Theorem nmge0 22792

Description: The norm of a normed group is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmge0	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nmge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 22774	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		nmf.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 17805	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
6	5	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
7		ngpxms 22776	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
9	2, 8	xmsge0 22639	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
10	7, 9	syl3an1 1208	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
11	6, 10	mpd3an3 1592	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
12		nmf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
13	12, 2, 3, 8	nmval 22765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
14	13	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
15	11, 14	breqtrrd 4902	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253   ≤ cle 10393  Basecbs 16223  distcds 16315  0_gc0g 16454  Grpcgrp 17777  ∞MetSpcxms 22493  normcnm 22752  NrmGrpcngp 22753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-0g 16456  df-topgen 16458  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-xms 22496  df-ms 22497  df-nm 22758  df-ngp 22759

This theorem is referenced by:  nmrpcl  22795  nmgt0  22805  nlmvscnlem2  22860  nlmvscnlem1  22861  nmoeq0  22911  nmoleub2lem3  23285  ipcnlem2  23413  ipcnlem1  23414  minveclem1  23593  minveclem6  23603  pjthlem1  23606