Theorem lhpoc 38028

Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpoc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpoc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpoc	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lhpoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpoc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhpoc.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp2 38011	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6		lhpoc.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		lhpoc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 2, 6, 3, 7	1cvrco 37486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	5, 8	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  occoc 16970  1.cp1 18142   ⋖ ccvr 37276  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-p0 18143  df-p1 18144  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-hlat 37365  df-lhyp 38002

This theorem is referenced by:  lhpoc2N  38029  lhpocnle  38030  lhpocat  38031