Theorem nn0srg 20668

Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 19438). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0srg	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 20620	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 19820	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		nn0subm 20653	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
6	5	submcmn 19439	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 689	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
8		nn0ex 12239	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	5, 9	mgpress 19735	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
11	3, 8, 10	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
12		nn0sscn 12238	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
13		1nn0 12249	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		nn0mulcl 12269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
15	14	rgen2 3120	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
16	9	ringmgp 19789	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18		cnfldbas 20601	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 19726	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 20623	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 19739	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		cnfldmul 20603	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
23	9, 22	mgpplusg 19724	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
24	19, 21, 23	issubm 18442	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
26	12, 13, 15, 25	mpbir3an 1340	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0)
28	27	submmnd 18452	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd
30	11, 29	eqeltrri 2836	. 2 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd
31		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
37	32, 34, 36	adddid 10999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
38	32, 34, 36	adddird 11000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
39	37, 38	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
40	39	ralrimivva 3123	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41		nn0cn 12243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11173	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
43	41	mul01d 11174	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
44	40, 42, 43	jca32 516	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
45	44	rgen 3074	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
46	5, 18	ressbas2 16949	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
47	12, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
48		eqid 2738	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
49		cnfldadd 20602	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
50	5, 49	ressplusg 17000	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
51	8, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
52	5, 22	ressmulr 17017	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
53	8, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0))
54		ringmnd 19793	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
55	1, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
56		0nn0 12248	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
57		cnfld0 20622	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
58	5, 18, 57	ress0g 18413	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
59	55, 56, 12, 58	mp3an 1460	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
60	47, 48, 51, 53, 59	issrg 19743	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
61	7, 30, 45, 60	mpbir3an 1340	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  CMndccmn 19386  mulGrpcmgp 19720  SRingcsrg 19741  Ringcrg 19783  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-cring 19786  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by: (None)