MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcn 24728
Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invr𝑅)
nrginvrcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
nrginvrcn (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)))

Proof of Theorem nrginvrcn
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrgring 24699 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 nrginvrcn.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2734 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
42, 3unitgrp 20399 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
52, 3unitgrpbas 20398 . . . . 5 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
6 nrginvrcn.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
72, 3, 6invrfval 20405 . . . . 5 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
85, 7grpinvf 19016 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp → 𝐼:𝑈𝑈)
91, 4, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼:𝑈𝑈)
10 1rp 13035 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
1110ne0ii 4349 . . . . . . 7 + ≠ ∅
121ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13 nrginvrcn.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (Base‘𝑅)
1413, 2unitss 20392 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈𝑋
15 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑥𝑈)
1614, 15sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑥𝑋)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
1814, 17sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑋)
19 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
20 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2113, 19, 20ring1eq0 20311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
23 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)
24 nrgngp 24698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25 ngpms 24628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ MetSp)
26 msxms 24479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2827ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼:𝑈𝑈)
3029ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑈)
3114, 30sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
32 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
3313, 32xmseq0 24489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0 ↔ (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)))
3428, 31, 31, 33syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0 ↔ (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)))
3523, 34mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0)
36 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3736rpgt0d 13077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 0 < 𝑟)
3835, 37eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
39 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑦))
4039oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)))
4140breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4238, 41syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4322, 42syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4443imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
4544an32s 652 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
4645a1d 25 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4746ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∀𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4847ralrimivw 3147 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
49 r19.2z 4500 . . . . . . 7 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
5011, 48, 49sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
51 eqid 2734 . . . . . . 7 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
52 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
531ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
54 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
5519, 20isnzr 20530 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
5653, 54, 55sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
57 simplrl 777 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑥𝑈)
58 simplrr 778 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
59 eqid 2734 . . . . . . 7 (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2))
6013, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59nrginvrcnlem 24727 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
6150, 60pm2.61dane 3026 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
6215, 17ovresd 7599 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) = (𝑥(dist‘𝑅)𝑦))
6362breq1d 5157 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠))
64 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑈)
65 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼:𝑈𝑈𝑥𝑈) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
669, 64, 65syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
6766adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
6867, 30ovresd 7599 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)))
6968breq1d 5157 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
7063, 69imbi12d 344 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7170ralbidva 3173 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ∀𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7271rexbidv 3176 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7361, 72mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))
7473ralrimivva 3199 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))
75 xpss12 5703 . . . . . . 7 ((𝑈𝑋𝑈𝑋) → (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7614, 14, 75mp2an 692 . . . . . 6 (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
77 resabs1 6026 . . . . . 6 ((𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5 (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))
79 eqid 2734 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
8013, 79xmsxmet 24481 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
8124, 25, 26, 804syl 19 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
82 xmetres2 24386 . . . . . 6 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
8381, 14, 82sylancl 586 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
8478, 83eqeltrrid 2843 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
85 eqid 2734 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
8685, 85metcn 24571 . . . 4 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈)) → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))))
8784, 84, 86syl2anc 584 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))))
889, 74, 87mpbir2and 713 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
89 nrginvrcn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
9089, 13, 79mstopn 24477 . . . . . 6 (𝑅 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
9124, 25, 903syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
9291oveq1d 7445 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽t 𝑈) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈))
9378eqcomi 2743 . . . . . 6 ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈))
94 eqid 2734 . . . . . 6 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
9593, 94, 85metrest 24552 . . . . 5 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9681, 14, 95sylancl 586 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9792, 96eqtrd 2774 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9897, 97oveq12d 7448 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
9988, 98eleqtrrd 2841 1 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530   class class class wbr 5147   × cxp 5686  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  2c2 12318  +crp 13031  Basecbs 17244  s cress 17273  distcds 17306  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  Ringcrg 20250  Unitcui 20371  invrcinvr 20403  NzRingcnzr 20528  ∞Metcxmet 21366  MetOpencmopn 21371   Cn ccn 23247  ∞MetSpcxms 24342  MetSpcms 24343  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605  NrmRingcnrg 24607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17468  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-xrs 17548  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-nzr 20529  df-abv 20826  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nrg 24613
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24729
  Copyright terms: Public domain W3C validator