Theorem nn0srg 21392

Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 19766). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0srg	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21345	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 20217	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		nn0subm 21377	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
6	5	submcmn 19767	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
8		nn0ex 12407	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	5, 9	mgpress 20085	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
11	3, 8, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
12		nn0sscn 12406	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
13		1nn0 12417	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		nn0mulcl 12437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
15	14	rgen2 3176	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
16	9	ringmgp 20174	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18		cnfldbas 21313	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 20080	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21348	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 20118	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		cnfldmul 21317	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
23	9, 22	mgpplusg 20079	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
24	19, 21, 23	issubm 18728	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
26	12, 13, 15, 25	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0)
28	27	submmnd 18738	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd
30	11, 29	eqeltrri 2833	. 2 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd
31		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
37	32, 34, 36	adddid 11156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
38	32, 34, 36	adddird 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
39	37, 38	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
40	39	ralrimivva 3179	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41		nn0cn 12411	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11331	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
43	41	mul01d 11332	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
44	40, 42, 43	jca32 515	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
45	44	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
46	5, 18	ressbas2 17165	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
47	12, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
48		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
49		cnfldadd 21315	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
50	5, 49	ressplusg 17211	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
51	8, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
52	5, 22	ressmulr 17227	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
53	8, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0))
54		ringmnd 20178	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
55	1, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
56		0nn0 12416	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
57		cnfld0 21347	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
58	5, 18, 57	ress0g 18687	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
59	55, 56, 12, 58	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
60	47, 48, 51, 53, 59	issrg 20123	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
61	7, 30, 45, 60	mpbir3an 1342	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18707  CMndccmn 19709  mulGrpcmgp 20075  SRingcsrg 20121  Ringcrg 20168  ℂ_fldccnfld 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-cnfld 21310

This theorem is referenced by: (None)