Theorem ngpxms 23863

Description: A normed group is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpxms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ngpxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 23862	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		msxms 23713	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ∞MetSpcxms 23576  MetSpcms 23577  NrmGrpcngp 23839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5626  df-co 5629  df-res 5632  df-iota 6431  df-fv 6487  df-ms 23580  df-ngp 23845

This theorem is referenced by:  ngpdsr  23867  ngpds2r  23869  ngpds3  23870  ngpds3r  23871  nmge0  23879  nmeq0  23880  minveclem4a  24700  minveclem4  24702  qqhcn  32239  qqhucn  32240  rrhcn  32245  rrhf  32246  rrexttps  32254  rrexthaus  32255