Theorem nmeq0 24743

Description: The identity is the only element of the group with zero norm. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmeq0	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem nmeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		nmeq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	nmval 24714	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
6	5	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
7	6	eqeq1d 2771	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0))
8		ngpgrp 24724	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
10	2, 3	grpidcl 19031	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ∈ 𝑋)
12		ngpxms 24726	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
13	2, 4	xmseq0 24589	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
14	12, 13	syl3an1 1179	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
15	11, 14	mpd3an3 1488	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
16	7, 15	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099  Basecbs 17268  distcds 17318  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  ∞MetSpcxms 24442  normcnm 24701  NrmGrpcngp 24702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-0g 17493  df-topgen 17495  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-xms 24445  df-ms 24446  df-nm 24707  df-ngp 24708

This theorem is referenced by:  nmne0  24744  ngpi  24753  nm0  24754  nmgt0  24755  tngngp  24779  tngngp3  24781  nlmmul0or  24808  nmoeq0  24861  ncvs1  25284