Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhucn 32972
Description: The β„šHom homomorphism is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhucn.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qqhucn.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qqhucn.u π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘„)
qqhucn.v 𝑉 = (metUnifβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
qqhucn.z 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
qqhucn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
qqhucn.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
qqhucn.3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
qqhucn.4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
Assertion
Ref Expression
qqhucn (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉))

Proof of Theorem qqhucn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhucn.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 qqhucn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
3 qqhucn.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2733 . . . . 5 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . . . . 5 (β„€RHomβ€˜π‘…) = (β„€RHomβ€˜π‘…)
63, 4, 5qqhf 32966 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (β„šHomβ€˜π‘…):β„šβŸΆπ΅)
71, 2, 6syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…):β„šβŸΆπ΅)
8 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
9 qqhucn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
10 nrgngp 24179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
137ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
157adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ (β„šHomβ€˜π‘…):β„šβŸΆπ΅)
1615ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž) ∈ 𝐡)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (normβ€˜π‘…) = (normβ€˜π‘…)
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
2017, 3, 18, 19ngpdsr 24114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)(distβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) = ((normβ€˜π‘…)β€˜(((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
2112, 14, 16, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)(distβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) = ((normβ€˜π‘…)β€˜(((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ π‘ž ∈ β„š)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑝 ∈ β„š)
24 qsubdrg 20997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„š ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (β„‚fld β†Ύs β„š) ∈ DivRing)
2524simpli 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„š ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
26 subrgsubg 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„š ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„š ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)
28 cnfldsub 20973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ’ = (-gβ€˜β„‚fld)
29 qqhucn.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-gβ€˜π‘„) = (-gβ€˜π‘„)
3128, 29, 30subgsub 19018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„š ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ π‘ž ∈ β„š ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) = (π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝))
3227, 31mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ž ∈ β„š ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) = (π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝))
3322, 23, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) = (π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝))
3433fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)) = ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝)))
353, 4, 5, 29qqhghm 32968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
361, 2, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3829qrngbas 27122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
3938, 30, 18ghmsub 19100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅) ∧ π‘ž ∈ β„š ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝)) = (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
4037, 22, 23, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž(-gβ€˜π‘„)𝑝)) = (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
4134, 40eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
4241fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((normβ€˜π‘…)β€˜(((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)(-gβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘))) = ((normβ€˜π‘…)β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝))))
439, 1elind 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
45 qqhucn.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑍 ∈ NrmMod)
472ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
48 qsubcl 12952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ž ∈ β„š ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∈ β„š)
4922, 23, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∈ β„š)
50 qqhucn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
5117, 50qqhnm 32970 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∈ β„š) β†’ ((normβ€˜π‘…)β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝))) = (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
5244, 46, 47, 49, 51syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((normβ€˜π‘…)β€˜((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝))) = (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
5321, 42, 523eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)(distβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) = (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
5414, 16ovresd 7574 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) = (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)(distβ€˜π‘…)((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)))
55 qsscn 12944 . . . . . . . . . . . . . 14 β„š βŠ† β„‚
5655, 23sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
5755, 22sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ π‘ž ∈ β„‚)
58 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
5958cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘ž ∈ β„‚) β†’ (𝑝(abs ∘ βˆ’ )π‘ž) = (absβ€˜(𝑝 βˆ’ π‘ž)))
6056, 57, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (𝑝(abs ∘ βˆ’ )π‘ž) = (absβ€˜(𝑝 βˆ’ π‘ž)))
6123, 22ovresd 7574 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) = (𝑝(abs ∘ βˆ’ )π‘ž))
6257, 56abssubd 15400 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)) = (absβ€˜(𝑝 βˆ’ π‘ž)))
6360, 61, 623eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) = (absβ€˜(π‘ž βˆ’ 𝑝)))
6453, 54, 633eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ (𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) = (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)))
6564breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 ↔ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
6665biimpd 228 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) ∧ π‘ž ∈ β„š) β†’ ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
6766ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„š) β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
6968adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
70 breq2 5153 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 β†’ ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 ↔ (𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒))
7170imbi1d 342 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 β†’ (((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒) ↔ ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒)))
72712ralbidv 3219 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒)))
7372rspcev 3613 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑒 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
748, 69, 73syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
7574ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))
76 eqid 2733 . . . 4 (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))) = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)))
77 qqhucn.v . . . 4 𝑉 = (metUnifβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
78 0z 12569 . . . . . 6 0 ∈ β„€
79 zq 12938 . . . . . 6 (0 ∈ β„€ β†’ 0 ∈ β„š)
80 ne0i 4335 . . . . . 6 (0 ∈ β„š β†’ β„š β‰  βˆ…)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 β„š β‰  βˆ…
8281a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„š β‰  βˆ…)
83 drngring 20364 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
853, 84ringidcl 20083 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
86 ne0i 4335 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
871, 83, 85, 864syl 19 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
88 cnfldxms 24293 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ ∞MetSp
89 qex 12945 . . . . . . . 8 β„š ∈ V
90 ressxms 24034 . . . . . . . 8 ((β„‚fld ∈ ∞MetSp ∧ β„š ∈ V) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„š) ∈ ∞MetSp)
9188, 89, 90mp2an 691 . . . . . . 7 (β„‚fld β†Ύs β„š) ∈ ∞MetSp
9229, 91eqeltri 2830 . . . . . 6 𝑄 ∈ ∞MetSp
93 cnfldds 20954 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜β„‚fld)
9429, 93ressds 17355 . . . . . . . 8 (β„š ∈ V β†’ (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘„))
9589, 94ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘„)
9638, 95xmsxmet2 23965 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ∞MetSp β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (∞Metβ€˜β„š))
9792, 96mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (∞Metβ€˜β„š))
98 xmetpsmet 23854 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (∞Metβ€˜β„š) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (PsMetβ€˜β„š))
9997, 98syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)) ∈ (PsMetβ€˜β„š))
100 ngpxms 24110 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmGrp β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
1013, 19xmsxmet2 23965 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
1029, 10, 100, 1014syl 19 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
103 xmetpsmet 23854 . . . . 5 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅) β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (PsMetβ€˜π΅))
104102, 103syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (PsMetβ€˜π΅))
10576, 77, 82, 87, 99, 104metucn 24080 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…) ∈ ((metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))) Cnu𝑉) ↔ ((β„šHomβ€˜π‘…):β„šβŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„š βˆ€π‘ž ∈ β„š ((𝑝((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))π‘ž) < 𝑑 β†’ (((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜π‘ž)) < 𝑒))))
1067, 75, 105mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ ((metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))) Cnu𝑉))
107 qqhucn.u . . . . . 6 π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘„)
10829fveq2i 6895 . . . . . 6 (UnifStβ€˜π‘„) = (UnifStβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„š))
109 ressuss 23767 . . . . . . 7 (β„š ∈ V β†’ (UnifStβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„š)) = ((UnifStβ€˜β„‚fld) β†Ύt (β„š Γ— β„š)))
11089, 109ax-mp 5 . . . . . 6 (UnifStβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„š)) = ((UnifStβ€˜β„‚fld) β†Ύt (β„š Γ— β„š))
111107, 108, 1103eqtri 2765 . . . . 5 π‘ˆ = ((UnifStβ€˜β„‚fld) β†Ύt (β„š Γ— β„š))
112 eqid 2733 . . . . . . 7 (UnifStβ€˜β„‚fld) = (UnifStβ€˜β„‚fld)
113112cnflduss 24873 . . . . . 6 (UnifStβ€˜β„‚fld) = (metUnifβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
114113oveq1i 7419 . . . . 5 ((UnifStβ€˜β„‚fld) β†Ύt (β„š Γ— β„š)) = ((metUnifβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt (β„š Γ— β„š))
115 cnxmet 24289 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
116 xmetpsmet 23854 . . . . . . 7 ((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (PsMetβ€˜β„‚))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (PsMetβ€˜β„‚)
118 restmetu 24079 . . . . . 6 ((β„š β‰  βˆ… ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (PsMetβ€˜β„‚) ∧ β„š βŠ† β„‚) β†’ ((metUnifβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt (β„š Γ— β„š)) = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))))
11981, 117, 55, 118mp3an 1462 . . . . 5 ((metUnifβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt (β„š Γ— β„š)) = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)))
120111, 114, 1193eqtri 2765 . . . 4 π‘ˆ = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š)))
121120a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))))
122121oveq1d 7424 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Cnu𝑉) = ((metUnifβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„š Γ— β„š))) Cnu𝑉))
123106, 122eleqtrrd 2837 1 (πœ‘ β†’ (β„šHomβ€˜π‘…) ∈ (π‘ˆ Cnu𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„šcq 12932  β„+crp 12974  abscabs 15181  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  distcds 17206   β†Ύt crest 17366  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000   GrpHom cghm 19089  1rcur 20004  Ringcrg 20056  /rcdvr 20214  SubRingcsubrg 20315  DivRingcdr 20357  PsMetcpsmet 20928  βˆžMetcxmet 20929  metUnifcmetu 20935  β„‚fldccnfld 20944  β„€RHomczrh 21049  β„€Modczlm 21050  chrcchr 21051  UnifStcuss 23758   Cnucucn 23780  βˆžMetSpcxms 23823  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmRingcnrg 24088  NrmModcnlm 24089  β„šHomcqqh 32952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-numer 16671  df-denom 16672  df-gz 16863  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-metu 20943  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zlm 21054  df-chr 21055  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-fil 23350  df-ust 23705  df-uss 23761  df-ucn 23781  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-qqh 32953
This theorem is referenced by:  rrhcn  32977
  Copyright terms: Public domain W3C validator