MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0srg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0srg 21455
Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 19855). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0srg (ℂflds0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 21403 . . . 4 fld ∈ Ring
2 ringcmn 20279 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld ∈ CMnd
4 nn0subm 21440 . . 3 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5 eqid 2737 . . . 4 (ℂflds0) = (ℂflds0)
65submcmn 19856 . . 3 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
73, 4, 6mp2an 692 . 2 (ℂflds0) ∈ CMnd
8 nn0ex 12532 . . . 4 0 ∈ V
9 eqid 2737 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
105, 9mgpress 20147 . . . 4 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = (mulGrp‘(ℂflds0)))
113, 8, 10mp2an 692 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = (mulGrp‘(ℂflds0))
12 nn0sscn 12531 . . . . 5 0 ⊆ ℂ
13 1nn0 12542 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
14 nn0mulcl 12562 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
1514rgen2 3199 . . . . 5 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
169ringmgp 20236 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18 cnfldbas 21368 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
199, 18mgpbas 20142 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20 cnfld1 21406 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
219, 20ringidval 20180 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22 cnfldmul 21372 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
239, 22mgpplusg 20141 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2419, 21, 23issubm 18816 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
2517, 24ax-mp 5 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
2612, 13, 15, 25mpbir3an 1342 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27 eqid 2737 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0)
2827submmnd 18826 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) ∈ Mnd
3011, 29eqeltrri 2838 . 2 (mulGrp‘(ℂflds0)) ∈ Mnd
31 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12589 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 12589 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12589 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
3732, 34, 36adddid 11285 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
3832, 34, 36adddird 11286 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
3937, 38jca 511 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4039ralrimivva 3202 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41 nn0cn 12536 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
4241mul02d 11459 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
4341mul01d 11460 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
4440, 42, 43jca32 515 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
4544rgen 3063 . 2 𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
465, 18ressbas2 17283 . . . 4 (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂflds0)))
4712, 46ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘(ℂflds0))
48 eqid 2737 . . 3 (mulGrp‘(ℂflds0)) = (mulGrp‘(ℂflds0))
49 cnfldadd 21370 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
505, 49ressplusg 17334 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂflds0)))
518, 50ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds0))
525, 22ressmulr 17351 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds0)))
538, 52ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds0))
54 ringmnd 20240 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
551, 54ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Mnd
56 0nn0 12541 . . . 4 0 ∈ ℕ0
57 cnfld0 21405 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
585, 18, 57ress0g 18775 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
5955, 56, 12, 58mp3an 1463 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds0))
6047, 48, 51, 53, 59issrg 20185 . 2 ((ℂflds0) ∈ SRing ↔ ((ℂflds0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂflds0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
617, 30, 45, 60mpbir3an 1342 1 (ℂflds0) ∈ SRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  0cn0 12526  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  SRingcsrg 20183  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator