Theorem lhpbase 39980

Description: A co-atom is a member of the lattice base set (i.e., a lattice element). (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpbase	⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lhpbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4345	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → ¬ 𝐻 = ∅)
2		lhpbase.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2739	. . . 4 ⊢ (𝐻 = ∅ ↔ (LHyp‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → ¬ (LHyp‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6898	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LHyp‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝐾 ∈ V)
7		lhpbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islhp 39978	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 688	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ∅c0 4338   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  1.cp1 18481   ⋖ ccvr 39243  LHypclh 39966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-lhyp 39970

This theorem is referenced by:  lhplt  39982  lhp2lt  39983  lhpexlt  39984  lhp0lt  39985  lhpexle  39987  lhpexnle  39988  lhpexle1  39990  lhpexle2lem  39991  lhpexle3lem  39993  lhpocnle  39998  lhpocat  39999  lhpjat1  40002  lhpjat2  40003  lhpj1  40004  lhpmcvr  40005  lhpmcvr2  40006  lhpmcvr3  40007  lhpmcvr4N  40008  lhpmcvr5N  40009  lhpmcvr6N  40010  lhpm0atN  40011  lhpmat  40012  lhpmatb  40013  lhp2at0  40014  lhpelim  40019  lhpmod2i2  40020  lhpmod6i1  40021  cdlemb2  40023  lhpat  40025  lhpat3  40028  4atexlemwb  40041  ltrnatb  40119  ltrnel  40121  ltrncnvel  40124  trlval2  40145  trlcl  40146  trljat1  40148  trljat2  40149  trlle  40166  trlval3  40169  cdlemc1  40173  cdlemc2  40174  cdlemc4  40176  cdlemc5  40177  cdlemc6  40178  cdlemd2  40181  cdleme0aa  40192  cdleme0b  40194  cdleme0c  40195  cdleme0cp  40196  cdleme0cq  40197  cdleme0e  40199  cdleme0fN  40200  cdlemeulpq  40202  cdleme01N  40203  cdleme0ex1N  40205  cdleme1b  40208  cdleme1  40209  cdleme2  40210  cdleme3b  40211  cdleme3c  40212  cdleme3g  40216  cdleme3h  40217  cdleme3  40219  cdleme4  40220  cdleme4a  40221  cdleme5  40222  cdleme7aa  40224  cdleme7c  40227  cdleme7d  40228  cdleme7e  40229  cdleme7ga  40230  cdleme7  40231  cdleme8  40232  cdleme9b  40234  cdleme9  40235  cdleme10  40236  cdleme11fN  40246  cdleme11g  40247  cdleme11k  40250  cdleme13  40254  cdleme15b  40257  cdleme15d  40259  cdleme15  40260  cdleme16e  40264  cdleme16f  40265  cdleme22gb  40276  cdlemedb  40279  cdlemednpq  40281  cdleme19b  40286  cdleme19c  40287  cdleme20aN  40291  cdleme20c  40293  cdleme20d  40294  cdleme20e  40295  cdleme20j  40300  cdleme21c  40309  cdleme21ct  40311  cdleme22aa  40321  cdleme22cN  40324  cdleme22d  40325  cdleme22e  40326  cdleme22eALTN  40327  cdleme22f  40328  cdleme22g  40330  cdleme23a  40331  cdleme23b  40332  cdleme23c  40333  cdleme28a  40352  cdleme28b  40353  cdleme29ex  40356  cdleme30a  40360  cdlemefr29exN  40384  cdleme32b  40424  cdleme32c  40425  cdleme32e  40427  cdleme35b  40432  cdleme35c  40433  cdleme35d  40434  cdleme35e  40435  cdleme35f  40436  cdleme42a  40453  cdleme42c  40454  cdleme42h  40464  cdleme42i  40465  cdleme48bw  40484  cdlemeg46frv  40507  cdlemeg46vrg  40509  cdlemeg46rgv  40510  cdlemeg46req  40511  cdlemf1  40543  cdlemf2  40544  trlord  40551  cdlemg2fv2  40582  cdlemg2m  40586  cdlemg7fvbwN  40589  cdlemg4  40599  cdlemg6c  40602  cdlemg10bALTN  40618  cdlemg10c  40621  cdlemg10  40623  cdlemg11b  40624  cdlemg12f  40630  cdlemg17a  40643  cdlemg17dALTN  40646  cdlemg19a  40665  cdlemg35  40695  trlcoabs2N  40704  trlcolem  40708  cdlemh2  40798  cdlemi1  40800  cdlemk3  40815  cdlemk4  40816  cdlemk9  40821  cdlemk9bN  40822  cdlemk10  40825  cdlemk39  40898  dia0eldmN  41022  dia1eldmN  41023  dia0  41034  dia1N  41035  diaglbN  41037  diaintclN  41040  dia2dimlem1  41046  dia2dimlem2  41047  dia2dimlem3  41048  dia2dimlem10  41055  dia2dimlem12  41057  cdlemm10N  41100  docaclN  41106  doca2N  41108  djajN  41119  dib0  41146  dibglbN  41148  dibintclN  41149  cdlemn2  41177  cdlemn10  41188  dihjustlem  41198  dihord1  41200  dihord2a  41201  dihord2b  41202  dihord2cN  41203  dihord11b  41204  dihord11c  41206  dihord2pre  41207  dihord2pre2  41208  dihlsscpre  41216  dib2dim  41225  dih2dimb  41226  dih2dimbALTN  41227  dihvalcq2  41229  dihopelvalcpre  41230  dihord6apre  41238  dihord5b  41241  dihord6b  41242  dihord5apre  41244  dih0  41262  dih1  41268  dihwN  41271  dihmeetlem1N  41272  dihglblem5apreN  41273  dihglblem5aN  41274  dihglblem2aN  41275  dihglblem2N  41276  dihglblem3N  41277  dihmeetlem2N  41281  dihglbcpreN  41282  dihmeetbclemN  41286  dihmeetlem3N  41287  dihmeetlem4preN  41288  dihmeetlem6  41291  dihjatc1  41293  dihmeetlem18N  41306  dih1dimatlem  41311  dihjatcclem1  41400  dihjatcclem2  41401  dihjatcclem4  41403