MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4a 25477
Description: Lemma for minvec 25483. 𝐹 converges to a point 𝑃 in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4a (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
2 ovex 7463 . . . . 5 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
32uniex 7759 . . . 4 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
43snid 4666 . . 3 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 cphngp 25220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
7 ngpxms 24629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ∞MetSp)
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝑈)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
129, 10, 11xmstopn 24476 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
1413oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) = ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌))
1510, 11xmsxmet 24481 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
168, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1910, 18lssss 20951 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑋)
21 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
22 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
23 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
2421, 22, 23metrest 24552 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2516, 20, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2614, 25eqtr2d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽t 𝑌))
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12 = (-g𝑈)
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (norm‘𝑈)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 25475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
35 fgcl 23901 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3710fvexi 6920 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
39 trfg 23914 . . . . . . . . . 10 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋𝑋 ∈ V) → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
4036, 20, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
41 fgabs 23902 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4234, 20, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4342oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4440, 43eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4526, 44oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)))
46 xmstps 24478 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝑈 ∈ TopSp)
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ TopSp)
4810, 9istps 22955 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4947, 48sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
50 fbsspw 23855 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5134, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5220sspwd 4617 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5351, 52sstrd 4005 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
54 fbasweak 23888 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5534, 53, 38, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
56 fgcl 23901 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
58 filfbas 23871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
5934, 35, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
60 fbsspw 23855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6261, 52sstrd 4005 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋)
63 fbasweak 23888 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
6459, 62, 38, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
65 ssfg 23895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6766, 42sseqtrd 4035 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen𝐹))
68 filtop 23878 . . . . . . . . . 10 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
6936, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
7067, 69sseldd 3995 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹))
71 flimrest 24006 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7249, 57, 70, 71syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7345, 72eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 25474 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
7510, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 25476 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
7623cmetcvg 25332 . . . . . . 7 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
7774, 75, 76syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
7873, 77eqnetrrd 3006 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅)
7978neneqd 2942 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅)
80 inss1 4244 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
8122methaus 24548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ∞MetSp → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8312, 82eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 ∈ Haus)
84 hausflimi 24003 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
858, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
86 ssn0 4409 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∧ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
8780, 78, 86sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
88 n0moeu 4364 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅ → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9085, 89mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
91 euen1b 9066 . . . . . . . . 9 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
9290, 91sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o)
93 en1b 9063 . . . . . . . 8 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o ↔ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9492, 93sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9580, 94sseqtrid 4047 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
96 sssn 4830 . . . . . 6 (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))} ↔ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9795, 96sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9897ord 864 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9979, 98mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
1004, 99eleqtrrid 2845 . 2 (𝜑 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1011, 100eqeltrid 2842 1 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  ∃*wmo 2535  ∃!weu 2565  wne 2937  {crab 3432  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4911   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  ran crn 5689  cres 5690  cfv 6562  (class class class)co 7430  1oc1o 8497  cen 8980  infcinf 9478  cr 11151   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  2c2 12318  +crp 13031  cexp 14098  Basecbs 17244  s cress 17273  distcds 17306  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  -gcsg 18965  LSubSpclss 20946  ∞Metcxmet 21366  fBascfbas 21369  filGencfg 21370  MetOpencmopn 21371  TopOnctopon 22931  TopSpctps 22953  Hauscha 23331  Filcfil 23868   fLim cflim 23957  ∞MetSpcxms 24342  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605  ℂPreHilccph 25213  CauFilccfil 25299  CMetccmet 25301  CMetSpccms 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-staf 20856  df-srng 20857  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lmhm 21038  df-lvec 21119  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-phl 21661  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-ntr 23043  df-nei 23121  df-haus 23338  df-fil 23869  df-flim 23962  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nlm 24614  df-clm 25109  df-cph 25215  df-cfil 25302  df-cmet 25304  df-cms 25382
This theorem is referenced by:  minveclem4b  25478  minveclem4  25479
  Copyright terms: Public domain W3C validator