MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcn 24072
Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nrginvrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
nrginvrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nrginvrcn (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))

Proof of Theorem nrginvrcn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrgring 24043 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 nrginvrcn.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
42, 3unitgrp 20101 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
52, 3unitgrpbas 20100 . . . . 5 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
6 nrginvrcn.i . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
72, 3, 6invrfval 20107 . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
85, 7grpinvf 18802 . . . 4 (((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
91, 4, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
10 1rp 12924 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
1110ne0ii 4298 . . . . . . 7 ℝ+ β‰  βˆ…
121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 nrginvrcn.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
1413, 2unitss 20094 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ˆ βŠ† 𝑋
15 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
1614, 15sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
1814, 17sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2113, 19, 20ring1eq0 20019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ = 𝑦))
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)
24 nrgngp 24042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
25 ngpms 23972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmGrp β†’ 𝑅 ∈ MetSp)
26 msxms 23823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ MetSp β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
299adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
3029ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ π‘ˆ)
3114, 30sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
3313, 32xmseq0 23833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ (((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)))
3428, 31, 31, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)))
3523, 34mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0)
36 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
3736rpgt0d 12965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 0 < π‘Ÿ)
3835, 37eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
39 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘¦))
4039oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))
4140breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ ↔ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4238, 41syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4322, 42syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4443imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
4544an32s 651 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
4645a1d 25 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4746ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4847ralrimivw 3144 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
49 r19.2z 4453 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
5011, 48, 49sylancr 588 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
51 eqid 2733 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘…) = (normβ€˜π‘…)
52 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
531ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
5519, 20isnzr 20745 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
5653, 54, 55sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
57 simplrl 776 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
58 simplrr 777 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
59 eqid 2733 . . . . . . 7 (if(1 ≀ (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ), 1, (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)) Β· (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) / 2)) = (if(1 ≀ (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ), 1, (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)) Β· (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) / 2))
6013, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59nrginvrcnlem 24071 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6150, 60pm2.61dane 3029 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6215, 17ovresd 7522 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) = (π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦))
6362breq1d 5116 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 ↔ (π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠))
64 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
65 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
669, 64, 65syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
6766adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
6867, 30ovresd 7522 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) = ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))
6968breq1d 5116 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ ↔ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
7063, 69imbi12d 345 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7170ralbidva 3169 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7271rexbidv 3172 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7361, 72mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
7473ralrimivva 3194 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
75 xpss12 5649 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βŠ† 𝑋 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
7614, 14, 75mp2an 691 . . . . . 6 (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)
77 resabs1 5968 . . . . . 6 ((π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
79 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
8013, 79xmsxmet 23825 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8124, 25, 26, 804syl 19 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
82 xmetres2 23730 . . . . . 6 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
8381, 14, 82sylancl 587 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
8478, 83eqeltrrid 2839 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
85 eqid 2733 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))
8685, 85metcn 23915 . . . 4 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ) ∧ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))) ↔ (𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))))
8784, 84, 86syl2anc 585 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))) ↔ (𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))))
889, 74, 87mpbir2and 712 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))))
89 nrginvrcn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
9089, 13, 79mstopn 23821 . . . . . 6 (𝑅 ∈ MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
9124, 25, 903syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
9291oveq1d 7373 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) = ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ))
9378eqcomi 2742 . . . . . 6 ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
94 eqid 2733 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
9593, 94, 85metrest 23896 . . . . 5 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9681, 14, 95sylancl 587 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9792, 96eqtrd 2773 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9897, 97oveq12d 7376 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) = ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))))
9988, 98eleqtrrd 2837 1 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  2c2 12213  β„+crp 12920  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  distcds 17147   β†Ύt crest 17307  TopOpenctopn 17308  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  mulGrpcmgp 19901  1rcur 19918  Ringcrg 19969  Unitcui 20073  invrcinvr 20105  NzRingcnzr 20743  βˆžMetcxmet 20797  MetOpencmopn 20802   Cn ccn 22591  βˆžMetSpcxms 23686  MetSpcms 23687  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949  NrmRingcnrg 23951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-rest 17309  df-0g 17328  df-topgen 17330  df-xrs 17389  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-abv 20290  df-nzr 20744  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24073
  Copyright terms: Public domain W3C validator