Theorem nn0srg 21455

Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 19855). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0srg	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Proof of Theorem nn0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21403	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 20279	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		nn0subm 21440	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
6	5	submcmn 19856	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd
8		nn0ex 12532	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	5, 9	mgpress 20147	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ ℕ0 ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
11	3, 8, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
12		nn0sscn 12531	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
13		1nn0 12542	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		nn0mulcl 12562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)
15	14	rgen2 3199	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0
16	9	ringmgp 20236	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
18		cnfldbas 21368	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 20142	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21406	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 20180	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		cnfldmul 21372	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
23	9, 22	mgpplusg 20141	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
24	19, 21, 23	issubm 18816	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0)))
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ℕ0 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ0))
26	12, 13, 15, 25	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0)
28	27	submmnd 18826	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℕ0) ∈ Mnd
30	11, 29	eqeltrri 2838	. 2 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd
31		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 12589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
35		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
37	32, 34, 36	adddid 11285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
38	32, 34, 36	adddird 11286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
39	37, 38	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
40	39	ralrimivva 3202	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
41		nn0cn 12536	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11459	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑥) = 0)
43	41	mul01d 11460	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 · 0) = 0)
44	40, 42, 43	jca32 515	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
45	44	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
46	5, 18	ressbas2 17283	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
47	12, 46	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
48		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0))
49		cnfldadd 21370	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
50	5, 49	ressplusg 17334	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
51	8, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
52	5, 22	ressmulr 17351	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
53	8, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s ℕ0))
54		ringmnd 20240	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
55	1, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
56		0nn0 12541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
57		cnfld0 21405	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
58	5, 18, 57	ress0g 18775	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
59	55, 56, 12, 58	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
60	47, 48, 51, 53, 59	issrg 20185	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘(ℂfld ↾s ℕ0)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
61	7, 30, 45, 60	mpbir3an 1342	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ SRing

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  SRingcsrg 20183  Ringcrg 20230  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by: (None)