Theorem rge0srg 21362

Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 19774). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rge0srg	⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21309	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 20198	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		rege0subm 21347	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
6	5	submcmn 19775	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8		rge0ssre 13424	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9		ax-resscn 11132	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstri 3959	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11		1re 11181	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		0le1 11708	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
13		ltpnf 13087	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
15		0re 11183	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		pnfxr 11235	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
17		elico2 13378	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
18	15, 16, 17	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
19	11, 12, 14, 18	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
20		ge0mulcl 13429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
21	20	rgen2 3178	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 20155	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24		cnfldbas 21275	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	22, 24	mgpbas 20061	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26		cnfld1 21312	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
27	22, 26	ringidval 20099	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28		cnfldmul 21279	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
29	22, 28	mgpplusg 20060	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
30	25, 27, 29	issubm 18737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
31	1, 23, 30	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
32	10, 19, 21, 31	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
34	33	submmnd 18747	. . 3 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
35	32, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
37	10, 36	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
39	10, 38	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
41	10, 40	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
42	37, 39, 41	adddid 11205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
43	37, 39, 41	adddird 11206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
44	42, 43	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
45	44	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
46	45	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
47	10	sseli 3945	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	mul02d 11379	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
49	47	mul01d 11380	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
50	46, 48, 49	jca32 515	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
51	50	rgen 3047	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
52	5, 24	ressbas2 17215	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
53	10, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
54		cnfldex 21274	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
55		ovex 7423	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
56	5, 22	mgpress 20066	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
57	54, 55, 56	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
58		cnfldadd 21277	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
59	5, 58	ressplusg 17261	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
60	55, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
61	5, 28	ressmulr 17277	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
62	55, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
63		ringmnd 20159	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
64	1, 63	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
65		0e0icopnf 13426	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
66		cnfld0 21311	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
67	5, 24, 66	ress0g 18696	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
68	64, 65, 10, 67	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
69	53, 57, 60, 62, 68	issrg 20104	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
70	7, 35, 51, 69	mpbir3an 1342	1 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  [,)cico 13315  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  SubMndcsubmnd 18716  CMndccmn 19717  mulGrpcmgp 20056  SRingcsrg 20102  Ringcrg 20149  ℂ_fldccnfld 21271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-ico 13319  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-cnfld 21272

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33326  sge0tsms  46385