Theorem ngpms 24919

Description: A normed group is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpms	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)

Proof of Theorem ngpms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24915	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
5	4	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  distcds 17437  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  MetSpcms 24637  normcnm 24895  NrmGrpcngp 24896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-co 5659  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ngp 24902

This theorem is used by:  ngpxms  24920  ngptps  24921  ngpmet  24922  isngp4  24931  nmmtri  24941  nmrtri  24943  subgngp  24954  ngptgp  24955  tngngp2  24971  nlmvscnlem2  25004  nlmvscnlem1  25005  nlmvscn  25006  nrginvrcn  25011  nghmcn  25064  nmcn  25164  nmhmcn  25441  ipcnlem2  25565  ipcnlem1  25566  ipcn  25567  nglmle  25623  cssbn  25696  minveclem2  25747  minveclem3b  25749  minveclem3  25750  minveclem4  25753  minveclem7  25756