Theorem ngpxms 24566

Description: A normed group is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpxms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ngpxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24565	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		msxms 24419	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∞MetSpcxms 24282  MetSpcms 24283  NrmGrpcngp 24542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-co 5640  df-res 5643  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ms 24286  df-ngp 24548

This theorem is referenced by:  ngpdsr  24570  ngpds2r  24572  ngpds3  24573  ngpds3r  24574  nmge0  24582  nmeq0  24583  minveclem4a  25397  minveclem4  25399  qqhcn  34135  qqhucn  34136  rrhcn  34141  rrhf  34142  rrexttps  34150  rrexthaus  34151