MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcn 24700
Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invr𝑅)
nrginvrcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
nrginvrcn (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)))

Proof of Theorem nrginvrcn
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrgring 24671 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 nrginvrcn.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2726 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
42, 3unitgrp 20365 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
52, 3unitgrpbas 20364 . . . . 5 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
6 nrginvrcn.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
72, 3, 6invrfval 20371 . . . . 5 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
85, 7grpinvf 18981 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp → 𝐼:𝑈𝑈)
91, 4, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼:𝑈𝑈)
10 1rp 13032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
1110ne0ii 4340 . . . . . . 7 + ≠ ∅
121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13 nrginvrcn.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (Base‘𝑅)
1413, 2unitss 20358 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈𝑋
15 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑥𝑈)
1614, 15sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑥𝑋)
17 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
1814, 17sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑋)
19 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
20 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2113, 19, 20ring1eq0 20277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
23 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)
24 nrgngp 24670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25 ngpms 24600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ MetSp)
26 msxms 24451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
299adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼:𝑈𝑈)
3029ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑈)
3114, 30sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
32 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
3313, 32xmseq0 24461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0 ↔ (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)))
3428, 31, 31, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0 ↔ (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)))
3523, 34mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0)
36 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3736rpgt0d 13073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 0 < 𝑟)
3835, 37eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
39 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑦))
4039oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)))
4140breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4238, 41syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4322, 42syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4443imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
4544an32s 650 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
4645a1d 25 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4746ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∀𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4847ralrimivw 3140 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
49 r19.2z 4499 . . . . . . 7 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
5011, 48, 49sylancr 585 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
51 eqid 2726 . . . . . . 7 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
52 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
531ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
54 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
5519, 20isnzr 20496 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
5653, 54, 55sylanbrc 581 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
57 simplrl 775 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑥𝑈)
58 simplrr 776 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
59 eqid 2726 . . . . . . 7 (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2))
6013, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59nrginvrcnlem 24699 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
6150, 60pm2.61dane 3019 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
6215, 17ovresd 7593 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) = (𝑥(dist‘𝑅)𝑦))
6362breq1d 5163 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠))
64 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑈)
65 ffvelcdm 7095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼:𝑈𝑈𝑥𝑈) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
669, 64, 65syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
6766adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
6867, 30ovresd 7593 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)))
6968breq1d 5163 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
7063, 69imbi12d 343 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7170ralbidva 3166 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ∀𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7271rexbidv 3169 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7361, 72mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))
7473ralrimivva 3191 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))
75 xpss12 5697 . . . . . . 7 ((𝑈𝑋𝑈𝑋) → (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7614, 14, 75mp2an 690 . . . . . 6 (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
77 resabs1 6016 . . . . . 6 ((𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5 (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))
79 eqid 2726 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
8013, 79xmsxmet 24453 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
8124, 25, 26, 804syl 19 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
82 xmetres2 24358 . . . . . 6 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
8381, 14, 82sylancl 584 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
8478, 83eqeltrrid 2831 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
85 eqid 2726 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
8685, 85metcn 24543 . . . 4 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈)) → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))))
8784, 84, 86syl2anc 582 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))))
889, 74, 87mpbir2and 711 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
89 nrginvrcn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
9089, 13, 79mstopn 24449 . . . . . 6 (𝑅 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
9124, 25, 903syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
9291oveq1d 7439 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽t 𝑈) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈))
9378eqcomi 2735 . . . . . 6 ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈))
94 eqid 2726 . . . . . 6 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
9593, 94, 85metrest 24524 . . . . 5 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9681, 14, 95sylancl 584 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9792, 96eqtrd 2766 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9897, 97oveq12d 7442 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
9988, 98eleqtrrd 2829 1 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  wss 3947  c0 4325  ifcif 4533   class class class wbr 5153   × cxp 5680  cres 5684  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299   / cdiv 11921  2c2 12319  +crp 13028  Basecbs 17213  s cress 17242  distcds 17275  t crest 17435  TopOpenctopn 17436  0gc0g 17454  Grpcgrp 18928  mulGrpcmgp 20117  1rcur 20164  Ringcrg 20216  Unitcui 20337  invrcinvr 20369  NzRingcnzr 20494  ∞Metcxmet 21328  MetOpencmopn 21333   Cn ccn 23219  ∞MetSpcxms 24314  MetSpcms 24315  normcnm 24576  NrmGrpcngp 24577  NrmRingcnrg 24579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-rest 17437  df-0g 17456  df-topgen 17458  df-xrs 17517  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-nzr 20495  df-abv 20788  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-xms 24317  df-ms 24318  df-nm 24582  df-ngp 24583  df-nrg 24585
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24701
  Copyright terms: Public domain W3C validator