MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nrgdsdir 24174
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmul.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
nrgdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdir ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)))
Proof of Theorem nrgdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
2 nrgring 24171 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 20054 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 simpr1 1194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
8 nmmul.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
108, 9grpsubcl 18899 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋)
115, 6, 7, 10syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋)
12 simpr3 1196 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
13 nmmul.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
14 nmmul.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
158, 13, 14nmmul 24172 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
161, 11, 12, 15syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
178, 14, 9, 3, 6, 7, 12ringsubdir 20113 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢) = ((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢)))
1817fveq2d 6892 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
1916, 18eqtr3d 2774 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
20 nrgngp 24170 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
22 nrgdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
2313, 8, 9, 22ngpds 24104 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)))
2421, 6, 7, 23syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)))
2524oveq1d 7420 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
268, 14ringcl 20066 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
273, 6, 12, 26syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
288, 14ringcl 20066 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
293, 7, 12, 28syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
3013, 8, 9, 22ngpds 24104 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
3219, 25, 313eqtr4d 2782 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Β· cmul 11111  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  distcds 17202  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  Ringcrg 20049  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  NrmRingcnrg 24079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-abv 20417  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator