MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4a 24794
Description: Lemma for minvec 24800. 𝐹 converges to a point 𝑃 in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4a (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
2 ovex 7390 . . . . 5 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
32uniex 7678 . . . 4 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
43snid 4622 . . 3 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 cphngp 24537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
7 ngpxms 23957 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ∞MetSp)
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝑈)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
129, 10, 11xmstopn 23804 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
1413oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) = ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌))
1510, 11xmsxmet 23809 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
168, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1910, 18lssss 20397 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑋)
21 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
22 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
23 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
2421, 22, 23metrest 23880 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2516, 20, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2614, 25eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽t 𝑌))
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12 = (-g𝑈)
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (norm‘𝑈)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 24792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
35 fgcl 23229 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3710fvexi 6856 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
39 trfg 23242 . . . . . . . . . 10 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋𝑋 ∈ V) → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
4036, 20, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
41 fgabs 23230 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4234, 20, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4342oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4440, 43eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4526, 44oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)))
46 xmstps 23806 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝑈 ∈ TopSp)
478, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ TopSp)
4810, 9istps 22283 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4947, 48sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
50 fbsspw 23183 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5134, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5220sspwd 4573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5351, 52sstrd 3954 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
54 fbasweak 23216 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5534, 53, 38, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
56 fgcl 23229 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
58 filfbas 23199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
5934, 35, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
60 fbsspw 23183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6261, 52sstrd 3954 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋)
63 fbasweak 23216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
6459, 62, 38, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
65 ssfg 23223 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6766, 42sseqtrd 3984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen𝐹))
68 filtop 23206 . . . . . . . . . 10 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
6936, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
7067, 69sseldd 3945 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹))
71 flimrest 23334 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7249, 57, 70, 71syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7345, 72eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 24791 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
7510, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 24793 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
7623cmetcvg 24649 . . . . . . 7 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
7774, 75, 76syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
7873, 77eqnetrrd 3012 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅)
7978neneqd 2948 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅)
80 inss1 4188 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
8122methaus 23876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ∞MetSp → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8312, 82eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 ∈ Haus)
84 hausflimi 23331 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
858, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
86 ssn0 4360 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∧ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
8780, 78, 86sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
88 n0moeu 4316 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅ → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9085, 89mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
91 euen1b 8971 . . . . . . . . 9 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
9290, 91sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o)
93 en1b 8967 . . . . . . . 8 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1o ↔ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9492, 93sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9580, 94sseqtrid 3996 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
96 sssn 4786 . . . . . 6 (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))} ↔ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9795, 96sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9897ord 862 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9979, 98mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
1004, 99eleqtrrid 2845 . 2 (𝜑 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1011, 100eqeltrid 2842 1 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  ∃*wmo 2536  ∃!weu 2566  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  1oc1o 8405  cen 8880  infcinf 9377  cr 11050   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  2c2 12208  +crp 12915  cexp 13967  Basecbs 17083  s cress 17112  distcds 17142  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  -gcsg 18750  LSubSpclss 20392  ∞Metcxmet 20781  fBascfbas 20784  filGencfg 20785  MetOpencmopn 20786  TopOnctopon 22259  TopSpctps 22281  Hauscha 22659  Filcfil 23196   fLim cflim 23285  ∞MetSpcxms 23670  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  ℂPreHilccph 24530  CauFilccfil 24616  CMetccmet 24618  CMetSpccms 24696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-nei 22449  df-haus 22666  df-fil 23197  df-flim 23290  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nlm 23942  df-clm 24426  df-cph 24532  df-cfil 24619  df-cmet 24621  df-cms 24699
This theorem is referenced by:  minveclem4b  24795  minveclem4  24796
  Copyright terms: Public domain W3C validator