Theorem ngpxms 23204

Description: A normed group is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpxms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ngpxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 23203	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		msxms 23058	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ∞MetSpcxms 22921  MetSpcms 22922  NrmGrpcngp 23181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-co 5558  df-res 5561  df-iota 6308  df-fv 6357  df-ms 22925  df-ngp 23187

This theorem is referenced by:  ngpdsr  23208  ngpds2r  23210  ngpds3  23211  ngpds3r  23212  nmge0  23220  nmeq0  23221  minveclem4a  24027  minveclem4  24029  qqhcn  31227  qqhucn  31228  rrhcn  31233  rrhf  31234  rrexttps  31242  rrexthaus  31243