Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpoc 38880
Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpoc.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
lhpoc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpoc.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpoc ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lhpoc
StepHypRef Expression
1 lhpoc.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . 3 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
3 eqid 2732 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4 lhpoc.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4islhp2 38863 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
6 lhpoc.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
7 lhpoc.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 2, 6, 3, 71cvrco 38338 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴))
95, 8bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  occoc 17204  1.cp1 18376   β‹– ccvr 38127  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-p0 18377  df-p1 18378  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-hlat 38216  df-lhyp 38854
This theorem is referenced by:  lhpoc2N  38881  lhpocnle  38882  lhpocat  38883
  Copyright terms: Public domain W3C validator