Theorem nn0srg 21797

Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 20102). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0srg	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21752	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 20562	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		nn0subm 21782	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
6	5	submcmn 20103	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
8		nn0ex 12652	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	5, 9	mgpress 20421	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
11	3, 8, 10	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
12		nn0sscn 12651	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
13		1nn0 12662	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		nn0mulcl 12682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
15	14	rgen2 3206	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
16	9	ringmgp 20516	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18		cnfldbas 21733	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 20416	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21755	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 20460	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		cnfldmul 21737	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
23	9, 22	mgpplusg 20415	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
24	19, 21, 23	issubm 19048	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
26	12, 13, 15, 25	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0)
28	27	submmnd 19059	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd
30	11, 29	eqeltrri 2861	. 2 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd
31		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
37	32, 34, 36	adddid 11372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
38	32, 34, 36	adddird 11373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
39	37, 38	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
40	39	ralrimivva 3209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41		nn0cn 12656	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11547	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
43	41	mul01d 11548	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
44	40, 42, 43	jca32 525	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
45	44	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
46	5, 18	ressbas2 17460	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
47	12, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
48		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
49		cnfldadd 21735	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
50	5, 49	ressplusg 17508	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
51	8, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
52	5, 22	ressmulr 17524	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
53	8, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0))
54		ringmnd 20521	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
55	1, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
56		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
57		cnfld0 21754	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
58	5, 18, 57	ress0g 19004	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
59	55, 56, 12, 58	mp3an 1491	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
60	47, 48, 51, 53, 59	issrg 20465	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
61	7, 30, 45, 60	mpbir3an 1360	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  Mndcmnd 18973  SubMndcsubmnd 19027  CMndccmn 20045  mulGrpcmgp 20411  SRingcsrg 20463  Ringcrg 20510  ℂ_fldccnfld 21729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-cnfld 21730

This theorem is used by: (None)