Theorem ngpxms 24557

Description: A normed group is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpxms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ngpxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24556	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		msxms 24410	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∞MetSpcxms 24273  MetSpcms 24274  NrmGrpcngp 24533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-co 5641  df-res 5644  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ms 24277  df-ngp 24539

This theorem is referenced by:  ngpdsr  24561  ngpds2r  24563  ngpds3  24564  ngpds3r  24565  nmge0  24573  nmeq0  24574  minveclem4a  25398  minveclem4  25400  qqhcn  34169  qqhucn  34170  rrhcn  34175  rrhf  34176  rrexttps  34184  rrexthaus  34185