Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpds2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpds2r 23254
 Description: Write the distance between two points in terms of distance from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpds2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds2.z 0 = (0g𝐺)
ngpds2.m = (-g𝐺)
ngpds2.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpds2r ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((𝐵 𝐴)𝐷 0 ))

Proof of Theorem ngpds2r
StepHypRef Expression
1 ngpxms 23248 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
2 ngpds2.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ngpds2.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
42, 3xmssym 23113 . . 3 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
51, 4syl3an1 1160 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
6 ngpds2.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
7 ngpds2.m . . . 4 = (-g𝐺)
82, 6, 7, 3ngpds2 23253 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = ((𝐵 𝐴)𝐷 0 ))
983com23 1123 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = ((𝐵 𝐴)𝐷 0 ))
105, 9eqtrd 2833 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((𝐵 𝐴)𝐷 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  distcds 16586  0gc0g 16725  -gcsg 18117  ∞MetSpcxms 22965  NrmGrpcngp 23225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-0g 16727  df-topgen 16729  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-xms 22968  df-ms 22969  df-nm 23230  df-ngp 23231 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator