Theorem lhpoc 40008

Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpoc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpoc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpoc	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lhpoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpoc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhpoc.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp2 39991	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6		lhpoc.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		lhpoc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 2, 6, 3, 7	1cvrco 39466	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	5, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  occoc 17228  1.cp1 18383   ⋖ ccvr 39255  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  LHypclh 39978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-p0 18384  df-p1 18385  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-hlat 39344  df-lhyp 39982

This theorem is referenced by:  lhpoc2N  40009  lhpocnle  40010  lhpocat  40011