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Theorem minveclem4 24796
Description: Lemma for minvec 24800. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 attains the minimum distance, and so is closer to 𝐴 than any other point in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
minvec.t 𝑇 = (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
Assertion
Ref Expression
minveclem4 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝑟,𝑦,𝐴   𝐽,𝑟,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑟,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑋,𝑟,𝑥,𝑦   𝑌,𝑟,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟,𝑥,𝑦   𝑆,𝑟,𝑥,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑈)
2 minvec.m . . . 4 = (-g𝑈)
3 minvec.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑈)
4 minvec.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
5 minvec.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.w . . . 4 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
8 minvec.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
9 minvec.r . . . 4 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
10 minvec.s . . . 4 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12 minvec.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
13 minvec.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem4a 24794 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1514elin2d 4159 . 2 (𝜑𝑃𝑌)
1611oveqi 7370 . . . . . . 7 (𝐴𝐷𝑃) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑃)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem4b 24795 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑋)
187, 17ovresd 7521 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑃) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑃))
1916, 18eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑃))
20 cphngp 24537 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
214, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
22 eqid 2736 . . . . . . . 8 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
233, 1, 2, 22ngpds 23960 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2421, 7, 17, 23syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2519, 24eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2625adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
27 ngpms 23956 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
281, 11msmet 23810 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2921, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
30 metcl 23685 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
3129, 7, 17, 30syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem4c 24789 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
3521adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
36 cphlmod 24538 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
374, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3837adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
397adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
40 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
411, 40lssss 20397 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
425, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
4342sselda 3944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
441, 2lmodvsubcl 20367 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
4538, 39, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
461, 3nmcl 23972 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
4735, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
4833, 31ltnled 11302 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ ¬ (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12minveclem3b 24792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
50 fbsspw 23183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5242sspwd 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5351, 52sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
541fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 ∈ V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ V)
56 fbasweak 23216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5749, 53, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
59 fgcl 23229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
61 ssfg 23223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
6258, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
63 minvec.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑇 = (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
6431, 33readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ)
6564rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
6665resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
6733resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
6866, 67resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
7033, 31, 33ltadd1d 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
7133recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
72712timesd 12396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑆 + 𝑆))
7372breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
74 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℝ
75 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < 2
7674, 75pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
78 ltmuldiv2 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
7933, 64, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
8070, 73, 793bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9minveclem1 24788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8281simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
8381simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
8481simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
85 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
86 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
8786ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8887rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
8985, 82, 88sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
9085a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
91 infregelb 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9283, 84, 89, 90, 91syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9382, 92mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
9493, 10breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
95 metge0 23698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑃))
9629, 7, 17, 95syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑃))
9731, 33, 96, 94addge0d 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆))
98 divge0 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
9964, 97, 77, 98syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
10033, 65, 94, 99lt2sqd 14159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ (𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
10167, 66posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
10280, 100, 1013bitrd 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
103102biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
10469, 103elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ+)
10563, 104eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1065adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
107 rabexg 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V)
109 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
110 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑇 → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + 𝑇))
111110breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑇 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)))
112111rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑇 → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)})
113109, 112elrnmpt1s 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
114105, 108, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
115114, 12eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ 𝐹)
11662, 115sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
117 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋)
11963oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆↑2) + 𝑇) = ((𝑆↑2) + (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
12067ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
121120recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
12265ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
123122resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
124123recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℂ)
125121, 124pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2))
126119, 125eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + 𝑇) = ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2))
127126breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
12829ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1297ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
13043adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
131 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
132128, 129, 130, 131syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
133 metge0 23698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
134128, 129, 130, 133syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
13599ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
136132, 122, 134, 135le2sqd 14160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
137127, 136bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
138137rabbidva 3414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} = {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
13942adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑌𝑋)
140 rabss2 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌𝑋 → {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
142138, 141eqsstrd 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
143 filss 23204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
14460, 116, 118, 142, 143syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
145 flimclsi 23329 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
14714elin1d 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
148147adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
149146, 148sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
150 ngpxms 23957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
1511, 11xmsxmet 23809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
15221, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
153152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1547adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐴𝑋)
15565adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
156155rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*)
157 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
158 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}
159157, 158blcld 23861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
160153, 154, 156, 159syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
1618, 1, 11xmstopn 23804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
16221, 150, 1613syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
163162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
164163fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
165160, 164eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘𝐽))
166 cldcls 22393 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}) = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
167165, 166syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}) = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
168149, 167eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
169 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑃 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑃))
170169breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
171170elrab 3645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
172171simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
173168, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
17431, 33, 31leadd2d 11750 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
17531recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℂ)
1761752timesd 12396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝐴𝐷𝑃)) = ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)))
177176breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
178 lemuldiv2 12036 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
17976, 178mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ) → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
18031, 64, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
181174, 177, 1803bitr2d 306 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
182181biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
183173, 182syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
184183ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
18548, 184sylbird 259 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
186185pm2.18d 127 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
187186adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
18883adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
18989adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
190 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
191 fvex 6855 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
192 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
193192elrnmpt1 5913 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
194190, 191, 193sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
195194, 9eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ 𝑅)
196 infrelb 12140 . . . . . . 7 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
197188, 189, 195, 196syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
19810, 197eqbrtrid 5140 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
19932, 34, 47, 187, 198letrd 11312 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20026, 199eqbrtrrd 5129 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
201200ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
202 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑃))
203202fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = 𝑃 → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
204203breq1d 5115 . . . 4 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
205204ralbidv 3174 . . 3 (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
206205rspcev 3581 . 2 ((𝑃𝑌 ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20715, 201, 206syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  cexp 13967  Basecbs 17083  s cress 17112  distcds 17142  TopOpenctopn 17303  -gcsg 18750  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  fBascfbas 20784  filGencfg 20785  MetOpencmopn 20786  Clsdccld 22367  clsccl 22369  Filcfil 23196   fLim cflim 23285  ∞MetSpcxms 23670  MetSpcms 23671  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  ℂPreHilccph 24530  CMetSpccms 24696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-haus 22666  df-fil 23197  df-flim 23290  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nlm 23942  df-clm 24426  df-cph 24532  df-cfil 24619  df-cmet 24621  df-cms 24699
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