Theorem symgpssefmnd 19362

Description: For a set 𝐴 with more than one element, the symmetric group on 𝐴 is a proper subset of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgpssefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgpssefmnd.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgpssefmnd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))

Proof of Theorem symgpssefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgt12el 14417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦)
2		symgpssefmnd.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
3		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	symgbasmap 19343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
5		symgpssefmnd.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	efmndbas 18831	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (𝐴 ↑m 𝐴)
8	4, 7	eleqtrrdi 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
9	8	ssriv 3980	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑀))
11		fconst6g 6786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
12	11	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
13	12	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴)
14	5, 6	elefmndbas 18833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴))
15	14	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶𝐴))
16	13, 15	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝑀))
17		fconstg 6784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
18	17	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
19	18	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥})
20		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
21	20	3expa 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
22	21	3adant1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
23		nf1oconst 7313	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 × {𝑥}):𝐴⟶{𝑥} ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
24	19, 22, 23	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴)
25	2, 3	elsymgbas 19340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
26	25	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
27	26	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ¬ (𝐴 × {𝑥}):𝐴–1-1-onto→𝐴))
28	24, 27	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ (𝐴 × {𝑥}) ∈ (Base‘𝐺))
29	10, 16, 28	ssnelpssd 4108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))
30	29	3exp 1116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))))
31	30	rexlimdvv 3200	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀)))
32	31	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀)))
33	1, 32	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝐴)) → (Base‘𝐺) ⊊ (Base‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944   ⊊ wpss 3945  {csn 4630   class class class wbr 5149   × cxp 5676  ⟶wf 6545  –1-1-onto→wf1o 6548  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845  1c1 11141   < clt 11280  ♯chash 14325  Basecbs 17183  EndoFMndcefmnd 18828  SymGrpcsymg 19333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-tset 17255  df-efmnd 18829  df-symg 19334

This theorem is referenced by:  symgvalstruct  19363  symgvalstructOLD  19364