MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nrgdsdir 24611
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmul.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
nrgdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdir ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)))
Proof of Theorem nrgdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
2 nrgring 24608 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 20192 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
8 nmmul.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
108, 9grpsubcl 18990 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋)
115, 6, 7, 10syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋)
12 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
13 nmmul.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
14 nmmul.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
158, 13, 14nmmul 24609 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
161, 11, 12, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
178, 14, 9, 3, 6, 7, 12ringsubdir 20258 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢) = ((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢)))
1817fveq2d 6906 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
1916, 18eqtr3d 2770 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
20 nrgngp 24607 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
2120adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
22 nrgdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
2313, 8, 9, 22ngpds 24541 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)))
2421, 6, 7, 23syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)))
2524oveq1d 7441 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
268, 14ringcl 20204 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
273, 6, 12, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
288, 14ringcl 20204 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
293, 7, 12, 28syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
3013, 8, 9, 22ngpds 24541 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
3219, 25, 313eqtr4d 2778 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   Β· cmul 11153  Basecbs 17189  .rcmulr 17243  distcds 17251  Grpcgrp 18904  -gcsg 18906  Ringcrg 20187  normcnm 24513  NrmGrpcngp 24514  NrmRingcnrg 24516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-topgen 17434  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-abv 20711  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-xms 24254  df-ms 24255  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-nrg 24522
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator