Theorem rrhf 34454

Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, Cauchy sequences have at most one limit, i.e. the canonical homomorphism of ℝ into 𝑅 is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrhf.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6	⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
rrhf	⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

Proof of Theorem rrhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrhf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3		rrhf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rrhf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
5		rrhf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
6		rrhf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
7		rrhf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
8		rrhf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
9		rrhf.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
10		rrhf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
11		rrhf.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	rrhcn 34453	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾))
13		uniretop 24972	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
15	13, 14	cnf 23455	. . 3 ⊢ ((ℝHom‘𝑅) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn 𝐾) → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾)
16	12, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾)
17		nrgngp 24872	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
18		ngpxms 24811	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
19	7, 17, 18	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
20		xmstps 24663	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
21	3, 4	tpsuni 23145	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐾)
22	19, 20, 21	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐾)
23	22	feq3d 6694	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵 ↔ (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶∪ 𝐾))
24	16, 23	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅):ℝ⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874   × cxp 5661  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  (,)cioo 13390  Basecbs 17293  distcds 17343  TopOpenctopn 17498  topGenctg 17514  DivRingcdr 20879  metUnifcmetu 21565  ℤModczlm 21702  chrcchr 21703  TopSpctps 23141   Cn ccn 23433  UnifStcuss 24463  CUnifSpccusp 24506  ∞MetSpcxms 24527  NrmGrpcngp 24787  NrmRingcnrg 24789  NrmModcnlm 24790  ℝHomcrrh 34449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-numer 16818  df-denom 16819  df-gz 17014  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-od 19644  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-rhm 20602  df-nzr 20662  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-abv 20964  df-lmod 21035  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-metu 21573  df-cnfld 21575  df-zring 21649  df-zrh 21705  df-zlm 21706  df-chr 21707  df-refld 21807  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-reg 23525  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-fcls 24151  df-cnext 24270  df-ust 24411  df-utop 24441  df-uss 24466  df-usp 24467  df-ucn 24485  df-cfilu 24496  df-cusp 24507  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-nm 24792  df-ngp 24793  df-nrg 24795  df-nlm 24796  df-cncf 25090  df-cfil 25467  df-cmet 25469  df-cms 25547  df-qqh 34427  df-rrh 34451

This theorem is used by:  rrhfe  34468  sitgclg  34799