MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcn 24209
Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nrginvrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
nrginvrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nrginvrcn (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))

Proof of Theorem nrginvrcn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrgring 24180 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 nrginvrcn.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
42, 3unitgrp 20197 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
52, 3unitgrpbas 20196 . . . . 5 π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
6 nrginvrcn.i . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
72, 3, 6invrfval 20203 . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
85, 7grpinvf 18871 . . . 4 (((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
91, 4, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
10 1rp 12978 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
1110ne0ii 4338 . . . . . . 7 ℝ+ β‰  βˆ…
121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 nrginvrcn.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
1413, 2unitss 20190 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ˆ βŠ† 𝑋
15 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
1614, 15sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
1814, 17sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2113, 19, 20ring1eq0 20110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ π‘₯ = 𝑦))
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)
24 nrgngp 24179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
25 ngpms 24109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmGrp β†’ 𝑅 ∈ MetSp)
26 msxms 23960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ MetSp β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
299adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ)
3029ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ π‘ˆ)
3114, 30sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
3313, 32xmseq0 23970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ (((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)))
3428, 31, 31, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦)))
3523, 34mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = 0)
36 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
3736rpgt0d 13019 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 0 < π‘Ÿ)
3835, 37eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
39 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘¦))
4039oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) = ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))
4140breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ ↔ ((πΌβ€˜π‘¦)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4238, 41syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4322, 42syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4443imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
4544an32s 651 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)
4645a1d 25 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4746ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
4847ralrimivw 3151 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
49 r19.2z 4495 . . . . . . 7 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
5011, 48, 49sylancr 588 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
51 eqid 2733 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘…) = (normβ€˜π‘…)
52 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
531ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
5519, 20isnzr 20293 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
5653, 54, 55sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
57 simplrl 776 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
58 simplrr 777 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
59 eqid 2733 . . . . . . 7 (if(1 ≀ (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ), 1, (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)) Β· (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) / 2)) = (if(1 ≀ (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ), 1, (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)) Β· (((normβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) / 2))
6013, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59nrginvrcnlem 24208 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6150, 60pm2.61dane 3030 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6215, 17ovresd 7574 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) = (π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦))
6362breq1d 5159 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 ↔ (π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠))
64 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
65 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
669, 64, 65syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
6766adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
6867, 30ovresd 7574 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) = ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))
6968breq1d 5159 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ ↔ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
7063, 69imbi12d 345 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7170ralbidva 3176 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7271rexbidv 3179 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯(distβ€˜π‘…)𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)))
7361, 72mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
7473ralrimivva 3201 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
75 xpss12 5692 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βŠ† 𝑋 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
7614, 14, 75mp2an 691 . . . . . 6 (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)
77 resabs1 6012 . . . . . 6 ((π‘ˆ Γ— π‘ˆ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
79 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
8013, 79xmsxmet 23962 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8124, 25, 26, 804syl 19 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
82 xmetres2 23867 . . . . . 6 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
8381, 14, 82sylancl 587 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
8478, 83eqeltrrid 2839 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ))
85 eqid 2733 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))
8685, 85metcn 24052 . . . 4 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ) ∧ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))) ↔ (𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))))
8784, 84, 86syl2anc 585 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))) ↔ (𝐼:π‘ˆβŸΆπ‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((π‘₯((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))(πΌβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))))
889, 74, 87mpbir2and 712 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))))
89 nrginvrcn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
9089, 13, 79mstopn 23958 . . . . . 6 (𝑅 ∈ MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
9124, 25, 903syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
9291oveq1d 7424 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) = ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ))
9378eqcomi 2742 . . . . . 6 ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
94 eqid 2733 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
9593, 94, 85metrest 24033 . . . . 5 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑋) β†’ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9681, 14, 95sylancl 587 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9792, 96eqtrd 2773 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))))
9897, 97oveq12d 7427 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) = ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)))))
9988, 98eleqtrrd 2837 1 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  distcds 17206   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  mulGrpcmgp 19987  1rcur 20004  Ringcrg 20056  Unitcui 20169  invrcinvr 20201  NzRingcnzr 20291  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934   Cn ccn 22728  βˆžMetSpcxms 23823  MetSpcms 23824  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmRingcnrg 24088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17368  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-xrs 17448  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-nzr 20292  df-abv 20425  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24210
  Copyright terms: Public domain W3C validator