Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrhf 31243
 Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, Cauchy sequences have at most one limit, i.e. the canonical homomorphism of ℝ into 𝑅 is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrhf.d 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5 (𝜑𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6 (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
Assertion
Ref Expression
rrhf (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

Proof of Theorem rrhf
StepHypRef Expression
1 rrhf.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
2 eqid 2820 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 rrhf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 rrhf.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
5 rrhf.z . . . 4 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
6 rrhf.1 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
7 rrhf.2 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
8 rrhf.3 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
9 rrhf.4 . . . 4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
10 rrhf.5 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CUnifSp)
11 rrhf.6 . . . 4 (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11rrhcn 31242 . . 3 (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾))
13 uniretop 23343 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
14 eqid 2820 . . . 4 𝐾 = 𝐾
1513, 14cnf 21826 . . 3 ((ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾) → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶ 𝐾)
1612, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶ 𝐾)
17 nrgngp 23243 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
18 ngpxms 23182 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
197, 17, 183syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ∞MetSp)
20 xmstps 23035 . . . 4 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
213, 4tpsuni 21516 . . . 4 (𝑅 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐾)
2219, 20, 213syl 18 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝐾)
2322feq3d 6473 . 2 (𝜑 → ((ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵 ↔ (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶ 𝐾))
2416, 23mpbird 259 1 (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4810   × cxp 5525  ran crn 5528   ↾ cres 5529  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129  ℝcr 10510  0cc0 10511  (,)cioo 12713  Basecbs 16458  distcds 16549  TopOpenctopn 16670  topGenctg 16686  DivRingcdr 19474  metUnifcmetu 20508  ℤModczlm 20620  chrcchr 20621  TopSpctps 21512   Cn ccn 21804  UnifStcuss 22834  CUnifSpccusp 22878  ∞MetSpcxms 22899  NrmGrpcngp 23159  NrmRingcnrg 23161  NrmModcnlm 23162  ℝHomcrrh 31238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589  ax-addf 10590  ax-mulf 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-supp 7805  df-tpos 7866  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-ixp 8436  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fsupp 8808  df-fi 8849  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-q 12324  df-rp 12365  df-xneg 12482  df-xadd 12483  df-xmul 12484  df-ioo 12717  df-ico 12719  df-icc 12720  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-fl 13142  df-mod 13218  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-dvds 15584  df-gcd 15818  df-numer 16049  df-denom 16050  df-gz 16240  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-starv 16555  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-ip 16558  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-unif 16563  df-hom 16564  df-cco 16565  df-rest 16671  df-topn 16672  df-0g 16690  df-gsum 16691  df-topgen 16692  df-pt 16693  df-prds 16696  df-xrs 16750  df-qtop 16755  df-imas 16756  df-xps 16758  df-mre 16832  df-mrc 16833  df-acs 16835  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-mhm 17931  df-submnd 17932  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-mulg 18200  df-subg 18251  df-ghm 18331  df-cntz 18422  df-od 18631  df-cmn 18883  df-abl 18884  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-cring 19275  df-oppr 19348  df-dvdsr 19366  df-unit 19367  df-invr 19397  df-dvr 19408  df-rnghom 19442  df-drng 19476  df-subrg 19505  df-abv 19560  df-lmod 19608  df-nzr 20003  df-psmet 20509  df-xmet 20510  df-met 20511  df-bl 20512  df-mopn 20513  df-fbas 20514  df-fg 20515  df-metu 20516  df-cnfld 20518  df-zring 20590  df-zrh 20623  df-zlm 20624  df-chr 20625  df-refld 20721  df-top 21474  df-topon 21491  df-topsp 21513  df-bases 21526  df-cld 21599  df-ntr 21600  df-cls 21601  df-nei 21678  df-cn 21807  df-cnp 21808  df-haus 21895  df-reg 21896  df-cmp 21967  df-tx 22142  df-hmeo 22335  df-fil 22426  df-fm 22518  df-flim 22519  df-flf 22520  df-fcls 22521  df-cnext 22640  df-ust 22781  df-utop 22812  df-uss 22837  df-usp 22838  df-ucn 22857  df-cfilu 22868  df-cusp 22879  df-xms 22902  df-ms 22903  df-tms 22904  df-nm 23164  df-ngp 23165  df-nrg 23167  df-nlm 23168  df-cncf 23458  df-cfil 23834  df-cmet 23836  df-cms 23914  df-qqh 31218  df-rrh 31240 This theorem is referenced by:  rrhfe  31257  sitgclg  31604
 Copyright terms: Public domain W3C validator