MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0srg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0srg 21472
Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 19869). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0srg (ℂflds0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 21420 . . . 4 fld ∈ Ring
2 ringcmn 20295 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld ∈ CMnd
4 nn0subm 21457 . . 3 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5 eqid 2734 . . . 4 (ℂflds0) = (ℂflds0)
65submcmn 19870 . . 3 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
73, 4, 6mp2an 692 . 2 (ℂflds0) ∈ CMnd
8 nn0ex 12529 . . . 4 0 ∈ V
9 eqid 2734 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
105, 9mgpress 20166 . . . 4 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = (mulGrp‘(ℂflds0)))
113, 8, 10mp2an 692 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = (mulGrp‘(ℂflds0))
12 nn0sscn 12528 . . . . 5 0 ⊆ ℂ
13 1nn0 12539 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
14 nn0mulcl 12559 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
1514rgen2 3196 . . . . 5 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
169ringmgp 20256 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18 cnfldbas 21385 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
199, 18mgpbas 20157 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20 cnfld1 21423 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
219, 20ringidval 20200 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22 cnfldmul 21389 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
239, 22mgpplusg 20155 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2419, 21, 23issubm 18828 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
2517, 24ax-mp 5 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
2612, 13, 15, 25mpbir3an 1340 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27 eqid 2734 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0)
2827submmnd 18838 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) ∈ Mnd
3011, 29eqeltrri 2835 . 2 (mulGrp‘(ℂflds0)) ∈ Mnd
31 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12586 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 12586 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12586 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
3732, 34, 36adddid 11282 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
3832, 34, 36adddird 11283 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
3937, 38jca 511 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4039ralrimivva 3199 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41 nn0cn 12533 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
4241mul02d 11456 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
4341mul01d 11457 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
4440, 42, 43jca32 515 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
4544rgen 3060 . 2 𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
465, 18ressbas2 17282 . . . 4 (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂflds0)))
4712, 46ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘(ℂflds0))
48 eqid 2734 . . 3 (mulGrp‘(ℂflds0)) = (mulGrp‘(ℂflds0))
49 cnfldadd 21387 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
505, 49ressplusg 17335 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂflds0)))
518, 50ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds0))
525, 22ressmulr 17352 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds0)))
538, 52ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds0))
54 ringmnd 20260 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
551, 54ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Mnd
56 0nn0 12538 . . . 4 0 ∈ ℕ0
57 cnfld0 21422 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
585, 18, 57ress0g 18787 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
5955, 56, 12, 58mp3an 1460 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds0))
6047, 48, 51, 53, 59issrg 20205 . 2 ((ℂflds0) ∈ SRing ↔ ((ℂflds0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂflds0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
617, 30, 45, 60mpbir3an 1340 1 (ℂflds0) ∈ SRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  0cn0 12523  Basecbs 17244  s cress 17273  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  SubMndcsubmnd 18807  CMndccmn 19812  mulGrpcmgp 20151  SRingcsrg 20203  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator