MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0srg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0srg 21376
Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 19797). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
rge0srg (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 21323 . . . 4 fld ∈ Ring
2 ringcmn 20223 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld ∈ CMnd
4 rege0subm 21361 . . 3 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5 eqid 2727 . . . 4 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
65submcmn 19798 . . 3 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
73, 4, 6mp2an 690 . 2 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8 rge0ssre 13471 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9 ax-resscn 11201 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3989 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11 1re 11250 . . . . 5 1 ∈ ℝ
12 0le1 11773 . . . . 5 0 ≤ 1
13 ltpnf 13138 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1411, 13ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
15 0re 11252 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
16 pnfxr 11304 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
17 elico2 13426 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
1815, 16, 17mp2an 690 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
1911, 12, 14, 18mpbir3an 1338 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
20 ge0mulcl 13476 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
2120rgen2 3193 . . . 4 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22 eqid 2727 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2322ringmgp 20184 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24 cnfldbas 21288 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2522, 24mgpbas 20085 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26 cnfld1 21326 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
2722, 26ringidval 20128 . . . . . 6 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28 cnfldmul 21292 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2922, 28mgpplusg 20083 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3025, 27, 29issubm 18760 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
311, 23, 30mp2b 10 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
3210, 19, 21, 31mpbir3an 1338 . . 3 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33 eqid 2727 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
3433submmnd 18770 . . 3 ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
3532, 34ax-mp 5 . 2 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
3710, 36sselid 3978 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
3910, 38sselid 3978 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
4110, 40sselid 3978 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4237, 39, 41adddid 11274 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
4337, 39, 41adddird 11275 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
4442, 43jca 510 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4544ralrimiva 3142 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4645ralrimiva 3142 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4710sseli 3976 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
4847mul02d 11448 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
4947mul01d 11449 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
5046, 48, 49jca32 514 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
5150rgen 3059 . 2 𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
525, 24ressbas2 17223 . . . 4 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
5310, 52ax-mp 5 . . 3 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
54 cnfldex 21287 . . . 4 fld ∈ V
55 ovex 7457 . . . 4 (0[,)+∞) ∈ V
565, 22mgpress 20094 . . . 4 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,)+∞))))
5754, 55, 56mp2an 690 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,)+∞)))
58 cnfldadd 21290 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
595, 58ressplusg 17276 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6055, 59ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
615, 28ressmulr 17293 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6255, 61ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞)))
63 ringmnd 20188 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
641, 63ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Mnd
65 0e0icopnf 13473 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
66 cnfld0 21325 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
675, 24, 66ress0g 18727 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6864, 65, 10, 67mp3an 1457 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
6953, 57, 60, 62, 68issrg 20133 . 2 ((ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
707, 35, 51, 69mpbir3an 1338 1 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3057  Vcvv 3471  wss 3947   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149  +∞cpnf 11281  *cxr 11283   < clt 11284  cle 11285  [,)cico 13364  Basecbs 17185  s cress 17214  +gcplusg 17238  .rcmulr 17239  0gc0g 17426  Mndcmnd 18699  SubMndcsubmnd 18744  CMndccmn 19740  mulGrpcmgp 20079  SRingcsrg 20131  Ringcrg 20178  fldccnfld 21284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-ico 13368  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-cnfld 21285
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  33078  sge0tsms  45770
  Copyright terms: Public domain W3C validator