme0ex1N  40342  cdleme1b  40345  cdleme1  40346  cdleme2  40347  cdleme3b  40348  cdleme3c  40349  cdleme3g  40353  cdleme3h  40354  cdleme3  40356  cdleme4  40357  cdleme4a  40358  cdleme5  40359  cdleme7aa  40361  cdleme7c  40364  cdleme7d  40365  cdleme7e  40366  cdleme7ga  40367  cdleme7  40368  cdleme8  40369  cdleme9b  40371  cdleme9  40372  cdleme10  40373  cdleme11fN  40383  cdleme11g  40384  cdleme11k  40387  cdleme13  40391  cdleme15b  40394  cdleme15d  40396  cdleme15  40397  cdleme16e  40401  cdleme16f  40402  cdleme22gb  40413  cdlemedb  40416  cdlemednpq  40418  cdleme19b  40423  cdleme19c  40424  cdleme20aN  40428  cdleme20c  40430  cdleme20d  40431  cdleme20e  40432  cdleme20j  40437  cdleme21c  40446  cdleme21ct  40448  cdleme22aa  40458  cdleme22cN  40461  cdleme22d  40462  cdleme22e  40463  cdleme22eALTN  40464  cdleme22f  40465  cdleme22g  40467  cdleme23a  40468  cdleme23b  40469  cdleme23c  40470  cdleme28a  40489  cdleme28b  40490  cdleme29ex  40493  cdleme30a  40497  cdlemefr29exN  40521  cdleme32b  40561  cdleme32c  40562  cdleme32e  40564  cdleme35b  40569  cdleme35c  40570  cdleme35d  40571  cdleme35e  40572  cdleme35f  40573  cdleme42a  40590  cdleme42c  40591  cdleme42h  40601  cdleme42i  40602  cdleme48bw  40621  cdlemeg46frv  40644  cdlemeg46vrg  40646  cdlemeg46rgv  40647  cdlemeg46req  40648  cdlemf1  40680  cdlemf2  40681  trlord  40688  cdlemg2fv2  40719  cdlemg2m  40723  cdlemg7fvbwN  40726  cdlemg4  40736  cdlemg6c  40739  cdlemg10bALTN  40755  cdlemg10c  40758  cdlemg10  40760  cdlemg11b  40761  cdlemg12f  40767  cdlemg17a  40780  cdlemg17dALTN  40783  cdlemg19a  40802  cdlemg35  40832  trlcoabs2N  40841  trlcolem  40845  cdlemh2  40935  cdlemi1  40937  cdlemk3  40952  cdlemk4  40953  cdlemk9  40958  cdlemk9bN  40959  cdlemk10  40962  cdlemk39  41035  dia0eldmN  41159  dia1eldmN  41160  dia0  41171  dia1N  41172  diaglbN  41174  diaintclN  41177  dia2dimlem1  41183  dia2dimlem2  41184  dia2dimlem3  41185  dia2dimlem10  41192  dia2dimlem12  41194  cdlemm10N  41237  docaclN  41243  doca2N  41245  djajN  41256  dib0  41283  dibglbN  41285  dibintclN  41286  cdlemn2  41314  cdlemn10  41325  dihjustlem  41335  dihord1  41337  dihord2a  41338  dihord2b  41339  dihord2cN  41340  dihord11b  41341  dihord11c  41343  dihord2pre  41344  dihord2pre2  41345  dihlsscpre  41353  dib2dim  41362  dih2dimb  41363  dih2dimbALTN  41364  dihvalcq2  41366  dihopelvalcpre  41367  dihord6apre  41375  dihord5b  41378  dihord6b  41379  dihord5apre  41381  dih0  41399  dih1  41405  dihwN  41408  dihmeetlem1N  41409  dihglblem5apreN  41410  dihglblem5aN  41411  dihglblem2aN  41412  dihglblem2N  41413  dihglblem3N  41414  dihmeetlem2N  41418  dihglbcpreN  41419  dihmeetbclemN  41423  dihmeetlem3N  41424  dihmeetlem4preN  41425  dihmeetlem6  41428  dihjatc1  41430  dihmeetlem18N  41443  dih1dimatlem  41448  dihjatcclem1  41537  dihjatcclem2  41538  dihjatcclem4  41540