MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minveclem4a 25280
Description: Lemma for minvec 25286. 𝐹 converges to a point 𝑃 in π‘Œ. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
minvec.p 𝑃 = βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4a (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,π‘Ÿ,𝐴   𝐽,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   πœ‘,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝐷,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘Ÿ)   𝑅(π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   βˆ’ (π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)
Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2 𝑃 = βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
2 ovex 7434 . . . . 5 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
32uniex 7724 . . . 4 βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
43snid 4656 . . 3 βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
6 cphngp 25023 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
7 ngpxms 24432 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ ∞MetSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ∞MetSp)
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
129, 10, 11xmstopn 24279 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·))
1413oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = ((MetOpenβ€˜π·) β†Ύt π‘Œ))
1510, 11xmsxmet 24284 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
168, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
18 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
1910, 18lssss 20773 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
21 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
22 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
23 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
2421, 22, 23metrest 24355 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ((MetOpenβ€˜π·) β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2516, 20, 24syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜π·) β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
2614, 25eqtr2d 2765 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 25278 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
35 fgcl 23704 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
3710fvexi 6895 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
39 trfg 23717 . . . . . . . . . 10 (((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) β†Ύt π‘Œ) = (π‘ŒfilGen𝐹))
4036, 20, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) β†Ύt π‘Œ) = (π‘ŒfilGen𝐹))
41 fgabs 23705 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4234, 20, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4342oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)) β†Ύt π‘Œ) = ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ))
4440, 43eqtr3d 2766 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) = ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ))
4526, 44oveq12d 7419 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (π‘ŒfilGen𝐹)) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ)))
46 xmstps 24281 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ π‘ˆ ∈ TopSp)
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ TopSp)
4810, 9istps 22758 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4947, 48sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
50 fbsspw 23658 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
5134, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
5220sspwd 4607 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝒫 π‘Œ βŠ† 𝒫 𝑋)
5351, 52sstrd 3984 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
54 fbasweak 23691 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
5534, 53, 38, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
56 fgcl 23704 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
58 filfbas 23674 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
5934, 35, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
60 fbsspw 23658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
6261, 52sstrd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† 𝒫 𝑋)
63 fbasweak 23691 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
6459, 62, 38, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
65 ssfg 23698 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† (𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† (𝑋filGen(π‘ŒfilGen𝐹)))
6766, 42sseqtrd 4014 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) βŠ† (𝑋filGen𝐹))
68 filtop 23681 . . . . . . . . . 10 ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐹))
6936, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒfilGen𝐹))
7067, 69sseldd 3975 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝐹))
71 flimrest 23809 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋filGen𝐹)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
7249, 57, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) fLim ((𝑋filGen𝐹) β†Ύt π‘Œ)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
7345, 72eqtrd 2764 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (π‘ŒfilGen𝐹)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
7410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 25277 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
7510, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 25279 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
7623cmetcvg 25135 . . . . . . 7 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (π‘ŒfilGen𝐹)) β‰  βˆ…)
7774, 75, 76syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) fLim (π‘ŒfilGen𝐹)) β‰  βˆ…)
7873, 77eqnetrrd 3001 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) β‰  βˆ…)
7978neneqd 2937 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = βˆ…)
80 inss1 4220 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
8122methaus 24351 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π·) ∈ Haus)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ (MetOpenβ€˜π·) ∈ Haus)
8312, 82eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp β†’ 𝐽 ∈ Haus)
84 hausflimi 23806 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Haus β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
858, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
86 ssn0 4392 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∧ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) β‰  βˆ…) β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰  βˆ…)
8780, 78, 86sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰  βˆ…)
88 n0moeu 4348 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰  βˆ… β†’ (βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9085, 89mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
91 euen1b 9023 . . . . . . . . 9 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰ˆ 1o ↔ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
9290, 91sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰ˆ 1o)
93 en1b 9019 . . . . . . . 8 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) β‰ˆ 1o ↔ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9492, 93sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9580, 94sseqtrid 4026 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) βŠ† {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
96 sssn 4821 . . . . . 6 (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) βŠ† {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))} ↔ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = βˆ… ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9795, 96sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = βˆ… ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9897ord 861 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = βˆ… β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9979, 98mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ) = {βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
1004, 99eleqtrrid 2832 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
1011, 100eqeltrid 2829 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ*wmo 2524  βˆƒ!weu 2554   β‰  wne 2932  {crab 3424  Vcvv 3466   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {csn 4620  βˆͺ cuni 4899   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  1oc1o 8454   β‰ˆ cen 8932  infcinf 9432  β„cr 11105   + caddc 11109   < clt 11245   ≀ cle 11246  2c2 12264  β„+crp 12971  β†‘cexp 14024  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  distcds 17205   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  -gcsg 18855  LSubSpclss 20768  βˆžMetcxmet 21213  fBascfbas 21216  filGencfg 21217  MetOpencmopn 21218  TopOnctopon 22734  TopSpctps 22756  Hauscha 23134  Filcfil 23671   fLim cflim 23760  βˆžMetSpcxms 24145  normcnm 24407  NrmGrpcngp 24408  β„‚PreHilccph 25016  CauFilccfil 25102  CMetccmet 25104  CMetSpccms 25182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-staf 20678  df-srng 20679  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lmhm 20860  df-lvec 20941  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-phl 21487  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-ntr 22846  df-nei 22924  df-haus 23141  df-fil 23672  df-flim 23765  df-xms 24148  df-ms 24149  df-nm 24413  df-ngp 24414  df-nlm 24417  df-clm 24912  df-cph 25018  df-cfil 25105  df-cmet 25107  df-cms 25185
This theorem is referenced by:  minveclem4b  25281  minveclem4  25282
  Copyright terms: Public domain W3C validator