MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgpssefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgpssefmnd 19334
Description: For a set 𝐴 with more than one element, the symmetric group on 𝐴 is a proper subset of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgpssefmnd.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
symgpssefmnd.g 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
symgpssefmnd ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π΄)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘€))

Proof of Theorem symgpssefmnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgt12el 14399 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  𝑦)
2 symgpssefmnd.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
3 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
42, 3symgbasmap 19315 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
5 symgpssefmnd.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
6 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
75, 6efmndbas 18808 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) = (𝐴 ↑m 𝐴)
84, 7eleqtrrdi 2839 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
98ssriv 3982 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
11 fconst6g 6780 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢𝐴)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢𝐴)
13123ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢𝐴)
145, 6elefmndbas 18810 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐴 Γ— {π‘₯}) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢𝐴))
15143ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((𝐴 Γ— {π‘₯}) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢𝐴))
1613, 15mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (𝐴 Γ— {π‘₯}) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
17 fconstg 6778 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢{π‘₯})
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢{π‘₯})
19183ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢{π‘₯})
20 id 22 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
21203expa 1116 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
22213adant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
23 nf1oconst 7308 . . . . . . . 8 (((𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴⟢{π‘₯} ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Β¬ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
2419, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ Β¬ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
252, 3elsymgbas 19312 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐴 Γ— {π‘₯}) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
2625notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Β¬ (𝐴 Γ— {π‘₯}) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ Β¬ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
27263ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (Β¬ (𝐴 Γ— {π‘₯}) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ Β¬ (𝐴 Γ— {π‘₯}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
2824, 27mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ Β¬ (𝐴 Γ— {π‘₯}) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2910, 16, 28ssnelpssd 4108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (Baseβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘€))
30293exp 1117 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ (Baseβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘€))))
3130rexlimdvv 3205 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  𝑦 β†’ (Baseβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘€)))
3231adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π΄)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  𝑦 β†’ (Baseβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘€)))
331, 32mpd 15 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π΄)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) ⊊ (Baseβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944   ⊊ wpss 3945  {csn 4624   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  1c1 11125   < clt 11264  β™―chash 14307  Basecbs 17165  EndoFMndcefmnd 18805  SymGrpcsymg 19305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-efmnd 18806  df-symg 19306
This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19335  symgvalstructOLD  19336
  Copyright terms: Public domain W3C validator