Theorem rge0srg 21617

Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 19930). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rge0srg	⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21573	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 20389	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		rege0subm 21602	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
6	5	submcmn 19931	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8		rge0ssre 13494	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9		ax-resscn 11168	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstri 3947	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11		1re 11219	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		0le1 11748	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
13		ltpnf 13156	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
15		0re 11221	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		pnfxr 11274	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
17		elico2 13448	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
18	15, 16, 17	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
19	11, 12, 14, 18	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
20		ge0mulcl 13499	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
21	20	rgen2 3207	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 20344	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24		cnfldbas 21555	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	22, 24	mgpbas 20244	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26		cnfld1 21576	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
27	22, 26	ringidval 20288	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28		cnfldmul 21559	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
29	22, 28	mgpplusg 20243	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
30	25, 27, 29	issubm 18884	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
31	1, 23, 30	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
32	10, 19, 21, 31	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
34	33	submmnd 18895	. . 3 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
35	32, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
37	10, 36	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
39	10, 38	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
41	10, 40	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
42	37, 39, 41	adddid 11244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
43	37, 39, 41	adddird 11245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
44	42, 43	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
45	44	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
46	45	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
47	10	sseli 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	mul02d 11419	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
49	47	mul01d 11420	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
50	46, 48, 49	jca32 525	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
51	50	rgen 3083	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
52	5, 24	ressbas2 17315	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
53	10, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
54		cnfldex 21554	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
55		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
56	5, 22	mgpress 20249	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
57	54, 55, 56	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
58		cnfldadd 21557	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
59	5, 58	ressplusg 17361	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
60	55, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
61	5, 28	ressmulr 17377	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
62	55, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
63		ringmnd 20348	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
64	1, 63	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
65		0e0icopnf 13496	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
66		cnfld0 21575	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
67	5, 24, 66	ress0g 18841	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
68	64, 65, 10, 67	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
69	53, 57, 60, 62, 68	issrg 20293	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
70	7, 35, 51, 69	mpbir3an 1360	1 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  +∞cpnf 11251  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  [,)cico 13385  Basecbs 17286   ↾_s cress 17307  +_gcplusg 17327  ._rcmulr 17328  0_gc0g 17509  Mndcmnd 18813  SubMndcsubmnd 18863  CMndccmn 19873  mulGrpcmgp 20239  SRingcsrg 20291  Ringcrg 20338  ℂ_fldccnfld 21551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-ico 13389  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-ur 20287  df-srg 20292  df-ring 20340  df-cring 20341  df-cnfld 21552

This theorem is used by:  xrge0slmod  33691  sge0tsms  47127