Theorem nf1oconst 7293

Description: A constant function from at least two elements is not bijective. (Contributed by AV, 30-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nf1oconst	⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem nf1oconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nf1const 7292	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶)
2	1	orcd 886	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
3		ianor 997	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐶) ↔ (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
4		df-f1o 6532	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
5	3, 4	xchnxbir 336	. 2 ⊢ (¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
6	2, 5	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  {csn 4585  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  –onto→wfo 6523  –1-1-onto→wf1o 6524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-f1o 6532  df-fv 6533

This theorem is referenced by:  symgpssefmnd  19457