MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0srg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0srg 21370
Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 19791). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
rge0srg (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 21317 . . . 4 fld ∈ Ring
2 ringcmn 20217 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld ∈ CMnd
4 rege0subm 21355 . . 3 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5 eqid 2728 . . . 4 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
65submcmn 19792 . . 3 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
73, 4, 6mp2an 691 . 2 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8 rge0ssre 13465 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9 ax-resscn 11195 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3989 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11 1re 11244 . . . . 5 1 ∈ ℝ
12 0le1 11767 . . . . 5 0 ≤ 1
13 ltpnf 13132 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1411, 13ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
15 0re 11246 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
16 pnfxr 11298 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
17 elico2 13420 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
1815, 16, 17mp2an 691 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
1911, 12, 14, 18mpbir3an 1339 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
20 ge0mulcl 13470 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
2120rgen2 3194 . . . 4 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22 eqid 2728 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2322ringmgp 20178 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24 cnfldbas 21282 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2522, 24mgpbas 20079 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26 cnfld1 21320 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
2722, 26ringidval 20122 . . . . . 6 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28 cnfldmul 21286 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2922, 28mgpplusg 20077 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3025, 27, 29issubm 18754 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
311, 23, 30mp2b 10 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
3210, 19, 21, 31mpbir3an 1339 . . 3 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33 eqid 2728 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
3433submmnd 18764 . . 3 ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
3532, 34ax-mp 5 . 2 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
3710, 36sselid 3978 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
3910, 38sselid 3978 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
4110, 40sselid 3978 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4237, 39, 41adddid 11268 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
4337, 39, 41adddird 11269 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
4442, 43jca 511 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4544ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4645ralrimiva 3143 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4710sseli 3976 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
4847mul02d 11442 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
4947mul01d 11443 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
5046, 48, 49jca32 515 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
5150rgen 3060 . 2 𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
525, 24ressbas2 17217 . . . 4 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
5310, 52ax-mp 5 . . 3 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
54 cnfldex 21281 . . . 4 fld ∈ V
55 ovex 7453 . . . 4 (0[,)+∞) ∈ V
565, 22mgpress 20088 . . . 4 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,)+∞))))
5754, 55, 56mp2an 691 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,)+∞)))
58 cnfldadd 21284 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
595, 58ressplusg 17270 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6055, 59ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
615, 28ressmulr 17287 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6255, 61ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞)))
63 ringmnd 20182 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
641, 63ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Mnd
65 0e0icopnf 13467 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
66 cnfld0 21319 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
675, 24, 66ress0g 18721 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6864, 65, 10, 67mp3an 1458 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
6953, 57, 60, 62, 68issrg 20127 . 2 ((ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
707, 35, 51, 69mpbir3an 1339 1 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  Vcvv 3471  wss 3947   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  +∞cpnf 11275  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279  [,)cico 13358  Basecbs 17179  s cress 17208  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  0gc0g 17420  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18738  CMndccmn 19734  mulGrpcmgp 20073  SRingcsrg 20125  Ringcrg 20172  fldccnfld 21278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-ico 13362  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-cnfld 21279
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33060  sge0tsms  45768
  Copyright terms: Public domain W3C validator