Theorem rrhf 33047

Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, Cauchy sequences have at most one limit, i.e. the canonical homomorphism of ℝ into 𝑅 is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrhf.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6	⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
rrhf	⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

Proof of Theorem rrhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrhf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3		rrhf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rrhf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
5		rrhf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
6		rrhf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
7		rrhf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
8		rrhf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
9		rrhf.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
10		rrhf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
11		rrhf.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	rrhcn 33046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾))
13		uniretop 24286	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
15	13, 14	cnf 22757	. . 3 ⊢ ((ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾) → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾)
16	12, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾)
17		nrgngp 24186	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
18		ngpxms 24117	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
19	7, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
20		xmstps 23966	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
21	3, 4	tpsuni 22445	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐾)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐾)
23	22	feq3d 6704	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵 ↔ (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾))
24	16, 23	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4908   × cxp 5674  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  (,)cioo 13326  Basecbs 17146  distcds 17208  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  DivRingcdr 20361  metUnifcmetu 20941  ℤModczlm 21056  chrcchr 21057  TopSpctps 22441   Cn ccn 22735  UnifStcuss 23765  CUnifSpccusp 23809  ∞MetSpcxms 23830  NrmGrpcngp 24093  NrmRingcnrg 24095  NrmModcnlm 24096  ℝHomcrrh 33042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-numer 16673  df-denom 16674  df-gz 16865  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-od 19398  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-nzr 20296  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-abv 20429  df-lmod 20477  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-metu 20949  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-zlm 21060  df-chr 21061  df-refld 21164  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-reg 22827  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-fcls 23452  df-cnext 23571  df-ust 23712  df-utop 23743  df-uss 23768  df-usp 23769  df-ucn 23788  df-cfilu 23799  df-cusp 23810  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nrg 24101  df-nlm 24102  df-cncf 24401  df-cfil 24779  df-cmet 24781  df-cms 24859  df-qqh 33022  df-rrh 33044

This theorem is referenced by:  rrhfe  33061  sitgclg  33410