MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0srg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0srg 20531
Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 18877). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0srg (ℂflds0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 20483 . . . 4 fld ∈ Ring
2 ringcmn 19251 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld ∈ CMnd
4 nn0subm 20516 . . 3 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5 eqid 2826 . . . 4 (ℂflds0) = (ℂflds0)
65submcmn 18878 . . 3 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds0) ∈ CMnd)
73, 4, 6mp2an 688 . 2 (ℂflds0) ∈ CMnd
8 nn0ex 11892 . . . 4 0 ∈ V
9 eqid 2826 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
105, 9mgpress 19170 . . . 4 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = (mulGrp‘(ℂflds0)))
113, 8, 10mp2an 688 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = (mulGrp‘(ℂflds0))
12 nn0sscn 11891 . . . . 5 0 ⊆ ℂ
13 1nn0 11902 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
14 nn0mulcl 11922 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
1514rgen2 3208 . . . . 5 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
169ringmgp 19223 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18 cnfldbas 20465 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
199, 18mgpbas 19165 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20 cnfld1 20486 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
219, 20ringidval 19173 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22 cnfldmul 20467 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
239, 22mgpplusg 19163 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2419, 21, 23issubm 17956 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
2517, 24ax-mp 5 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
2612, 13, 15, 25mpbir3an 1335 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27 eqid 2826 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0)
2827submmnd 17963 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s0) ∈ Mnd
3011, 29eqeltrri 2915 . 2 (mulGrp‘(ℂflds0)) ∈ Mnd
31 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 11946 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 11946 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11946 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
3732, 34, 36adddid 10654 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
3832, 34, 36adddird 10655 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
3937, 38jca 512 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4039ralrimivva 3196 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41 nn0cn 11896 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
4241mul02d 10827 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
4341mul01d 10828 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
4440, 42, 43jca32 516 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
4544rgen 3153 . 2 𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
465, 18ressbas2 16545 . . . 4 (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂflds0)))
4712, 46ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘(ℂflds0))
48 eqid 2826 . . 3 (mulGrp‘(ℂflds0)) = (mulGrp‘(ℂflds0))
49 cnfldadd 20466 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
505, 49ressplusg 16602 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂflds0)))
518, 50ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds0))
525, 22ressmulr 16615 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds0)))
538, 52ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds0))
54 ringmnd 19226 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
551, 54ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Mnd
56 0nn0 11901 . . . 4 0 ∈ ℕ0
57 cnfld0 20485 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
585, 18, 57ress0g 17927 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
5955, 56, 12, 58mp3an 1454 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds0))
6047, 48, 51, 53, 59issrg 19177 . 2 ((ℂflds0) ∈ SRing ↔ ((ℂflds0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂflds0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
617, 30, 45, 60mpbir3an 1335 1 (ℂflds0) ∈ SRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  wss 3940  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  0cn0 11886  Basecbs 16473  s cress 16474  +gcplusg 16555  .rcmulr 16556  0gc0g 16703  Mndcmnd 17900  SubMndcsubmnd 17943  CMndccmn 18826  mulGrpcmgp 19159  SRingcsrg 19175  Ringcrg 19217  fldccnfld 20461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-srg 19176  df-ring 19219  df-cring 19220  df-cnfld 20462
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator