Theorem ngpds3 23217

Description: Write the distance between two points in terms of distance from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpds2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpds2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ngpds2.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ngpds2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpds3	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ( 0 𝐷(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem ngpds3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpds2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		ngpds2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		ngpds2.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ngpds2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	ngpds2 23215	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)𝐷 0 ))
6		ngpxms 23210	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
7	6	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		ngpgrp 23208	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 3	grpsubcl 18179	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
10	8, 9	syl3an1 1159	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
11	8	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 2	grpidcl 18131	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ 𝑋)
14	1, 4	xmssym 23075	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐴 − 𝐵)𝐷 0 ) = ( 0 𝐷(𝐴 − 𝐵)))
15	7, 10, 13, 14	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 − 𝐵)𝐷 0 ) = ( 0 𝐷(𝐴 − 𝐵)))
16	5, 15	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ( 0 𝐷(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  distcds 16574  0_gc0g 16713  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105  ∞MetSpcxms 22927  NrmGrpcngp 23187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-xms 22930  df-ms 22931  df-nm 23192  df-ngp 23193

This theorem is referenced by:  ngpds3r  23218