MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpdsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpdsr 23202
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds.m = (-g𝐺)
ngpds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpdsr ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))

Proof of Theorem ngpdsr
StepHypRef Expression
1 ngpxms 23198 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
2 ngpds.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ngpds.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
42, 3xmssym 23063 . . 3 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
51, 4syl3an1 1160 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
6 ngpds.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
7 ngpds.m . . . 4 = (-g𝐺)
86, 2, 7, 3ngpds 23201 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
983com23 1123 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
105, 9eqtrd 2859 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐵 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  distcds 16565  -gcsg 18096  ∞MetSpcxms 22915  normcnm 23174  NrmGrpcngp 23175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-0g 16706  df-topgen 16708  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-psmet 20525  df-xmet 20526  df-met 20527  df-bl 20528  df-mopn 20529  df-top 21490  df-topon 21507  df-topsp 21529  df-bases 21542  df-xms 22918  df-ms 22919  df-nm 23180  df-ngp 23181
This theorem is referenced by:  ngpinvds  23210  nminv  23218  nlmvscnlem2  23282  nrginvrcnlem  23288  ngpocelbl  23301  ipcnlem2  23839  minveclem2  24021  qqhcn  31252  qqhucn  31253
  Copyright terms: Public domain W3C validator