Theorem symgpssefmnd 19349

Description: For a set 𝐴 with more than one element, the symmetric group on 𝐴 is a proper subset of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgpssefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgpssefmnd.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgpssefmnd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))

Proof of Theorem symgpssefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgt12el 14408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦)
2		symgpssefmnd.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
3		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	symgbasmap 19330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
5		symgpssefmnd.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	efmndbas 18822	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (𝐴 ↑m 𝐴)
8	4, 7	eleqtrrdi 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
9	8	ssriv 3977	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑀))
11		fconst6g 6780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
12	11	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
13	12	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
14	5, 6	elefmndbas 18824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴))
15	14	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴))
16	13, 15	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀))
17		fconstg 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
18	17	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
19	18	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
20		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
21	20	3expa 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
22	21	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
23		nf1oconst 7307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥} ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
25	2, 3	elsymgbas 19327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
26	25	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
27	26	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
28	24, 27	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺))
29	10, 16, 28	ssnelpssd 4105	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))
30	29	3exp 1116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))))
31	30	rexlimdvv 3201	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀)))
32	31	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀)))
33	1, 32	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3941   ⊊ wpss 3942  {csn 4625   class class class wbr 5144   × cxp 5671  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8838  1c1 11134   < clt 11273  ♯chash 14316  Basecbs 17174  EndoFMndcefmnd 18819  SymGrpcsymg 19320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18820  df-symg 19321

This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19350  symgvalstructOLD  19351