Theorem nf1oconst 7305

Description: A constant function from at least two elements is not bijective. (Contributed by AV, 30-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nf1oconst	⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem nf1oconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nf1const 7304	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶)
2	1	orcd 886	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
3		ianor 997	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐶) ↔ (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
4		df-f1o 6545	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
5	3, 4	xchnxbir 336	. 2 ⊢ (¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 ↔ (¬ 𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ∨ ¬ 𝐹:𝐴–onto→𝐶))
6	2, 5	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ¬ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {csn 4590  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  symgpssefmnd  19467