Theorem ngpxms 24913

Description: A normed group is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpxms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ngpxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24912	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		msxms 24766	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∞MetSpcxms 24629  MetSpcms 24630  NrmGrpcngp 24889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-co 5660  df-res 5663  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ms 24633  df-ngp 24895

This theorem is used by:  ngpdsr  24917  ngpds2r  24919  ngpds3  24920  ngpds3r  24921  nmge0  24929  nmeq0  24930  minveclem4a  25744  minveclem4  25746  qqhcn  34616  qqhucn  34617  rrhcn  34622  rrhf  34623  rrexttps  34631  rrexthaus  34632