Theorem rge0srg 21651

Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 19964). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rge0srg	⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21607	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 20423	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		rege0subm 21636	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
6	5	submcmn 19965	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8		rge0ssre 13509	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9		ax-resscn 11181	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstri 3940	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11		1re 11232	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		0le1 11761	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
13		ltpnf 13171	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
15		0re 11234	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		pnfxr 11287	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
17		elico2 13463	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
18	15, 16, 17	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
19	11, 12, 14, 18	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
20		ge0mulcl 13514	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
21	20	rgen2 3202	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 20378	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24		cnfldbas 21589	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	22, 24	mgpbas 20278	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26		cnfld1 21610	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
27	22, 26	ringidval 20322	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28		cnfldmul 21593	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
29	22, 28	mgpplusg 20277	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
30	25, 27, 29	issubm 18911	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
31	1, 23, 30	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
32	10, 19, 21, 31	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
34	33	submmnd 18922	. . 3 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
35	32, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
37	10, 36	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
39	10, 38	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
41	10, 40	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
42	37, 39, 41	adddid 11257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
43	37, 39, 41	adddird 11258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
44	42, 43	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
45	44	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
46	45	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
47	10	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	mul02d 11432	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
49	47	mul01d 11433	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
50	46, 48, 49	jca32 525	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
51	50	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
52	5, 24	ressbas2 17330	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
53	10, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
54		cnfldex 21588	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
55		ovex 7446	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
56	5, 22	mgpress 20283	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
57	54, 55, 56	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
58		cnfldadd 21591	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
59	5, 58	ressplusg 17376	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
60	55, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
61	5, 28	ressmulr 17392	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
62	55, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
63		ringmnd 20382	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
64	1, 63	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
65		0e0icopnf 13511	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
66		cnfld0 21609	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
67	5, 24, 66	ress0g 18867	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
68	64, 65, 10, 67	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
69	53, 57, 60, 62, 68	issrg 20327	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
70	7, 35, 51, 69	mpbir3an 1360	1 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  [,)cico 13400  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  +_gcplusg 17342  ._rcmulr 17343  0_gc0g 17524  Mndcmnd 18836  SubMndcsubmnd 18890  CMndccmn 19907  mulGrpcmgp 20273  SRingcsrg 20325  Ringcrg 20372  ℂ_fldccnfld 21585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-ico 13404  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-cnfld 21586

This theorem is used by:  xrge0slmod  33788  sge0tsms  47208