Theorem lhpbase 37698

Description: A co-atom is a member of the lattice base set (i.e., a lattice element). (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpbase	⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lhpbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4234	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → ¬ 𝐻 = ∅)
2		lhpbase.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2741	. . . 4 ⊢ (𝐻 = ∅ ↔ (LHyp‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 331	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → ¬ (LHyp‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6687	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LHyp‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 143	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝐾 ∈ V)
7		lhpbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islhp 37696	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))))
11	10	simprbda 502	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 688	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  Basecbs 16666  1.cp1 17884   ⋖ ccvr 36962  LHypclh 37684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-lhyp 37688

This theorem is referenced by:  lhplt  37700  lhp2lt  37701  lhpexlt  37702  lhp0lt  37703  lhpexle  37705  lhpexnle  37706  lhpexle1  37708  lhpexle2lem  37709  lhpexle3lem  37711  lhpocnle  37716  lhpocat  37717  lhpjat1  37720  lhpjat2  37721  lhpj1  37722  lhpmcvr  37723  lhpmcvr2  37724  lhpmcvr3  37725  lhpmcvr4N  37726  lhpmcvr5N  37727  lhpmcvr6N  37728  lhpm0atN  37729  lhpmat  37730  lhpmatb  37731  lhp2at0  37732  lhpelim  37737  lhpmod2i2  37738  lhpmod6i1  37739  cdlemb2  37741  lhpat  37743  lhpat3  37746  4atexlemwb  37759  ltrnatb  37837  ltrnel  37839  ltrncnvel  37842  trlval2  37863  trlcl  37864  trljat1  37866  trljat2  37867  trlle  37884  trlval3  37887  cdlemc1  37891  cdlemc2  37892  cdlemc4  37894  cdlemc5  37895  cdlemc6  37896  cdlemd2  37899  cdleme0aa  37910  cdleme0b  37912  cdleme0c  37913  cdleme0cp  37914  cdleme0cq  37915  cdleme0e  37917  cdleme0fN  37918  cdlemeulpq  37920  cdleme01N  37921  cdleme0ex1N  37923  cdleme1b  37926  cdleme1  37927  cdleme2  37928  cdleme3b  37929  cdleme3c  37930  cdleme3g  37934  cdleme3h  37935  cdleme3  37937  cdleme4  37938  cdleme4a  37939  cdleme5  37940  cdleme7aa  37942  cdleme7c  37945  cdleme7d  37946  cdleme7e  37947  cdleme7ga  37948  cdleme7  37949  cdleme8  37950  cdleme9b  37952  cdleme9  37953  cdleme10  37954  cdleme11fN  37964  cdleme11g  37965  cdleme11k  37968  cdleme13  37972  cdleme15b  37975  cdleme15d  37977  cdleme15  37978  cdleme16e  37982  cdleme16f  37983  cdleme22gb  37994  cdlemedb  37997  cdlemednpq  37999  cdleme19b  38004  cdleme19c  38005  cdleme20aN  38009  cdleme20c  38011  cdleme20d  38012  cdleme20e  38013  cdleme20j  38018  cdleme21c  38027  cdleme21ct  38029  cdleme22aa  38039  cdleme22cN  38042  cdleme22d  38043  cdleme22e  38044  cdleme22eALTN  38045  cdleme22f  38046  cdleme22g  38048  cdleme23a  38049  cdleme23b  38050  cdleme23c  38051  cdleme28a  38070  cdleme28b  38071  cdleme29ex  38074  cdleme30a  38078  cdlemefr29exN  38102  cdleme32b  38142  cdleme32c  38143  cdleme32e  38145  cdleme35b  38150  cdleme35c  38151  cdleme35d  38152  cdleme35e  38153  cdleme35f  38154  cdleme42a  38171  cdleme42c  38172  cdleme42h  38182  cdleme42i  38183  cdleme48bw  38202  cdlemeg46frv  38225  cdlemeg46vrg  38227  cdlemeg46rgv  38228  cdlemeg46req  38229  cdlemf1  38261  cdlemf2  38262  trlord  38269  cdlemg2fv2  38300  cdlemg2m  38304  cdlemg7fvbwN  38307  cdlemg4  38317  cdlemg6c  38320  cdlemg10bALTN  38336  cdlemg10c  38339  cdlemg10  38341  cdlemg11b  38342  cdlemg12f  38348  cdlemg17a  38361  cdlemg17dALTN  38364  cdlemg19a  38383  cdlemg35  38413  trlcoabs2N  38422  trlcolem  38426  cdlemh2  38516  cdlemi1  38518  cdlemk3  38533  cdlemk4  38534  cdlemk9  38539  cdlemk9bN  38540  cdlemk10  38543  cdlemk39  38616  dia0eldmN  38740  dia1eldmN  38741  dia0  38752  dia1N  38753  diaglbN  38755  diaintclN  38758  dia2dimlem1  38764  dia2dimlem2  38765  dia2dimlem3  38766  dia2dimlem10  38773  dia2dimlem12  38775  cdlemm10N  38818  docaclN  38824  doca2N  38826  djajN  38837  dib0  38864  dibglbN  38866  dibintclN  38867  cdlemn2  38895  cdlemn10  38906  dihjustlem  38916  dihord1  38918  dihord2a  38919  dihord2b  38920  dihord2cN  38921  dihord11b  38922  dihord11c  38924  dihord2pre  38925  dihord2pre2  38926  dihlsscpre  38934  dib2dim  38943  dih2dimb  38944  dih2dimbALTN  38945  dihvalcq2  38947  dihopelvalcpre  38948  dihord6apre  38956  dihord5b  38959  dihord6b  38960  dihord5apre  38962  dih0  38980  dih1  38986  dihwN  38989  dihmeetlem1N  38990  dihglblem5apreN  38991  dihglblem5aN  38992  dihglblem2aN  38993  dihglblem2N  38994  dihglblem3N  38995  dihmeetlem2N  38999  dihglbcpreN  39000  dihmeetbclemN  39004  dihmeetlem3N  39005  dihmeetlem4preN  39006  dihmeetlem6  39009  dihjatc1  39011  dihmeetlem18N  39024  dih1dimatlem  39029  dihjatcclem1  39118  dihjatcclem2  39119  dihjatcclem4  39121