Theorem nmeq0 24471

Description: The identity is the only element of the group with zero norm. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmeq0	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem nmeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		nmeq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	nmval 24442	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
7	6	eqeq1d 2726	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0))
8		ngpgrp 24452	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
10	2, 3	grpidcl 18891	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ∈ 𝑋)
12		ngpxms 24454	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
13	2, 4	xmseq0 24314	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
14	12, 13	syl3an1 1160	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
15	11, 14	mpd3an3 1458	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
16	7, 15	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  Basecbs 17149  distcds 17211  0_gc0g 17390  Grpcgrp 18859  ∞MetSpcxms 24167  normcnm 24429  NrmGrpcngp 24430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-xms 24170  df-ms 24171  df-nm 24435  df-ngp 24436

This theorem is referenced by:  nmne0  24472  ngpi  24481  nm0  24482  nmgt0  24483  tngngp  24515  tngngp3  24517  nlmmul0or  24544  nmoeq0  24597  ncvs1  25029