Theorem nrgngp 24830

Description: A normed ring is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgngp	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem nrgngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	isnrg 24828	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing ↔ (𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  AbsValcabv 20922  normcnm 24744  NrmGrpcngp 24745  NrmRingcnrg 24747

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544  df-nrg 24753

This theorem is used by:  nrgdsdi  24833  nrgdsdir  24834  unitnmn0  24836  nminvr  24837  nmdvr  24838  nrgtgp  24840  subrgnrg  24841  nlmngp2  24848  sranlm  24852  nrginvrcnlem  24859  nrginvrcn  24860  cnzh  34367  rezh  34368  qqhcn  34390  qqhucn  34391  rrhcn  34396  rrhf  34397  rrexttps  34405  rrexthaus  34406