MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpds2r 22780
Description: Write the distance between two points in terms of distance from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds2.z 0 = (0g𝐺)
ngpds2.m = (-g𝐺)
ngpds2.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpds2r ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((𝐵 𝐴)𝐷 0 ))

Proof of Theorem ngpds2r
StepHypRef Expression
1 ngpxms 22774 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
2 ngpds2.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ngpds2.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
42, 3xmssym 22639 . . 3 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
51, 4syl3an1 1208 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
6 ngpds2.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
7 ngpds2.m . . . 4 = (-g𝐺)
82, 6, 7, 3ngpds2 22779 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = ((𝐵 𝐴)𝐷 0 ))
983com23 1162 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = ((𝐵 𝐴)𝐷 0 ))
105, 9eqtrd 2860 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((𝐵 𝐴)𝐷 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  distcds 16313  0gc0g 16452  -gcsg 17777  ∞MetSpcxms 22491  NrmGrpcngp 22751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-0g 16454  df-topgen 16456  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-xms 22494  df-ms 22495  df-nm 22756  df-ngp 22757
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator