Theorem rrhf 31927

Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, Cauchy sequences have at most one limit, i.e. the canonical homomorphism of ℝ into 𝑅 is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrhf.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6	⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
rrhf	⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

Proof of Theorem rrhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrhf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3		rrhf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rrhf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
5		rrhf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
6		rrhf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
7		rrhf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
8		rrhf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
9		rrhf.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
10		rrhf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
11		rrhf.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	rrhcn 31926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾))
13		uniretop 23907	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
15	13, 14	cnf 22378	. . 3 ⊢ ((ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾) → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾)
16	12, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾)
17		nrgngp 23807	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
18		ngpxms 23738	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
19	7, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
20		xmstps 23587	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
21	3, 4	tpsuni 22066	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐾)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐾)
23	22	feq3d 6583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵 ↔ (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾))
24	16, 23	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4844   × cxp 5586  ran crn 5589   ↾ cres 5590  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855  (,)cioo 13061  Basecbs 16893  distcds 16952  TopOpenctopn 17113  topGenctg 17129  DivRingcdr 19972  metUnifcmetu 20569  ℤModczlm 20683  chrcchr 20684  TopSpctps 22062   Cn ccn 22356  UnifStcuss 23386  CUnifSpccusp 23430  ∞MetSpcxms 23451  NrmGrpcngp 23714  NrmRingcnrg 23716  NrmModcnlm 23717  ℝHomcrrh 31922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-dvds 15945  df-gcd 16183  df-numer 16420  df-denom 16421  df-gz 16612  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-od 19117  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-dvr 19906  df-rnghom 19940  df-drng 19974  df-subrg 20003  df-abv 20058  df-lmod 20106  df-nzr 20510  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-metu 20577  df-cnfld 20579  df-zring 20652  df-zrh 20686  df-zlm 20687  df-chr 20688  df-refld 20791  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-haus 22447  df-reg 22448  df-cmp 22519  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-fcls 23073  df-cnext 23192  df-ust 23333  df-utop 23364  df-uss 23389  df-usp 23390  df-ucn 23409  df-cfilu 23420  df-cusp 23431  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-nm 23719  df-ngp 23720  df-nrg 23722  df-nlm 23723  df-cncf 24022  df-cfil 24400  df-cmet 24402  df-cms 24480  df-qqh 31902  df-rrh 31924

This theorem is referenced by:  rrhfe  31941  sitgclg  32288