MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minveclem4a 24939
Description: Lemma for minvec 24945. 𝐹 converges to a point 𝑃 in π‘Œ. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
minvec.p 𝑃 = βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4a (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,π‘Ÿ,𝐴   𝐽,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   πœ‘,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝐷,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘Ÿ)   𝑅(π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   βˆ’ (π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)
Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2 𝑃 = βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
2 ovex 7439 . . . . 5 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
32uniex 7728 . . . 4 βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
43snid 4664 . . 3 βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
6 cphngp 24682 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
7 ngpxms 24102 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ ∞MetSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ∞MetSp)
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
129, 10, 11xmstopn 23949 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·))
1413oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = ((MetOpenβ€˜π·) β†Ύt π‘Œ))
1510, 11xmsxmet 23954 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
168, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
1910, 18lssss 20540 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
2421, 22, 23metrest 24025 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ((MetOpenβ€˜π·) β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2516, 20, 24syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜π·) β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2614, 25eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 24937 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
35 fgcl 23374 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
3710fvexi 6903 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
39 trfg 23387 . . . . . . . . . 10 (((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) β†Ύt π‘Œ) = (π‘ŒfilGen𝐹))
4036, 20, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) β†Ύt π‘Œ) = (π‘ŒfilGen𝐹))
41 fgabs 23375 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4234, 20, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4342oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) β†Ύt π‘Œ) = ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ))
4440, 43eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) = ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ))
4526, 44oveq12d 7424 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (π‘ŒfilGen𝐹)) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ)))
46 xmstps 23951 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ π‘ˆ ∈ TopSp)
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ TopSp)
4810, 9istps 22428 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4947, 48sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
50 fbsspw 23328 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
5134, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
5220sspwd 4615 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝒫 π‘Œ βŠ† 𝒫 𝑋)
5351, 52sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
54 fbasweak 23361 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
5534, 53, 38, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
56 fgcl 23374 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
58 filfbas 23344 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
5934, 35, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
60 fbsspw 23328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
6261, 52sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† 𝒫 𝑋)
63 fbasweak 23361 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
6459, 62, 38, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
65 ssfg 23368 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† (𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† (𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)))
6766, 42sseqtrd 4022 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† (𝑋filGen𝐹))
68 filtop 23351 . . . . . . . . . 10 ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐹))
6936, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐹))
7067, 69sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝐹))
71 flimrest 23479 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝐹)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
7249, 57, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
7345, 72eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (π‘ŒfilGen𝐹)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
7410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 24936 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
7510, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 24938 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
7623cmetcvg 24794 . . . . . . 7 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (π‘ŒfilGen𝐹)) β‰  βˆ…)
7774, 75, 76syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (π‘ŒfilGen𝐹)) β‰  βˆ…)
7873, 77eqnetrrd 3010 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) β‰  βˆ…)
7978neneqd 2946 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = βˆ…)
80 inss1 4228 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
8122methaus 24021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π·) ∈ Haus)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ (MetOpenβ€˜π·) ∈ Haus)
8312, 82eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ 𝐽 ∈ Haus)
84 hausflimi 23476 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Haus β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
858, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
86 ssn0 4400 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∧ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) β‰  βˆ…) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰  βˆ…)
8780, 78, 86sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰  βˆ…)
88 n0moeu 4356 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰  βˆ… β†’ (βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9085, 89mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
91 euen1b 9024 . . . . . . . . 9 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰ˆ 1o ↔ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
9290, 91sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰ˆ 1o)
93 en1b 9020 . . . . . . . 8 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰ˆ 1o ↔ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9492, 93sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9580, 94sseqtrid 4034 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) βŠ† {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
96 sssn 4829 . . . . . 6 (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) βŠ† {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))} ↔ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = βˆ… ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9795, 96sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = βˆ… ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9897ord 863 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = βˆ… β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9979, 98mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
1004, 99eleqtrrid 2841 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
1011, 100eqeltrid 2838 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2533  βˆƒ!weu 2563   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  1oc1o 8456   β‰ˆ cen 8933  infcinf 9433  β„cr 11106   + caddc 11110   < clt 11245   ≀ cle 11246  2c2 12264  β„+crp 12971  β†‘cexp 14024  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  distcds 17203   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  -gcsg 18818  LSubSpclss 20535  βˆžMetcxmet 20922  fBascfbas 20925  filGencfg 20926  MetOpencmopn 20927  TopOnctopon 22404  TopSpctps 22426  Hauscha 22804  Filcfil 23341   fLim cflim 23430  βˆžMetSpcxms 23815  normcnm 24077  NrmGrpcngp 24078  β„‚PreHilccph 24675  CauFilccfil 24761  CMetccmet 24763  CMetSpccms 24841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-0g 17384  df-topgen 17386  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-rnghom 20244  df-drng 20310  df-subrg 20354  df-staf 20446  df-srng 20447  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lmhm 20626  df-lvec 20707  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-phl 21171  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-ntr 22516  df-nei 22594  df-haus 22811  df-fil 23342  df-flim 23435  df-xms 23818  df-ms 23819  df-nm 24083  df-ngp 24084  df-nlm 24087  df-clm 24571  df-cph 24677  df-cfil 24764  df-cmet 24766  df-cms 24844
This theorem is referenced by:  minveclem4b  24940  minveclem4  24941
  Copyright terms: Public domain W3C validator