Theorem nrginvrcn 24636

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
nrginvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgring 24607	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 20319	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
5	2, 3	unitgrpbas 20318	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	2, 3, 6	invrfval 20325	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
8	5, 7	grpinvf 18916	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
9	1, 4, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
10		1rp 12909	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	ne0ii 4296	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
12	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
14	13, 2	unitss 20312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑋
15		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16	14, 15	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑋)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
18	14, 17	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑋)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21	13, 19, 20	ring1eq0 20233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)
24		nrgngp 24606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25		ngpms 24544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ MetSp)
26		msxms 24398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
29	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
30	29	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑈)
31	14, 30	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
32		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
33	13, 32	xmseq0 24408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
34	28, 31, 31, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
35	23, 34	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0)
36		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 12952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 0 < 𝑟)
38	35, 37	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
39		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
40	39	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
41	40	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
42	38, 41	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
43	22, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
44	43	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
45	44	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
46	45	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
47	46	ralrimiva 3128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
48	47	ralrimivw 3132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
49		r19.2z 4452	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
50	11, 48, 49	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
51		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
52		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
53	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
54		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
55	19, 20	isnzr 20447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
56	53, 54, 55	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
57		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
58		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
59		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2))
60	13, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59	nrginvrcnlem 24635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
61	50, 60	pm2.61dane 3019	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
62	15, 17	ovresd 7525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) = (𝑥(dist‘𝑅)𝑦))
63	62	breq1d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠))
64		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑈)
65		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
66	9, 64, 65	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
68	67, 30	ovresd 7525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
69	68	breq1d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
70	63, 69	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
71	70	ralbidva 3157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
72	71	rexbidv 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
73	61, 72	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
74	73	ralrimivva 3179	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
75		xpss12 5639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
76	14, 14, 75	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
77		resabs1 5965	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))
79		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
80	13, 79	xmsxmet 24400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
81	24, 25, 26, 80	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
82		xmetres2 24305	. . . . . 6 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
83	81, 14, 82	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
84	78, 83	eqeltrrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
85		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
86	85, 85	metcn 24487	. . . 4 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈)) → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
87	84, 84, 86	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
88	9, 74, 87	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
89		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
90	89, 13, 79	mstopn 24396	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
91	24, 25, 90	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
92	91	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈))
93	78	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈))
94		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
95	93, 94, 85	metrest 24468	. . . . 5 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
96	81, 14, 95	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
97	92, 96	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
98	97, 97	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
99	88, 98	eleqtrrd 2839	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ifcif 4479   class class class wbr 5098   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  distcds 17186   ↾_t crest 17340  TopOpenctopn 17341  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  Unitcui 20291  inv_rcinvr 20323  NzRingcnzr 20445  ∞Metcxmet 21294  MetOpencmopn 21299   Cn ccn 23168  ∞MetSpcxms 24261  MetSpcms 24262  normcnm 24520  NrmGrpcngp 24521  NrmRingcnrg 24523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-rest 17342  df-0g 17361  df-topgen 17363  df-xrs 17423  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-nzr 20446  df-abv 20742  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-xms 24264  df-ms 24265  df-nm 24526  df-ngp 24527  df-nrg 24529

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24637