MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmge0 23153
Description: The norm of a normed group is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmge0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))

Proof of Theorem nmge0
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 23135 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 nmf.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2818 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
42, 3grpidcl 18069 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
65adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
7 ngpxms 23137 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 eqid 2818 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
92, 8xmsge0 23000 . . . 4 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
107, 9syl3an1 1155 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
116, 10mpd3an3 1453 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
12 nmf.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
1312, 2, 3, 8nmval 23126 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
1413adantl 482 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
1511, 14breqtrrd 5085 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  cle 10664  Basecbs 16471  distcds 16562  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  ∞MetSpcxms 22854  normcnm 23113  NrmGrpcngp 23114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-0g 16703  df-topgen 16705  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120
This theorem is referenced by:  nmrpcl  23156  nmgt0  23166  nlmvscnlem2  23221  nlmvscnlem1  23222  nmoeq0  23272  nmoleub2lem3  23646  ipcnlem2  23774  ipcnlem1  23775  minveclem1  23954  minveclem6  23964  pjthlem1  23967
  Copyright terms: Public domain W3C validator