Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhucn 33993
Description: The ℚHom homomorphism is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhucn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhucn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhucn.u 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
qqhucn.v 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
qqhucn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhucn.1 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
qqhucn.2 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
qqhucn.3 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
qqhucn.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
Assertion
Ref Expression
qqhucn (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))

Proof of Theorem qqhucn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhucn.2 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
2 qqhucn.4 . . . 4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
3 qqhucn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2737 . . . . 5 (/r𝑅) = (/r𝑅)
5 eqid 2737 . . . . 5 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
63, 4, 5qqhf 33987 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
71, 2, 6syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
8 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
9 qqhucn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
10 nrgngp 24683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
137ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
1615ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
18 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
19 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
2017, 3, 18, 19ngpdsr 24618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
2112, 14, 16, 20syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
23 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℚ)
24 qsubdrg 21437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
2524simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
26 subrgsubg 20577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
28 cnfldsub 21410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − = (-g‘ℂfld)
29 qqhucn.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (ℂflds ℚ)
30 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝑄) = (-g𝑄)
3128, 29, 30subgsub 19156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3227, 31mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3322, 23, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3433fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)))
353, 4, 5, 29qqhghm 33989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
361, 2, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3829qrngbas 27663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℚ = (Base‘𝑄)
3938, 30, 18ghmsub 19242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4037, 22, 23, 39syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4134, 40eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)))
4241fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))))
439, 1elind 4200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
45 qqhucn.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
4645ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
472ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
48 qsubcl 13010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
4922, 23, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
50 qqhucn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
5117, 50qqhnm 33991 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑞𝑝) ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5244, 46, 47, 49, 51syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5321, 42, 523eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5414, 16ovresd 7600 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
55 qsscn 13002 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
5655, 23sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℂ)
5755, 22sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
58 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5958cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6056, 57, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6123, 22ovresd 7600 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (𝑝(abs ∘ − )𝑞))
6257, 56abssubd 15492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (abs‘(𝑞𝑝)) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6360, 61, 623eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (abs‘(𝑞𝑝)))
6453, 54, 633eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6564breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6665biimpd 229 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6766ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6968adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
70 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
7170imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → (((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
72712ralbidv 3221 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
7372rspcev 3622 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
748, 69, 73syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
7574ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
76 eqid 2737 . . . 4 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
77 qqhucn.v . . . 4 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
78 0z 12624 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
79 zq 12996 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
80 ne0i 4341 . . . . . 6 (0 ∈ ℚ → ℚ ≠ ∅)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 ℚ ≠ ∅
8281a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℚ ≠ ∅)
83 drngring 20736 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2737 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
853, 84ringidcl 20262 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
86 ne0i 4341 . . . . 5 ((1r𝑅) ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
871, 83, 85, 864syl 19 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
88 cnfldxms 24797 . . . . . . . 8 fld ∈ ∞MetSp
89 qex 13003 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
90 ressxms 24538 . . . . . . . 8 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
9188, 89, 90mp2an 692 . . . . . . 7 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
9229, 91eqeltri 2837 . . . . . 6 𝑄 ∈ ∞MetSp
93 cnfldds 21376 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
9429, 93ressds 17454 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
9589, 94ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
9638, 95xmsxmet2 24469 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
9792, 96mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
98 xmetpsmet 24358 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
9997, 98syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
100 ngpxms 24614 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
1013, 19xmsxmet2 24469 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
1029, 10, 100, 1014syl 19 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
103 xmetpsmet 24358 . . . . 5 (((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵) → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
104102, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
10576, 77, 82, 87, 99, 104metucn 24584 . . 3 (𝜑 → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
1067, 75, 105mpbir2and 713 . 2 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
107 qqhucn.u . . . . . 6 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
10829fveq2i 6909 . . . . . 6 (UnifSt‘𝑄) = (UnifSt‘(ℂflds ℚ))
109 ressuss 24271 . . . . . . 7 (ℚ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)))
11089, 109ax-mp 5 . . . . . 6 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
111107, 108, 1103eqtri 2769 . . . . 5 𝑈 = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
112 eqid 2737 . . . . . . 7 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
113112cnflduss 25390 . . . . . 6 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
114113oveq1i 7441 . . . . 5 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ))
115 cnxmet 24793 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
116 xmetpsmet 24358 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
118 restmetu 24583 . . . . . 6 ((ℚ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℚ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
11981, 117, 55, 118mp3an 1463 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
120111, 114, 1193eqtri 2769 . . . 4 𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
121120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
122121oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (𝑈 Cnu𝑉) = ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
123106, 122eleqtrrd 2844 1 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cres 5687  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   < clt 11295  cmin 11492  cz 12613  cq 12990  +crp 13034  abscabs 15273  Basecbs 17247  s cress 17274  distcds 17306  t crest 17465  -gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138   GrpHom cghm 19230  1rcur 20178  Ringcrg 20230  /rcdvr 20400  SubRingcsubrg 20569  DivRingcdr 20729  PsMetcpsmet 21348  ∞Metcxmet 21349  metUnifcmetu 21355  fldccnfld 21364  ℤRHomczrh 21510  ℤModczlm 21511  chrcchr 21512  UnifStcuss 24262   Cnucucn 24284  ∞MetSpcxms 24327  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmRingcnrg 24592  NrmModcnlm 24593  ℚHomcqqh 33971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-gz 16968  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-od 19546  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-metu 21363  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zlm 21515  df-chr 21516  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-fil 23854  df-ust 24209  df-uss 24265  df-ucn 24285  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-qqh 33972
This theorem is referenced by:  rrhcn  33998
  Copyright terms: Public domain W3C validator