Theorem ngpxms 24927

Description: A normed group is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpxms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ngpxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24926	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		msxms 24780	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ∞MetSpcxms 24643  MetSpcms 24644  NrmGrpcngp 24903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-co 5659  df-res 5662  df-iota 6496  df-fv 6549  df-ms 24647  df-ngp 24909

This theorem is used by:  ngpdsr  24931  ngpds2r  24933  ngpds3  24934  ngpds3r  24935  nmge0  24943  nmeq0  24944  minveclem4a  25758  minveclem4  25760  qqhcn  34671  qqhucn  34672  rrhcn  34677  rrhf  34678  rrexttps  34686  rrexthaus  34687