Theorem nf1oconst 7326

Description: A constant function from at least two elements is not bijective. (Contributed by AV, 30-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nf1oconst	⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem nf1oconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nf1const 7325	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶)
2	1	orcd 873	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
3		ianor 983	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐶) ↔ (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
4		df-f1o 6567	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
5	3, 4	xchnxbir 333	. 2 ⊢ (¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
6	2, 5	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {csn 4625  ⟶wf 6556  –1-1→wf1 6557  –onto→wfo 6558  –1-1-onto→wf1o 6559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-f1o 6567  df-fv 6568

This theorem is referenced by:  symgpssefmnd  19414