MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0srg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0srg 20089
Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 18507). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
rge0srg (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 20040 . . . 4 fld ∈ Ring
2 ringcmn 18847 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld ∈ CMnd
4 rege0subm 20074 . . 3 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5 eqid 2764 . . . 4 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
65submcmn 18508 . . 3 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
73, 4, 6mp2an 683 . 2 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8 rge0ssre 12483 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9 ax-resscn 10245 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3769 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11 1re 10292 . . . . 5 1 ∈ ℝ
12 0le1 10804 . . . . 5 0 ≤ 1
13 ltpnf 12153 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1411, 13ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
15 0re 10294 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
16 pnfxr 10345 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
17 elico2 12438 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
1815, 16, 17mp2an 683 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
1911, 12, 14, 18mpbir3an 1441 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
20 ge0mulcl 12488 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
2120rgen2a 3123 . . . 4 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22 eqid 2764 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2322ringmgp 18819 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24 cnfldbas 20022 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2522, 24mgpbas 18761 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26 cnfld1 20043 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
2722, 26ringidval 18769 . . . . . 6 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28 cnfldmul 20024 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2922, 28mgpplusg 18759 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3025, 27, 29issubm 17614 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
311, 23, 30mp2b 10 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
3210, 19, 21, 31mpbir3an 1441 . . 3 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33 eqid 2764 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
3433submmnd 17621 . . 3 ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
3532, 34ax-mp 5 . 2 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36 simpll 783 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
3710, 36sseldi 3758 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38 simplr 785 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
3910, 38sseldi 3758 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
4110, 40sseldi 3758 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4237, 39, 41adddid 10317 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
4337, 39, 41adddird 10318 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
4442, 43jca 507 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4544ralrimiva 3112 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4645ralrimiva 3112 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4710sseli 3756 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
4847mul02d 10487 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
4947mul01d 10488 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
5046, 48, 49jca32 511 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
5150rgen 3068 . 2 𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
525, 24ressbas2 16204 . . . 4 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
5310, 52ax-mp 5 . . 3 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
54 cnfldex 20021 . . . 4 fld ∈ V
55 ovex 6873 . . . 4 (0[,)+∞) ∈ V
565, 22mgpress 18766 . . . 4 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,)+∞))))
5754, 55, 56mp2an 683 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,)+∞)))
58 cnfldadd 20023 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
595, 58ressplusg 16266 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6055, 59ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
615, 28ressmulr 16279 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6255, 61ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞)))
63 ringmnd 18822 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
641, 63ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Mnd
65 0e0icopnf 12485 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
66 cnfld0 20042 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
675, 24, 66ress0g 17586 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6864, 65, 10, 67mp3an 1585 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
6953, 57, 60, 62, 68issrg 18773 . 2 ((ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
707, 35, 51, 69mpbir3an 1441 1 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  Vcvv 3349  wss 3731   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  +∞cpnf 10324  *cxr 10326   < clt 10327  cle 10328  [,)cico 12378  Basecbs 16131  s cress 16132  +gcplusg 16215  .rcmulr 16216  0gc0g 16367  Mndcmnd 17561  SubMndcsubmnd 17601  CMndccmn 18458  mulGrpcmgp 18755  SRingcsrg 18771  Ringcrg 18813  fldccnfld 20018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-ico 12382  df-fz 12533  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-0g 16369  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-srg 18772  df-ring 18815  df-cring 18816  df-cnfld 20019
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  30225  sge0tsms  41166
  Copyright terms: Public domain W3C validator