Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpoc 39388
Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpoc.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
lhpoc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpoc.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpoc ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lhpoc
StepHypRef Expression
1 lhpoc.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . . 3 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
3 eqid 2724 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4 lhpoc.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4islhp2 39371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
6 lhpoc.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
7 lhpoc.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 2, 6, 3, 71cvrco 38846 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š( β‹– β€˜πΎ)(1.β€˜πΎ) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴))
95, 8bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  occoc 17210  1.cp1 18385   β‹– ccvr 38635  Atomscatm 38636  HLchlt 38723  LHypclh 39358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-p0 18386  df-p1 18387  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-hlat 38724  df-lhyp 39362
This theorem is referenced by:  lhpoc2N  39389  lhpocnle  39390  lhpocat  39391
  Copyright terms: Public domain W3C validator