MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0srg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0srg 21015
Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 19705). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0srg (ℂflds0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 20967 . . . 4 fld ∈ Ring
2 ringcmn 20099 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld ∈ CMnd
4 nn0subm 21000 . . 3 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5 eqid 2733 . . . 4 (ℂflds0) = (ℂflds0)
65submcmn 19706 . . 3 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
73, 4, 6mp2an 691 . 2 (ℂflds0) ∈ CMnd
8 nn0ex 12478 . . . 4 0 ∈ V
9 eqid 2733 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
105, 9mgpress 20002 . . . 4 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = (mulGrp‘(ℂflds0)))
113, 8, 10mp2an 691 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = (mulGrp‘(ℂflds0))
12 nn0sscn 12477 . . . . 5 0 ⊆ ℂ
13 1nn0 12488 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
14 nn0mulcl 12508 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
1514rgen2 3198 . . . . 5 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
169ringmgp 20062 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18 cnfldbas 20948 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
199, 18mgpbas 19993 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20 cnfld1 20970 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
219, 20ringidval 20006 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22 cnfldmul 20950 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
239, 22mgpplusg 19991 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2419, 21, 23issubm 18684 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
2517, 24ax-mp 5 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
2612, 13, 15, 25mpbir3an 1342 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27 eqid 2733 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0)
2827submmnd 18694 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) ∈ Mnd
3011, 29eqeltrri 2831 . 2 (mulGrp‘(ℂflds0)) ∈ Mnd
31 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12534 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 12534 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12534 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
3732, 34, 36adddid 11238 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
3832, 34, 36adddird 11239 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
3937, 38jca 513 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4039ralrimivva 3201 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41 nn0cn 12482 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
4241mul02d 11412 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
4341mul01d 11413 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
4440, 42, 43jca32 517 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
4544rgen 3064 . 2 𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
465, 18ressbas2 17182 . . . 4 (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂflds0)))
4712, 46ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘(ℂflds0))
48 eqid 2733 . . 3 (mulGrp‘(ℂflds0)) = (mulGrp‘(ℂflds0))
49 cnfldadd 20949 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
505, 49ressplusg 17235 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂflds0)))
518, 50ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds0))
525, 22ressmulr 17252 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds0)))
538, 52ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds0))
54 ringmnd 20066 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
551, 54ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Mnd
56 0nn0 12487 . . . 4 0 ∈ ℕ0
57 cnfld0 20969 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
585, 18, 57ress0g 18653 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
5955, 56, 12, 58mp3an 1462 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds0))
6047, 48, 51, 53, 59issrg 20011 . 2 ((ℂflds0) ∈ SRing ↔ ((ℂflds0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂflds0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
617, 30, 45, 60mpbir3an 1342 1 (ℂflds0) ∈ SRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3949  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  0cn0 12472  Basecbs 17144  s cress 17173  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670  CMndccmn 19648  mulGrpcmgp 19987  SRingcsrg 20009  Ringcrg 20056  fldccnfld 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-cnfld 20945
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator