MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcn 24216
Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nrginvrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
nrginvrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nrginvrcn (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))

Proof of Theorem nrginvrcn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrgring 24187 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 nrginvrcn.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
3 eqid 2732 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
42, 3unitgrp 20201 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
52, 3unitgrpbas 20200 . . . . 5 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
6 nrginvrcn.i . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
72, 3, 6invrfval 20207 . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
85, 7grpinvf 18873 . . . 4 (((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
91, 4, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
10 1rp 12980 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
1110ne0ii 4337 . . . . . . 7 ℝ+ β‰  βˆ…
121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 nrginvrcn.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
1413, 2unitss 20194 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ˆ βŠ† 𝑋
15 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
1614, 15sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
1814, 17sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2113, 19, 20ring1eq0 20114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ = 𝑦))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)
24 nrgngp 24186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
25 ngpms 24116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmGrp β†’ 𝑅 ∈ MetSp)
26 msxms 23967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ MetSp β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
3029ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ π‘ˆ)
3114, 30sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
32 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
3313, 32xmseq0 23977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ (((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)))
3428, 31, 31, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)))
3523, 34mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0)
36 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
3736rpgt0d 13021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 0 < π‘Ÿ)
3835, 37eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
39 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘¦))
4039oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))
4140breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ ↔ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4238, 41syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4322, 42syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4443imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
4544an32s 650 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
4645a1d 25 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4746ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4847ralrimivw 3150 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
49 r19.2z 4494 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
5011, 48, 49sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
51 eqid 2732 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘…) = (normβ€˜π‘…)
52 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
531ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
5519, 20isnzr 20297 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
5653, 54, 55sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
57 simplrl 775 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
58 simplrr 776 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
59 eqid 2732 . . . . . . 7 (if(1 ≀ (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ), 1, (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)) Β· (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) / 2)) = (if(1 ≀ (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ), 1, (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)) Β· (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) / 2))
6013, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59nrginvrcnlem 24215 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6150, 60pm2.61dane 3029 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6215, 17ovresd 7576 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) = (π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦))
6362breq1d 5158 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 ↔ (π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠))
64 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
65 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
669, 64, 65syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
6766adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
6867, 30ovresd 7576 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) = ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))
6968breq1d 5158 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ ↔ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
7063, 69imbi12d 344 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7170ralbidva 3175 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7271rexbidv 3178 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7361, 72mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
7473ralrimivva 3200 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
75 xpss12 5691 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βŠ† 𝑋 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
7614, 14, 75mp2an 690 . . . . . 6 (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)
77 resabs1 6011 . . . . . 6 ((π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
79 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
8013, 79xmsxmet 23969 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8124, 25, 26, 804syl 19 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
82 xmetres2 23874 . . . . . 6 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
8381, 14, 82sylancl 586 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
8478, 83eqeltrrid 2838 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
85 eqid 2732 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))
8685, 85metcn 24059 . . . 4 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ) ∧ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))) ↔ (𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))))
8784, 84, 86syl2anc 584 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))) ↔ (𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))))
889, 74, 87mpbir2and 711 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))))
89 nrginvrcn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
9089, 13, 79mstopn 23965 . . . . . 6 (𝑅 ∈ MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
9124, 25, 903syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
9291oveq1d 7426 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) = ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ))
9378eqcomi 2741 . . . . . 6 ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
94 eqid 2732 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
9593, 94, 85metrest 24040 . . . . 5 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9681, 14, 95sylancl 586 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9792, 96eqtrd 2772 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9897, 97oveq12d 7429 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) = ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))))
9988, 98eleqtrrd 2836 1 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  2c2 12269  β„+crp 12976  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  distcds 17208   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  mulGrpcmgp 19989  1rcur 20006  Ringcrg 20058  Unitcui 20173  invrcinvr 20205  NzRingcnzr 20295  βˆžMetcxmet 20935  MetOpencmopn 20940   Cn ccn 22735  βˆžMetSpcxms 23830  MetSpcms 23831  normcnm 24092  NrmGrpcngp 24093  NrmRingcnrg 24095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-rest 17370  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-xrs 17450  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-nzr 20296  df-abv 20429  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-xms 23833  df-ms 23834  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nrg 24101
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24217
  Copyright terms: Public domain W3C validator