Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhucn 33529
Description: The β„šHom homomorphism is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhucn.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qqhucn.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qqhucn.u π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘„)
qqhucn.v 𝑉 = (metUnifβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
qqhucn.z 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
qqhucn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
qqhucn.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
qqhucn.3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
qqhucn.4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
Assertion
Ref Expression
qqhucn (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉))

Proof of Theorem qqhucn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhucn.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 qqhucn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
3 qqhucn.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2727 . . . . 5 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
5 eqid 2727 . . . . 5 (β„€RHomβ€˜π‘…) = (β„€RHomβ€˜π‘…)
63, 4, 5qqhf 33523 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (β„šHomβ€˜π‘…):β„šβŸΆπ΅)
71, 2, 6syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…):β„šβŸΆπ΅)
8 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
9 qqhucn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
10 nrgngp 24566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
137ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ (β„šHomβ€˜π‘…):β„šβŸΆπ΅)
1615ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž) ∈ 𝐡)
17 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (normβ€˜π‘…) = (normβ€˜π‘…)
18 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
19 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
2017, 3, 18, 19ngpdsr 24501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)(distβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) = ((normβ€˜π‘…)β€˜(((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
2112, 14, 16, 20syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)(distβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) = ((normβ€˜π‘…)β€˜(((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ π‘ž ∈ β„š)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑝 ∈ β„š)
24 qsubdrg 21339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„š ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (β„‚fld β†Ύs β„š) ∈ DivRing)
2524simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„š ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
26 subrgsubg 20505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„š ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„š ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)
28 cnfldsub 21312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ’ = (-gβ€˜β„‚fld)
29 qqhucn.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
30 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-gβ€˜π‘„) = (-gβ€˜π‘„)
3128, 29, 30subgsub 19084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„š ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ π‘ž ∈ β„š ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) = (π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝))
3227, 31mp3an1 1445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ž ∈ β„š ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) = (π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝))
3322, 23, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) = (π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝))
3433fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)) = ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝)))
353, 4, 5, 29qqhghm 33525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
361, 2, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3829qrngbas 27539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
3938, 30, 18ghmsub 19169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅) ∧ π‘ž ∈ β„š ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝)) = (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
4037, 22, 23, 39syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝)) = (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
4134, 40eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
4241fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((normβ€˜π‘…)β€˜(((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘))) = ((normβ€˜π‘…)β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝))))
439, 1elind 4190 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
45 qqhucn.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
472ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
48 qsubcl 12974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ž ∈ β„š ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∈ β„š)
4922, 23, 48syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∈ β„š)
50 qqhucn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
5117, 50qqhnm 33527 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∈ β„š) β†’ ((normβ€˜π‘…)β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝))) = (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
5244, 46, 47, 49, 51syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((normβ€˜π‘…)β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝))) = (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
5321, 42, 523eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)(distβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) = (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
5414, 16ovresd 7582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) = (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)(distβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)))
55 qsscn 12966 . . . . . . . . . . . . . 14 β„š βŠ† β„‚
5655, 23sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
5755, 22sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ π‘ž ∈ β„‚)
58 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
5958cnmetdval 24674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘ž ∈ β„‚) β†’ (𝑝(abs ∘ βˆ’ )π‘ž) = (absβ€˜(𝑝 βˆ’ π‘ž)))
6056, 57, 59syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (𝑝(abs ∘ βˆ’ )π‘ž) = (absβ€˜(𝑝 βˆ’ π‘ž)))
6123, 22ovresd 7582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) = (𝑝(abs ∘ βˆ’ )π‘ž))
6257, 56abssubd 15424 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)) = (absβ€˜(𝑝 βˆ’ π‘ž)))
6360, 61, 623eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) = (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
6453, 54, 633eqtr4rd 2778 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) = (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)))
6564breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 ↔ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
6665biimpd 228 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
6766ralrimiva 3141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
6968adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
70 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 β†’ ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 ↔ (𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒))
7170imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 β†’ (((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒) ↔ ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒)))
72712ralbidv 3213 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒)))
7372rspcev 3607 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
748, 69, 73syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
7574ralrimiva 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
76 eqid 2727 . . . 4 (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))) = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)))
77 qqhucn.v . . . 4 𝑉 = (metUnifβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
78 0z 12591 . . . . . 6 0 ∈ β„€
79 zq 12960 . . . . . 6 (0 ∈ β„€ β†’ 0 ∈ β„š)
80 ne0i 4330 . . . . . 6 (0 ∈ β„š β†’ β„š β‰  βˆ…)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 β„š β‰  βˆ…
8281a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„š β‰  βˆ…)
83 drngring 20620 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2727 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
853, 84ringidcl 20191 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
86 ne0i 4330 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
871, 83, 85, 864syl 19 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
88 cnfldxms 24680 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ ∞MetSp
89 qex 12967 . . . . . . . 8 β„š ∈ V
90 ressxms 24421 . . . . . . . 8 ((β„‚fld ∈ ∞MetSp ∧ β„š ∈ V) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„š) ∈ ∞MetSp)
9188, 89, 90mp2an 691 . . . . . . 7 (β„‚fld β†Ύs β„š) ∈ ∞MetSp
9229, 91eqeltri 2824 . . . . . 6 𝑄 ∈ ∞MetSp
93 cnfldds 21278 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜β„‚fld)
9429, 93ressds 17382 . . . . . . . 8 (β„š ∈ V β†’ (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘„))
9589, 94ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘„)
9638, 95xmsxmet2 24352 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ∞MetSp β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (∞Metβ€˜β„š))
9792, 96mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (∞Metβ€˜β„š))
98 xmetpsmet 24241 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (∞Metβ€˜β„š) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (PsMetβ€˜β„š))
9997, 98syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (PsMetβ€˜β„š))
100 ngpxms 24497 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmGrp β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
1013, 19xmsxmet2 24352 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
1029, 10, 100, 1014syl 19 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
103 xmetpsmet 24241 . . . . 5 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅) β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (PsMetβ€˜π΅))
104102, 103syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (PsMetβ€˜π΅))
10576, 77, 82, 87, 99, 104metucn 24467 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…) ∈ ((metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))) Cnu𝑉) ↔ ((β„šHomβ€˜π‘…):β„šβŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))))
1067, 75, 105mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ ((metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))) Cnu𝑉))
107 qqhucn.u . . . . . 6 π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘„)
10829fveq2i 6894 . . . . . 6 (UnifStβ€˜π‘„) = (UnifStβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„š))
109 ressuss 24154 . . . . . . 7 (β„š ∈ V β†’ (UnifStβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„š)) = ((UnifStβ€˜β„‚fld) β†Ύt (β„š Γ— β„š)))
11089, 109ax-mp 5 . . . . . 6 (UnifStβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„š)) = ((UnifStβ€˜β„‚fld) β†Ύt (β„š Γ— β„š))
111107, 108, 1103eqtri 2759 . . . . 5 π‘ˆ = ((UnifStβ€˜β„‚fld) β†Ύt (β„š Γ— β„š))
112 eqid 2727 . . . . . . 7 (UnifStβ€˜β„‚fld) = (UnifStβ€˜β„‚fld)
113112cnflduss 25271 . . . . . 6 (UnifStβ€˜β„‚fld) = (metUnifβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
114113oveq1i 7424 . . . . 5 ((UnifStβ€˜β„‚fld) β†Ύt (β„š Γ— β„š)) = ((metUnifβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt (β„š Γ— β„š))
115 cnxmet 24676 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
116 xmetpsmet 24241 . . . . . . 7 ((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (PsMetβ€˜β„‚))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (PsMetβ€˜β„‚)
118 restmetu 24466 . . . . . 6 ((β„š β‰  βˆ… ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (PsMetβ€˜β„‚) ∧ β„š βŠ† β„‚) β†’ ((metUnifβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt (β„š Γ— β„š)) = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))))
11981, 117, 55, 118mp3an 1458 . . . . 5 ((metUnifβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt (β„š Γ— β„š)) = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)))
120111, 114, 1193eqtri 2759 . . . 4 π‘ˆ = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)))
121120a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))))
122121oveq1d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Cnu𝑉) = ((metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))) Cnu𝑉))
123106, 122eleqtrrd 2831 1 (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130   < clt 11270   βˆ’ cmin 11466  β„€cz 12580  β„šcq 12954  β„+crp 12998  abscabs 15205  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  distcds 17233   β†Ύt crest 17393  -gcsg 18883  SubGrpcsubg 19066   GrpHom cghm 19158  1rcur 20112  Ringcrg 20164  /rcdvr 20328  SubRingcsubrg 20495  DivRingcdr 20613  PsMetcpsmet 21250  βˆžMetcxmet 21251  metUnifcmetu 21257  β„‚fldccnfld 21266  β„€RHomczrh 21412  β„€Modczlm 21413  chrcchr 21414  UnifStcuss 24145   Cnucucn 24167  βˆžMetSpcxms 24210  normcnm 24472  NrmGrpcngp 24473  NrmRingcnrg 24475  NrmModcnlm 24476  β„šHomcqqh 33509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-numer 16698  df-denom 16699  df-gz 16890  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-od 19474  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-nzr 20441  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-abv 20686  df-lmod 20734  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-metu 21265  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zlm 21417  df-chr 21418  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-fil 23737  df-ust 24092  df-uss 24148  df-ucn 24168  df-xms 24213  df-ms 24214  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-nrg 24481  df-nlm 24482  df-qqh 33510
This theorem is referenced by:  rrhcn  33534
  Copyright terms: Public domain W3C validator