Theorem nf1oconst 7339

Description: A constant function from at least two elements is not bijective. (Contributed by AV, 30-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nf1oconst	⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐶)

Proof of Theorem nf1oconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nf1const 7338	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐶)
2	1	orcd 887	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (¬ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴⟶onto𝐶))
3		ianor 997	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐶) ↔ (¬ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴⟶onto𝐶))
4		df-f1o 6568	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶onto𝐶))
5	3, 4	xchnxbir 336	. 2 ⊢ (¬ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐶 ↔ (¬ 𝐹:𝐴⟶1-1𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴⟶onto𝐶))
6	2, 5	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {csn 4588  ⟶wf 6557  ⟶1-1wf1 6558  ⟶ontowfo 6559  ⟶1-1ontowf1o 6560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-f1o 6568  df-fv 6569

This theorem is used by:  symgpssefmnd  19643