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Theorem minveclem4 23962
Description: Lemma for minvec 23966. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 attains the minimum distance, and so is closer to 𝐴 than any other point in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
minvec.t 𝑇 = (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
Assertion
Ref Expression
minveclem4 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝑟,𝑦,𝐴   𝐽,𝑟,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑟,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑋,𝑟,𝑥,𝑦   𝑌,𝑟,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟,𝑥,𝑦   𝑆,𝑟,𝑥,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑈)
2 minvec.m . . . 4 = (-g𝑈)
3 minvec.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑈)
4 minvec.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
5 minvec.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.w . . . 4 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
8 minvec.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
9 minvec.r . . . 4 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
10 minvec.s . . . 4 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12 minvec.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
13 minvec.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem4a 23960 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1514elin2d 4173 . 2 (𝜑𝑃𝑌)
1611oveqi 7158 . . . . . . 7 (𝐴𝐷𝑃) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑃)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem4b 23961 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑋)
187, 17ovresd 7304 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑃) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑃))
1916, 18syl5eq 2865 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑃))
20 cphngp 23704 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
214, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
22 eqid 2818 . . . . . . . 8 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
233, 1, 2, 22ngpds 23140 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2421, 7, 17, 23syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2519, 24eqtrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2625adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
27 ngpms 23136 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
281, 11msmet 22994 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2921, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
30 metcl 22869 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
3129, 7, 17, 30syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem4c 23955 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
3521adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
36 cphlmod 23705 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
374, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3837adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
397adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
40 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
411, 40lssss 19637 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
425, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
4342sselda 3964 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
441, 2lmodvsubcl 19608 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
4538, 39, 43, 44syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
461, 3nmcl 23152 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
4735, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
4833, 31ltnled 10775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ ¬ (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12minveclem3b 23958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
50 fbsspw 22368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
52 sspwb 5332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5342, 52sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5451, 53sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
551fvexi 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ V)
57 fbasweak 22401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5849, 54, 56, 57syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
60 fgcl 22414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
62 ssfg 22408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
6359, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
64 minvec.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑇 = (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
6531, 33readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ)
6665rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
6766resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
6833resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
6967, 68resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
7133, 31, 33ltadd1d 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
7233recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
73722timesd 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑆 + 𝑆))
7473breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
75 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℝ
76 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < 2
7775, 76pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
79 ltmuldiv2 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
8033, 65, 78, 79syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
8171, 74, 803bitr2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
821, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9minveclem1 23954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8382simp3d 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
8482simp1d 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
8582simp2d 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
86 0re 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
87 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
8887ralbidv 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8988rspcev 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
9086, 83, 89sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
9186a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
92 infregelb 11613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9384, 85, 90, 91, 92syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9483, 93mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
9594, 10breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
96 metge0 22882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑃))
9729, 7, 17, 96syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑃))
9831, 33, 97, 95addge0d 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆))
99 divge0 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
10065, 98, 78, 99syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
10133, 66, 95, 100lt2sqd 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ (𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
10268, 67posdifd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
10381, 101, 1023bitrd 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
104103biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
10570, 104elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ+)
10664, 105eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1075adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
108 rabexg 5225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V)
110 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
111 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑇 → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + 𝑇))
112111breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑇 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)))
113112rabbidv 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑇 → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)})
114110, 113elrnmpt1s 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
115106, 109, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
116115, 12eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ 𝐹)
11763, 116sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
118 ssrab2 4053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋)
12064oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆↑2) + 𝑇) = ((𝑆↑2) + (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
12168ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
122121recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
12366ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
124123resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
125124recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℂ)
126122, 125pncan3d 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2))
127120, 126syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + 𝑇) = ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2))
128127breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
12929ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1307ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
13143adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
132 metcl 22869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
133129, 130, 131, 132syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
134 metge0 22882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
135129, 130, 131, 134syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
136100ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
137133, 123, 135, 136le2sqd 13608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
138128, 137bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
139138rabbidva 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} = {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
14042adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑌𝑋)
141 rabss2 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌𝑋 → {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
143139, 142eqsstrd 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
144 filss 22389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
14561, 117, 119, 143, 144syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
146 flimclsi 22514 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
14814elin1d 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
149148adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
150147, 149sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
151 ngpxms 23137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
1521, 11xmsxmet 22993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
15321, 151, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1557adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐴𝑋)
15666adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
157156rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*)
158 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
159 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}
160158, 159blcld 23042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
161154, 155, 157, 160syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
1628, 1, 11xmstopn 22988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
16321, 151, 1623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
164163adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
165164fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
166161, 165eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘𝐽))
167 cldcls 21578 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}) = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}) = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
169150, 168eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
170 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑃 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑃))
171170breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
172171elrab 3677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
173172simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
174169, 173syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
17531, 33, 31leadd2d 11223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
17631recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℂ)
1771762timesd 11868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝐴𝐷𝑃)) = ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)))
178177breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
179 lemuldiv2 11509 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
18077, 179mp3an3 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ) → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
18131, 65, 180syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
182175, 178, 1813bitr2d 308 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
183182biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
184174, 183syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
185184ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
18648, 185sylbird 261 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
187186pm2.18d 127 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
188187adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
18984adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
19090adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
191 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
192 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
193 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
194193elrnmpt1 5823 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
195191, 192, 194sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
196195, 9eleqtrrdi 2921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ 𝑅)
197 infrelb 11614 . . . . . . 7 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
198189, 190, 196, 197syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
19910, 198eqbrtrid 5092 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20032, 34, 47, 188, 199letrd 10785 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20126, 200eqbrtrrd 5081 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
202201ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
203 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑃))
204203fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑥 = 𝑃 → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
205204breq1d 5067 . . . 4 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
206205ralbidv 3194 . . 3 (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
207206rspcev 3620 . 2 ((𝑃𝑌 ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20815, 202, 207syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  ran crn 5549  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  +crp 12377  cexp 13417  Basecbs 16471  s cress 16472  distcds 16562  TopOpenctopn 16683  -gcsg 18043  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459  fBascfbas 20461  filGencfg 20462  MetOpencmopn 20463  Clsdccld 21552  clsccl 21554  Filcfil 22381   fLim cflim 22470  ∞MetSpcxms 22854  MetSpcms 22855  normcnm 23113  NrmGrpcngp 23114  ℂPreHilccph 23697  CMetSpccms 23862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-0g 16703  df-topgen 16705  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-phl 20698  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-haus 21851  df-fil 22382  df-flim 22475  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nlm 23123  df-clm 23594  df-cph 23699  df-cfil 23785  df-cmet 23787  df-cms 23865
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