MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4a 24038
Description: Lemma for minvec 24044. 𝐹 converges to a point 𝑃 in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4a (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
2 ovex 7172 . . . . 5 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
32uniex 7451 . . . 4 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
43snid 4564 . . 3 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 cphngp 23782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
7 ngpxms 23211 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ∞MetSp)
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝑈)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
129, 10, 11xmstopn 23062 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
1413oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) = ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌))
1510, 11xmsxmet 23067 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
168, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1910, 18lssss 19705 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑋)
21 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
22 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
23 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
2421, 22, 23metrest 23135 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2516, 20, 24syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2614, 25eqtr2d 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽t 𝑌))
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12 = (-g𝑈)
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (norm‘𝑈)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 24036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
35 fgcl 22487 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3710fvexi 6663 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
39 trfg 22500 . . . . . . . . . 10 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋𝑋 ∈ V) → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
4036, 20, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
41 fgabs 22488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4234, 20, 41syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4342oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4440, 43eqtr3d 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4526, 44oveq12d 7157 . . . . . . 7 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)))
46 xmstps 23064 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝑈 ∈ TopSp)
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ TopSp)
4810, 9istps 21543 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4947, 48sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
50 fbsspw 22441 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5134, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5220sspwd 4515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5351, 52sstrd 3928 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
54 fbasweak 22474 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5534, 53, 38, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
56 fgcl 22487 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
58 filfbas 22457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
5934, 35, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
60 fbsspw 22441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6261, 52sstrd 3928 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋)
63 fbasweak 22474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
6459, 62, 38, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
65 ssfg 22481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6766, 42sseqtrd 3958 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen𝐹))
68 filtop 22464 . . . . . . . . . 10 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
6936, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
7067, 69sseldd 3919 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹))
71 flimrest 22592 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7249, 57, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7345, 72eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 24035 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
7510, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 24037 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
7623cmetcvg 23893 . . . . . . 7 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
7774, 75, 76syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
7873, 77eqnetrrd 3058 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅)
7978neneqd 2995 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅)
80 inss1 4158 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
8122methaus 23131 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ∞MetSp → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8312, 82eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 ∈ Haus)
84 hausflimi 22589 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
858, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
86 ssn0 4311 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∧ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
8780, 78, 86sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
88 n0moeu 4273 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅ → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9085, 89mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
91 euen1b 8567 . . . . . . . . 9 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
9290, 91sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o)
93 en1b 8564 . . . . . . . 8 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o ↔ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9492, 93sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9580, 94sseqtrid 3970 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
96 sssn 4722 . . . . . 6 (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))} ↔ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9795, 96sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9897ord 861 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9979, 98mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
1004, 99eleqtrrid 2900 . 2 (𝜑 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1011, 100eqeltrid 2897 1 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  ∃*wmo 2599  ∃!weu 2631  wne 2990  {crab 3113  Vcvv 3444  cin 3883  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500  {csn 4528   cuni 4803   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521  ran crn 5524  cres 5525  cfv 6328  (class class class)co 7139  1oc1o 8082  cen 8493  infcinf 8893  cr 10529   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669  2c2 11684  +crp 12381  cexp 13429  Basecbs 16479  s cress 16480  distcds 16570  t crest 16690  TopOpenctopn 16691  -gcsg 18101  LSubSpclss 19700  ∞Metcxmet 20080  fBascfbas 20083  filGencfg 20084  MetOpencmopn 20085  TopOnctopon 21519  TopSpctps 21541  Hauscha 21917  Filcfil 22454   fLim cflim 22543  ∞MetSpcxms 22928  normcnm 23187  NrmGrpcngp 23188  ℂPreHilccph 23775  CauFilccfil 23860  CMetccmet 23862  CMetSpccms 23940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-rest 16692  df-0g 16711  df-topgen 16713  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-subrg 19530  df-staf 19613  df-srng 19614  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lmhm 19791  df-lvec 19872  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-phl 20319  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-ntr 21629  df-nei 21707  df-haus 21924  df-fil 22455  df-flim 22548  df-xms 22931  df-ms 22932  df-nm 23193  df-ngp 23194  df-nlm 23197  df-clm 23672  df-cph 23777  df-cfil 23863  df-cmet 23865  df-cms 23943
This theorem is referenced by:  minveclem4b  24039  minveclem4  24040
  Copyright terms: Public domain W3C validator