Theorem nmge0 24805

Description: The norm of a normed group is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmge0	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nmge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24787	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nmf.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 19056	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
5	1, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
7		ngpxms 24789	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9	2, 8	xmsge0 24651	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
10	7, 9	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
11	6, 10	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
12		nmf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
13	12, 2, 3, 8	nmval 24777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
14	13	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
15	11, 14	breqtrrd 5141	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111   ≤ cle 11255  Basecbs 17287  distcds 17337  0_gc0g 17510  Grpcgrp 19024  ∞MetSpcxms 24505  normcnm 24764  NrmGrpcngp 24765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-0g 17512  df-topgen 17514  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-xms 24508  df-ms 24509  df-nm 24770  df-ngp 24771

This theorem is used by:  nmrpcl  24808  nmgt0  24818  nlmvscnlem2  24873  nlmvscnlem1  24874  nmoeq0  24924  nmoleub2lem3  25305  ipcnlem2  25434  ipcnlem1  25435  minveclem1  25614  minveclem6  25624  pjthlem1  25627