Theorem rge0srg 21015

Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 19704). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rge0srg	⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 20966	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 20098	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		rege0subm 21000	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
6	5	submcmn 19705	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8		rge0ssre 13432	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9		ax-resscn 11166	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstri 3991	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11		1re 11213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		0le1 11736	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
13		ltpnf 13099	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
15		0re 11215	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		pnfxr 11267	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
17		elico2 13387	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
18	15, 16, 17	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
19	11, 12, 14, 18	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
20		ge0mulcl 13437	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
21	20	rgen2 3197	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 20061	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24		cnfldbas 20947	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	22, 24	mgpbas 19992	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26		cnfld1 20969	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
27	22, 26	ringidval 20005	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28		cnfldmul 20949	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
29	22, 28	mgpplusg 19990	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
30	25, 27, 29	issubm 18683	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
31	1, 23, 30	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
32	10, 19, 21, 31	mpbir3an 1341	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
34	33	submmnd 18693	. . 3 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
35	32, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
37	10, 36	sselid 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
39	10, 38	sselid 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
41	10, 40	sselid 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
42	37, 39, 41	adddid 11237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
43	37, 39, 41	adddird 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
44	42, 43	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
45	44	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
46	45	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
47	10	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	mul02d 11411	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
49	47	mul01d 11412	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
50	46, 48, 49	jca32 516	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
51	50	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
52	5, 24	ressbas2 17181	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
53	10, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
54		cnfldex 20946	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
55		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
56	5, 22	mgpress 20001	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
57	54, 55, 56	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
58		cnfldadd 20948	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
59	5, 58	ressplusg 17234	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
60	55, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
61	5, 28	ressmulr 17251	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
62	55, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
63		ringmnd 20065	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
64	1, 63	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
65		0e0icopnf 13434	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
66		cnfld0 20968	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
67	5, 24, 66	ress0g 18652	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
68	64, 65, 10, 67	mp3an 1461	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
69	53, 57, 60, 62, 68	issrg 20010	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
70	7, 35, 51, 69	mpbir3an 1341	1 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248  [,)cico 13325  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17384  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669  CMndccmn 19647  mulGrpcmgp 19986  SRingcsrg 20008  Ringcrg 20055  ℂ_fldccnfld 20943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-ico 13329  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-cnfld 20944

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  32458  sge0tsms  45086