Theorem nmge0 24527

Description: The norm of a normed group is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmge0	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nmge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24509	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nmf.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 18873	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
7		ngpxms 24511	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9	2, 8	xmsge0 24373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
10	7, 9	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
11	6, 10	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
12		nmf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
13	12, 2, 3, 8	nmval 24499	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
15	11, 14	breqtrrd 5114	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001   ≤ cle 11142  Basecbs 17115  distcds 17165  0_gc0g 17338  Grpcgrp 18841  ∞MetSpcxms 24227  normcnm 24486  NrmGrpcngp 24487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-0g 17340  df-topgen 17342  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-xms 24230  df-ms 24231  df-nm 24492  df-ngp 24493

This theorem is referenced by:  nmrpcl  24530  nmgt0  24540  nlmvscnlem2  24595  nlmvscnlem1  24596  nmoeq0  24646  nmoleub2lem3  25037  ipcnlem2  25166  ipcnlem1  25167  minveclem1  25346  minveclem6  25356  pjthlem1  25359