MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpdsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpdsr 24507
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
ngpds.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
ngpds.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
ngpds.d 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ngpdsr ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))

Proof of Theorem ngpdsr
StepHypRef Expression
1 ngpxms 24503 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
2 ngpds.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
3 ngpds.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
42, 3xmssym 24364 . . 3 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
51, 4syl3an1 1161 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
6 ngpds.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
7 ngpds.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
86, 2, 7, 3ngpds 24506 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (π‘β€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
983com23 1124 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (π‘β€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
105, 9eqtrd 2768 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  distcds 17235  -gcsg 18885  βˆžMetSpcxms 24216  normcnm 24478  NrmGrpcngp 24479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-0g 17416  df-topgen 17418  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-xms 24219  df-ms 24220  df-nm 24484  df-ngp 24485
This theorem is referenced by:  ngpinvds  24515  nminv  24523  nlmvscnlem2  24595  nrginvrcnlem  24601  ngpocelbl  24614  ipcnlem2  25165  minveclem2  25347  qqhcn  33586  qqhucn  33587
  Copyright terms: Public domain W3C validator