Theorem rrhf 34295

Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, Cauchy sequences have at most one limit, i.e. the canonical homomorphism of ℝ into 𝑅 is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrhf.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6	⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
rrhf	⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

Proof of Theorem rrhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrhf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3		rrhf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rrhf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
5		rrhf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
6		rrhf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
7		rrhf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
8		rrhf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
9		rrhf.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
10		rrhf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
11		rrhf.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	rrhcn 34294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾))
13		uniretop 24822	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
15	13, 14	cnf 23306	. . 3 ⊢ ((ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾) → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾)
16	12, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾)
17		nrgngp 24722	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
18		ngpxms 24661	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
19	7, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
20		xmstps 24513	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
21	3, 4	tpsuni 22996	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐾)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐾)
23	22	feq3d 6676	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵 ↔ (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾))
24	16, 23	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∪ cuni 4865   × cxp 5645  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  (,)cioo 13349  Basecbs 17245  distcds 17295  TopOpenctopn 17450  topGenctg 17466  DivRingcdr 20779  metUnifcmetu 21415  ℤModczlm 21552  chrcchr 21553  TopSpctps 22992   Cn ccn 23284  UnifStcuss 24313  CUnifSpccusp 24356  ∞MetSpcxms 24377  NrmGrpcngp 24637  NrmRingcnrg 24639  NrmModcnlm 24640  ℝHomcrrh 34290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-numer 16770  df-denom 16771  df-gz 16966  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-od 19568  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-rhm 20521  df-nzr 20563  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-abv 20858  df-lmod 20929  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-metu 21423  df-cnfld 21425  df-zring 21499  df-zrh 21555  df-zlm 21556  df-chr 21557  df-refld 21657  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-reg 23376  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-fcls 24001  df-cnext 24120  df-ust 24261  df-utop 24291  df-uss 24316  df-usp 24317  df-ucn 24335  df-cfilu 24346  df-cusp 24357  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-nm 24642  df-ngp 24643  df-nrg 24645  df-nlm 24646  df-cncf 24940  df-cfil 25317  df-cmet 25319  df-cms 25397  df-qqh 34268  df-rrh 34292

This theorem is referenced by:  rrhfe  34309  sitgclg  34639