MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmeq0 24647
Description: The identity is the only element of the group with zero norm. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmeq0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem nmeq0
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 nmf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 nmeq0.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 eqid 2735 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
51, 2, 3, 4nmval 24618 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
65adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
76eqeq1d 2737 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ (𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0))
8 ngpgrp 24628 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
102, 3grpidcl 18996 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0𝑋)
12 ngpxms 24630 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
132, 4xmseq0 24490 . . . 4 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋0𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1412, 13syl3an1 1162 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋0𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1511, 14mpd3an3 1461 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
167, 15bitrd 279 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  Basecbs 17245  distcds 17307  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  ∞MetSpcxms 24343  normcnm 24605  NrmGrpcngp 24606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612
This theorem is referenced by:  nmne0  24648  ngpi  24657  nm0  24658  nmgt0  24659  tngngp  24691  tngngp3  24693  nlmmul0or  24720  nmoeq0  24773  ncvs1  25205
  Copyright terms: Public domain W3C validator