Theorem ringsrg 20267

Description: Any ring is also a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ringsrg	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)

Proof of Theorem ringsrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcmn 20252	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20209	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	4, 2, 5, 6	isring 20207	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
8	7	simp3bi 1148	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10	4, 6, 9	ringlz 20263	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
11	4, 6, 9	ringrz 20264	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12	10, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
13	12	ralrimiva 3127	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
14		r19.26 3095	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))) ↔ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
15	8, 13, 14	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
16	4, 2, 5, 6, 9	issrg 20158	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))))
17	1, 3, 15, 16	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  ._rcmulr 17210  0_gc0g 17391  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18898  CMndccmn 19744  mulGrpcmgp 20110  SRingcsrg 20156  Ringcrg 20203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-srg 20157  df-ring 20205

This theorem is referenced by:  crngbinom  20304  ring1zr  20742  mplcoe5lem  22006  mdet1  22554  lmodslmd  33253  rhmqusspan  42612