Theorem nf1oconst 7170

Description: A constant function from at least two elements is not bijective. (Contributed by AV, 30-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nf1oconst	⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem nf1oconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nf1const 7169	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶)
2	1	orcd 869	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
3		ianor 978	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐶) ↔ (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
4		df-f1o 6437	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
5	3, 4	xchnxbir 332	. 2 ⊢ (¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
6	2, 5	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  {csn 4566  ⟶wf 6426  –1-1→wf1 6427  –onto→wfo 6428  –1-1-onto→wf1o 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-f1o 6437  df-fv 6438

This theorem is referenced by:  symgpssefmnd  18984