Theorem symgpssefmnd 19408

Description: For a set 𝐴 with more than one element, the symmetric group on 𝐴 is a proper subset of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgpssefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgpssefmnd.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgpssefmnd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))

Proof of Theorem symgpssefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgt12el 14421	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦)
2		symgpssefmnd.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
3		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	symgbasmap 19389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
5		symgpssefmnd.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	efmndbas 18877	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (𝐴 ↑m 𝐴)
8	4, 7	eleqtrrdi 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
9	8	ssriv 3931	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑀))
11		fconst6g 6738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
12	11	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
13	12	3ad2ant2 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
14	5, 6	elefmndbas 18879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴))
15	14	3ad2ant1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴))
16	13, 15	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀))
17		fconstg 6736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
18	17	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
19	18	3ad2ant2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
20		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
21	20	3expa 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
22	21	3adant1 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
23		nf1oconst 7274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥} ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
25	2, 3	elsymgbas 19386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
26	25	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
27	26	3ad2ant1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
28	24, 27	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺))
29	10, 16, 28	ssnelpssd 4060	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))
30	29	3exp 1128	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))))
31	30	rexlimdvv 3208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀)))
32	31	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀)))
33	1, 32	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3895   ⊊ wpss 3896  {csn 4572   class class class wbr 5090   × cxp 5634  ⟶wf 6502  –1-1-onto→wf1o 6505  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ↑_m cmap 8792  1c1 11060   < clt 11202  ♯chash 14329  Basecbs 17217  EndoFMndcefmnd 18874  SymGrpcsymg 19381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-hash 14330  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-tset 17277  df-efmnd 18875  df-symg 19382

This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19409