Theorem lhpoc 37955

Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpoc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpoc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpoc	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lhpoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpoc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhpoc.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp2 37938	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6		lhpoc.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		lhpoc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 2, 6, 3, 7	1cvrco 37413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	5, 8	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  occoc 16896  1.cp1 18057   ⋖ ccvr 37203  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-p0 18058  df-p1 18059  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-hlat 37292  df-lhyp 37929

This theorem is referenced by:  lhpoc2N  37956  lhpocnle  37957  lhpocat  37958