Theorem nn0srg 21568

Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 19908). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0srg	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21525	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 20366	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		nn0subm 21553	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
6	5	submcmn 19909	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 704	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
8		nn0ex 12511	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	5, 9	mgpress 20227	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
11	3, 8, 10	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
12		nn0sscn 12510	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
13		1nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		nn0mulcl 12541	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
15	14	rgen2 3205	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
16	9	ringmgp 20322	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18		cnfldbas 21507	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 20222	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21528	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 20266	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		cnfldmul 21511	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
23	9, 22	mgpplusg 20221	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
24	19, 21, 23	issubm 18862	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
26	12, 13, 15, 25	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0)
28	27	submmnd 18873	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd
30	11, 29	eqeltrri 2860	. 2 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd
31		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
37	32, 34, 36	adddid 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
38	32, 34, 36	adddird 11235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
39	37, 38	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
40	39	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41		nn0cn 12515	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11409	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
43	41	mul01d 11410	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
44	40, 42, 43	jca32 524	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
45	44	rgen 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
46	5, 18	ressbas2 17299	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
47	12, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
48		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
49		cnfldadd 21509	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
50	5, 49	ressplusg 17345	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
51	8, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
52	5, 22	ressmulr 17361	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
53	8, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0))
54		ringmnd 20326	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
55	1, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
56		0nn0 12520	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
57		cnfld0 21527	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
58	5, 18, 57	ress0g 18821	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
59	55, 56, 12, 58	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
60	47, 48, 51, 53, 59	issrg 20271	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
61	7, 30, 45, 60	mpbir3an 1360	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793  SubMndcsubmnd 18841  CMndccmn 19851  mulGrpcmgp 20217  SRingcsrg 20269  Ringcrg 20316  ℂ_fldccnfld 21503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-srg 20270  df-ring 20318  df-cring 20319  df-cnfld 21504

This theorem is referenced by: (None)