Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhucn 30834
Description: The ℚHom homomorphism is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhucn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhucn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhucn.u 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
qqhucn.v 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
qqhucn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhucn.1 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
qqhucn.2 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
qqhucn.3 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
qqhucn.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
Assertion
Ref Expression
qqhucn (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))

Proof of Theorem qqhucn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhucn.2 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
2 qqhucn.4 . . . 4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
3 qqhucn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2772 . . . . 5 (/r𝑅) = (/r𝑅)
5 eqid 2772 . . . . 5 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
63, 4, 5qqhf 30828 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
71, 2, 6syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
8 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
9 qqhucn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
10 nrgngp 22964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
1211ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
137ffvelrnda 6670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
1413adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
157adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
1615ffvelrnda 6670 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵)
17 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
18 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
19 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
2017, 3, 18, 19ngpdsr 22907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
2112, 14, 16, 20syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
22 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
23 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℚ)
24 qsubdrg 20289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
2524simpli 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
26 subrgsubg 19254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
28 cnfldsub 20265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − = (-g‘ℂfld)
29 qqhucn.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (ℂflds ℚ)
30 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝑄) = (-g𝑄)
3128, 29, 30subgsub 18065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3227, 31mp3an1 1427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3322, 23, 32syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3433fveq2d 6497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)))
353, 4, 5, 29qqhghm 30830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
361, 2, 35syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3736ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3829qrngbas 25887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℚ = (Base‘𝑄)
3938, 30, 18ghmsub 18127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4037, 22, 23, 39syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4134, 40eqtr2d 2809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)))
4241fveq2d 6497 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))))
439, 1elind 4055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
4443ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
45 qqhucn.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
4645ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
472ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
48 qsubcl 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
4922, 23, 48syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
50 qqhucn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
5117, 50qqhnm 30832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑞𝑝) ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5244, 46, 47, 49, 51syl31anc 1353 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5321, 42, 523eqtrd 2812 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5414, 16ovresd 7125 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
55 qsscn 12167 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
5655, 23sseldi 3852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℂ)
5755, 22sseldi 3852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
58 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5958cnmetdval 23072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6056, 57, 59syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6123, 22ovresd 7125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (𝑝(abs ∘ − )𝑞))
6257, 56abssubd 14664 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (abs‘(𝑞𝑝)) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6360, 61, 623eqtr4d 2818 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (abs‘(𝑞𝑝)))
6453, 54, 633eqtr4rd 2819 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6564breq1d 4933 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6665biimpd 221 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6766ralrimiva 3126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3126 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6968adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
70 breq2 4927 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
7170imbi1d 334 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → (((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
72712ralbidv 3143 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
7372rspcev 3529 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
748, 69, 73syl2anc 576 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
7574ralrimiva 3126 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
76 eqid 2772 . . . 4 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
77 qqhucn.v . . . 4 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
78 0z 11797 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
79 zq 12161 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
80 ne0i 4181 . . . . . 6 (0 ∈ ℚ → ℚ ≠ ∅)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 ℚ ≠ ∅
8281a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℚ ≠ ∅)
83 drngring 19222 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2772 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
853, 84ringidcl 19031 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
86 ne0i 4181 . . . . 5 ((1r𝑅) ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
871, 83, 85, 864syl 19 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
88 cnfldxms 23078 . . . . . . . 8 fld ∈ ∞MetSp
89 qex 12168 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
90 ressxms 22828 . . . . . . . 8 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
9188, 89, 90mp2an 679 . . . . . . 7 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
9229, 91eqeltri 2856 . . . . . 6 𝑄 ∈ ∞MetSp
93 cnfldds 20247 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
9429, 93ressds 16532 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
9589, 94ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
9638, 95xmsxmet2 22762 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
9792, 96mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
98 xmetpsmet 22651 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
9997, 98syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
100 ngpxms 22903 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
1013, 19xmsxmet2 22762 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
1029, 10, 100, 1014syl 19 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
103 xmetpsmet 22651 . . . . 5 (((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵) → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
104102, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
10576, 77, 82, 87, 99, 104metucn 22874 . . 3 (𝜑 → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
1067, 75, 105mpbir2and 700 . 2 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
107 qqhucn.u . . . . . 6 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
10829fveq2i 6496 . . . . . 6 (UnifSt‘𝑄) = (UnifSt‘(ℂflds ℚ))
109 ressuss 22565 . . . . . . 7 (ℚ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)))
11089, 109ax-mp 5 . . . . . 6 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
111107, 108, 1103eqtri 2800 . . . . 5 𝑈 = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
112 eqid 2772 . . . . . . 7 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
113112cnflduss 23652 . . . . . 6 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
114113oveq1i 6980 . . . . 5 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ))
115 cnxmet 23074 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
116 xmetpsmet 22651 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
118 restmetu 22873 . . . . . 6 ((ℚ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℚ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
11981, 117, 55, 118mp3an 1440 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
120111, 114, 1193eqtri 2800 . . . 4 𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
121120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
122121oveq1d 6985 . 2 (𝜑 → (𝑈 Cnu𝑉) = ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
123106, 122eleqtrrd 2863 1 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wrex 3083  Vcvv 3409  cin 3824  wss 3825  c0 4173   class class class wbr 4923   × cxp 5398  cres 5402  ccom 5404  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10325  0cc0 10327   < clt 10466  cmin 10662  cz 11786  cq 12155  +crp 12197  abscabs 14444  Basecbs 16329  s cress 16330  distcds 16420  t crest 16540  -gcsg 17883  SubGrpcsubg 18047   GrpHom cghm 18116  1rcur 18964  Ringcrg 19010  /rcdvr 19145  DivRingcdr 19215  SubRingcsubrg 19244  PsMetcpsmet 20221  ∞Metcxmet 20222  metUnifcmetu 20228  fldccnfld 20237  ℤRHomczrh 20339  ℤModczlm 20340  chrcchr 20341  UnifStcuss 22555   Cnucucn 22577  ∞MetSpcxms 22620  normcnm 22879  NrmGrpcngp 22880  NrmRingcnrg 22882  NrmModcnlm 22883  ℚHomcqqh 30814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ico 12553  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-dvds 15458  df-gcd 15694  df-numer 15921  df-denom 15922  df-gz 16112  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-topgen 16563  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-ghm 18117  df-od 18408  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-rnghom 19180  df-drng 19217  df-subrg 19246  df-abv 19300  df-lmod 19348  df-nzr 19742  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-metu 20236  df-cnfld 20238  df-zring 20310  df-zrh 20343  df-zlm 20344  df-chr 20345  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-fil 22148  df-ust 22502  df-uss 22558  df-ucn 22578  df-xms 22623  df-ms 22624  df-nm 22885  df-ngp 22886  df-nrg 22888  df-nlm 22889  df-qqh 30815
This theorem is referenced by:  rrhcn  30839
  Copyright terms: Public domain W3C validator