Theorem nrgdsdir 24985

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
nrgdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrgdsdir	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem nrgdsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		nrgring 24982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringgrp 20464	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Grp)
6		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
8		nmmul.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
10	8, 9	grpsubcl 19230	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑋)
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑋)
12		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
13		nmmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
14		nmmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	8, 13, 14	nmmul 24983	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴(-g‘𝑅)𝐵) · 𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)) · (𝑁‘𝐶)))
16	1, 11, 12, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝐴(-g‘𝑅)𝐵) · 𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)) · (𝑁‘𝐶)))
17	8, 14, 9, 3, 6, 7, 12	ringsubdir 20539	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(-g‘𝑅)𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶)))
18	17	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝐴(-g‘𝑅)𝐵) · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
19	16, 18	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)) · (𝑁‘𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
20		nrgngp 24981	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
22		nrgdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
23	13, 8, 9, 22	ngpds 24923	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)))
24	21, 6, 7, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)))
25	24	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁‘𝐶)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝐵)) · (𝑁‘𝐶)))
26	8, 14	ringcl 20477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
27	3, 6, 12, 26	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
28	8, 14	ringcl 20477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋)
29	3, 7, 12, 28	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋)
30	13, 8, 9, 22	ngpds 24923	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐶)(-g‘𝑅)(𝐵 · 𝐶))))
32	19, 25, 31	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) · (𝑁‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶)𝐷(𝐵 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   · cmul 11205  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  distcds 17437  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  Ringcrg 20459  normcnm 24895  NrmGrpcngp 24896  NrmRingcnrg 24898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-topgen 17614  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-abv 21066  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-xms 24639  df-ms 24640  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nrg 24904

This theorem is used by: (None)