MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nrgdsdir 24538
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmul.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
nrgdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdir ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)))
Proof of Theorem nrgdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
2 nrgring 24535 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 20143 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
8 nmmul.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
108, 9grpsubcl 18948 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋)
115, 6, 7, 10syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋)
12 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
13 nmmul.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
14 nmmul.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
158, 13, 14nmmul 24536 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
161, 11, 12, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
178, 14, 9, 3, 6, 7, 12ringsubdir 20207 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢) = ((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢)))
1817fveq2d 6889 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡) Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
1916, 18eqtr3d 2768 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
20 nrgngp 24534 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
2120adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
22 nrgdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
2313, 8, 9, 22ngpds 24468 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)))
2421, 6, 7, 23syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)))
2524oveq1d 7420 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐡)) Β· (π‘β€˜πΆ)))
268, 14ringcl 20155 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
273, 6, 12, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
288, 14ringcl 20155 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
293, 7, 12, 28syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
3013, 8, 9, 22ngpds 24468 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)(𝐡 Β· 𝐢))))
3219, 25, 313eqtr4d 2776 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) Β· (π‘β€˜πΆ)) = ((𝐴 Β· 𝐢)𝐷(𝐡 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   Β· cmul 11117  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  distcds 17215  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  Ringcrg 20138  normcnm 24440  NrmGrpcngp 24441  NrmRingcnrg 24443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-abv 20660  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-xms 24181  df-ms 24182  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nrg 24449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator