Theorem nrgdsdir 24164

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
nrgdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrgdsdir	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem nrgdsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		nrgring 24161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringgrp 20051	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Grp)
6		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
8		nmmul.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
10	8, 9	grpsubcl 18898	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑋)
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑋)
12		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
13		nmmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
14		nmmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	8, 13, 14	nmmul 24162	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴(-g‘𝑅)𝐵) · 𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)) · (𝑁‘𝐶)))
16	1, 11, 12, 15	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝐴(-g‘𝑅)𝐵) · 𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)) · (𝑁‘𝐶)))
17	8, 14, 9, 3, 6, 7, 12	ringsubdir 20109	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(-g‘𝑅)𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶)))
18	17	fveq2d 6891	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝐴(-g‘𝑅)𝐵) · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
19	16, 18	eqtr3d 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)) · (𝑁‘𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
20		nrgngp 24160	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
21	20	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
22		nrgdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
23	13, 8, 9, 22	ngpds 24094	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)))
24	21, 6, 7, 23	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)))
25	24	oveq1d 7418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁‘𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)) · (𝑁‘𝐶)))
26	8, 14	ringcl 20063	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
27	3, 6, 12, 26	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
28	8, 14	ringcl 20063	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋)
29	3, 7, 12, 28	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋)
30	13, 8, 9, 22	ngpds 24094	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
32	19, 25, 31	3eqtr4d 2783	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403   · cmul 11110  Basecbs 17139  ._rcmulr 17193  distcds 17201  Grpcgrp 18814  -_gcsg 18816  Ringcrg 20046  normcnm 24066  NrmGrpcngp 24067  NrmRingcnrg 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-plusg 17205  df-0g 17382  df-topgen 17384  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-sbg 18819  df-mgp 19979  df-ur 19996  df-ring 20048  df-abv 20412  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-xms 23807  df-ms 23808  df-nm 24072  df-ngp 24073  df-nrg 24075

This theorem is referenced by: (None)