Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgdsdir 23368
 Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t · = (.r𝑅)
nrgdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdir ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem nrgdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2 nrgring 23365 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 19370 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ Grp)
6 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
7 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
8 nmmul.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝑅)
9 eqid 2758 . . . . . 6 (-g𝑅) = (-g𝑅)
108, 9grpsubcl 18246 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑋)
115, 6, 7, 10syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑋)
12 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
13 nmmul.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
14 nmmul.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
158, 13, 14nmmul 23366 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (𝑁‘((𝐴(-g𝑅)𝐵) · 𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝐵)) · (𝑁𝐶)))
161, 11, 12, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘((𝐴(-g𝑅)𝐵) · 𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝐵)) · (𝑁𝐶)))
178, 14, 9, 3, 6, 7, 12rngsubdir 19421 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴(-g𝑅)𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g𝑅)(𝐵 · 𝐶)))
1817fveq2d 6662 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘((𝐴(-g𝑅)𝐵) · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
1916, 18eqtr3d 2795 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝐵)) · (𝑁𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
20 nrgngp 23364 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2120adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
22 nrgdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑅)
2313, 8, 9, 22ngpds 23306 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝐵)))
2421, 6, 7, 23syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝐵)))
2524oveq1d 7165 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝐵)) · (𝑁𝐶)))
268, 14ringcl 19382 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
273, 6, 12, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
288, 14ringcl 19382 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋)
293, 7, 12, 28syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋)
3013, 8, 9, 22ngpds 23306 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
3219, 25, 313eqtr4d 2803 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   · cmul 10580  Basecbs 16541  .rcmulr 16624  distcds 16632  Grpcgrp 18169  -gcsg 18171  Ringcrg 19365  normcnm 23278  NrmGrpcngp 23279  NrmRingcnrg 23281 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-topgen 16775  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-abv 19656  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-xms 23022  df-ms 23023  df-nm 23284  df-ngp 23285  df-nrg 23287 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator