Theorem ngpds3 22740

Description: Write the distance between two points in terms of distance from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpds2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ngpds2.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ngpds2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpds3	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ( 0 𝐷(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem ngpds3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpds2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		ngpds2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		ngpds2.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ngpds2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	ngpds2 22738	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)𝐷 0 ))
6		ngpxms 22733	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
7	6	3ad2ant1 1164	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		ngpgrp 22731	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 3	grpsubcl 17811	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
10	8, 9	syl3an1 1203	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
11	8	3ad2ant1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 2	grpidcl 17766	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ 𝑋)
14	1, 4	xmssym 22598	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐴 − 𝐵)𝐷 0 ) = ( 0 𝐷(𝐴 − 𝐵)))
15	7, 10, 13, 14	syl3anc 1491	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 − 𝐵)𝐷 0 ) = ( 0 𝐷(𝐴 − 𝐵)))
16	5, 15	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ( 0 𝐷(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  distcds 16276  0_gc0g 16415  Grpcgrp 17738  -_gcsg 17740  ∞MetSpcxms 22450  NrmGrpcngp 22710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-0g 16417  df-topgen 16419  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-xms 22453  df-ms 22454  df-nm 22715  df-ngp 22716

This theorem is referenced by:  ngpds3r  22741