Theorem ngpxms 24827

Description: A normed group is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpxms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ngpxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24826	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		msxms 24680	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∞MetSpcxms 24543  MetSpcms 24544  NrmGrpcngp 24803

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-co 5664  df-res 5667  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ms 24547  df-ngp 24809

This theorem is used by:  ngpdsr  24831  ngpds2r  24833  ngpds3  24834  ngpds3r  24835  nmge0  24843  nmeq0  24844  minveclem4a  25658  minveclem4  25660  qqhcn  34501  qqhucn  34502  rrhcn  34507  rrhf  34508  rrexttps  34516  rrexthaus  34517