Theorem ngpxms 24789

Description: A normed group is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpxms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ngpxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24788	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		msxms 24642	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∞MetSpcxms 24505  MetSpcms 24506  NrmGrpcngp 24765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-co 5672  df-res 5675  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ms 24509  df-ngp 24771

This theorem is used by:  ngpdsr  24793  ngpds2r  24795  ngpds3  24796  ngpds3r  24797  nmge0  24805  nmeq0  24806  minveclem4a  25620  minveclem4  25622  qqhcn  34421  qqhucn  34422  rrhcn  34427  rrhf  34428  rrexttps  34436  rrexthaus  34437