Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhucn 33955
Description: The ℚHom homomorphism is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhucn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhucn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhucn.u 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
qqhucn.v 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
qqhucn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhucn.1 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
qqhucn.2 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
qqhucn.3 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
qqhucn.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
Assertion
Ref Expression
qqhucn (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))

Proof of Theorem qqhucn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhucn.2 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
2 qqhucn.4 . . . 4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
3 qqhucn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2735 . . . . 5 (/r𝑅) = (/r𝑅)
5 eqid 2735 . . . . 5 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
63, 4, 5qqhf 33949 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
71, 2, 6syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
8 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
9 qqhucn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
10 nrgngp 24699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
137ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
1615ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵)
17 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
18 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
19 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
2017, 3, 18, 19ngpdsr 24634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
2112, 14, 16, 20syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
23 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℚ)
24 qsubdrg 21455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
2524simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
26 subrgsubg 20594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
28 cnfldsub 21428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − = (-g‘ℂfld)
29 qqhucn.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (ℂflds ℚ)
30 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝑄) = (-g𝑄)
3128, 29, 30subgsub 19169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3227, 31mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3322, 23, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3433fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)))
353, 4, 5, 29qqhghm 33951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
361, 2, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3829qrngbas 27678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℚ = (Base‘𝑄)
3938, 30, 18ghmsub 19255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4037, 22, 23, 39syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4134, 40eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)))
4241fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))))
439, 1elind 4210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
45 qqhucn.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
4645ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
472ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
48 qsubcl 13008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
4922, 23, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
50 qqhucn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
5117, 50qqhnm 33953 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑞𝑝) ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5244, 46, 47, 49, 51syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5321, 42, 523eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5414, 16ovresd 7600 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
55 qsscn 13000 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
5655, 23sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℂ)
5755, 22sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
58 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5958cnmetdval 24807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6056, 57, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6123, 22ovresd 7600 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (𝑝(abs ∘ − )𝑞))
6257, 56abssubd 15489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (abs‘(𝑞𝑝)) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6360, 61, 623eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (abs‘(𝑞𝑝)))
6453, 54, 633eqtr4rd 2786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6564breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6665biimpd 229 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6766ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6968adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
70 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
7170imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → (((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
72712ralbidv 3219 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
7372rspcev 3622 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
748, 69, 73syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
7574ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
76 eqid 2735 . . . 4 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
77 qqhucn.v . . . 4 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
78 0z 12622 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
79 zq 12994 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
80 ne0i 4347 . . . . . 6 (0 ∈ ℚ → ℚ ≠ ∅)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 ℚ ≠ ∅
8281a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℚ ≠ ∅)
83 drngring 20753 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2735 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
853, 84ringidcl 20280 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
86 ne0i 4347 . . . . 5 ((1r𝑅) ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
871, 83, 85, 864syl 19 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
88 cnfldxms 24813 . . . . . . . 8 fld ∈ ∞MetSp
89 qex 13001 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
90 ressxms 24554 . . . . . . . 8 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
9188, 89, 90mp2an 692 . . . . . . 7 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
9229, 91eqeltri 2835 . . . . . 6 𝑄 ∈ ∞MetSp
93 cnfldds 21394 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
9429, 93ressds 17456 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
9589, 94ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
9638, 95xmsxmet2 24485 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
9792, 96mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
98 xmetpsmet 24374 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
9997, 98syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
100 ngpxms 24630 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
1013, 19xmsxmet2 24485 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
1029, 10, 100, 1014syl 19 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
103 xmetpsmet 24374 . . . . 5 (((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵) → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
104102, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
10576, 77, 82, 87, 99, 104metucn 24600 . . 3 (𝜑 → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
1067, 75, 105mpbir2and 713 . 2 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
107 qqhucn.u . . . . . 6 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
10829fveq2i 6910 . . . . . 6 (UnifSt‘𝑄) = (UnifSt‘(ℂflds ℚ))
109 ressuss 24287 . . . . . . 7 (ℚ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)))
11089, 109ax-mp 5 . . . . . 6 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
111107, 108, 1103eqtri 2767 . . . . 5 𝑈 = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
112 eqid 2735 . . . . . . 7 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
113112cnflduss 25404 . . . . . 6 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
114113oveq1i 7441 . . . . 5 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ))
115 cnxmet 24809 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
116 xmetpsmet 24374 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
118 restmetu 24599 . . . . . 6 ((ℚ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℚ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
11981, 117, 55, 118mp3an 1460 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
120111, 114, 1193eqtri 2767 . . . 4 𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
121120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
122121oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (𝑈 Cnu𝑉) = ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
123106, 122eleqtrrd 2842 1 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   < clt 11293  cmin 11490  cz 12611  cq 12988  +crp 13032  abscabs 15270  Basecbs 17245  s cress 17274  distcds 17307  t crest 17467  -gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151   GrpHom cghm 19243  1rcur 20199  Ringcrg 20251  /rcdvr 20417  SubRingcsubrg 20586  DivRingcdr 20746  PsMetcpsmet 21366  ∞Metcxmet 21367  metUnifcmetu 21373  fldccnfld 21382  ℤRHomczrh 21528  ℤModczlm 21529  chrcchr 21530  UnifStcuss 24278   Cnucucn 24300  ∞MetSpcxms 24343  normcnm 24605  NrmGrpcngp 24606  NrmRingcnrg 24608  NrmModcnlm 24609  ℚHomcqqh 33933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-numer 16769  df-denom 16770  df-gz 16964  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-metu 21381  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zlm 21533  df-chr 21534  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-fil 23870  df-ust 24225  df-uss 24281  df-ucn 24301  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-qqh 33934
This theorem is referenced by:  rrhcn  33960
  Copyright terms: Public domain W3C validator