Theorem symgpssefmnd 19510

Description: For a set 𝐴 with more than one element, the symmetric group on 𝐴 is a proper subset of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgpssefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgpssefmnd.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgpssefmnd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))

Proof of Theorem symgpssefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgt12el 14477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦)
2		symgpssefmnd.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
3		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	symgbasmap 19491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
5		symgpssefmnd.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	efmndbas 18967	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (𝐴 ↑m 𝐴)
8	4, 7	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
9	8	ssriv 3942	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑀))
11		fconst6g 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
14	5, 6	elefmndbas 18969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴))
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴))
16	13, 15	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀))
17		fconstg 6769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
18	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
19	18	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
20		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
21	20	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
22	21	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
23		nf1oconst 7312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥} ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
25	2, 3	elsymgbas 19488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
26	25	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
28	24, 27	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺))
29	10, 16, 28	ssnelpssd 4071	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))
30	29	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))))
31	30	rexlimdvv 3223	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀)))
32	31	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀)))
33	1, 32	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  1c1 11116   < clt 11258  ♯chash 14384  Basecbs 17291  EndoFMndcefmnd 18964  SymGrpcsymg 19483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-tset 17351  df-efmnd 18965  df-symg 19484

This theorem is used by:  symgvalstruct  19511