Theorem lhpoc 40274

Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpoc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpoc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpoc	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lhpoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpoc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		lhpoc.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islhp2 40257	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6		lhpoc.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
7		lhpoc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 2, 6, 3, 7	1cvrco 39732	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	5, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  occoc 17185  1.cp1 18345   ⋖ ccvr 39522  Atomscatm 39523  HLchlt 39610  LHypclh 40244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-p0 18346  df-p1 18347  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-hlat 39611  df-lhyp 40248

This theorem is referenced by:  lhpoc2N  40275  lhpocnle  40276  lhpocat  40277