MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcn 24056
Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invr𝑅)
nrginvrcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
nrginvrcn (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)))

Proof of Theorem nrginvrcn
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrgring 24027 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 nrginvrcn.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2736 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
42, 3unitgrp 20096 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
52, 3unitgrpbas 20095 . . . . 5 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
6 nrginvrcn.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
72, 3, 6invrfval 20102 . . . . 5 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
85, 7grpinvf 18797 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp → 𝐼:𝑈𝑈)
91, 4, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼:𝑈𝑈)
10 1rp 12919 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
1110ne0ii 4297 . . . . . . 7 + ≠ ∅
121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13 nrginvrcn.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (Base‘𝑅)
1413, 2unitss 20089 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈𝑋
15 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑥𝑈)
1614, 15sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑥𝑋)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
1814, 17sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑋)
19 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2113, 19, 20ring1eq0 20014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
23 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)
24 nrgngp 24026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25 ngpms 23956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ MetSp)
26 msxms 23807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼:𝑈𝑈)
3029ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑈)
3114, 30sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
3313, 32xmseq0 23817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0 ↔ (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)))
3428, 31, 31, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0 ↔ (𝐼𝑦) = (𝐼𝑦)))
3523, 34mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = 0)
36 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3736rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → 0 < 𝑟)
3835, 37eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
39 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑦))
4039oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)))
4140breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4238, 41syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4322, 42syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4443imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
4544an32s 650 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)
4645a1d 25 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4746ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∀𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
4847ralrimivw 3147 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
49 r19.2z 4452 . . . . . . 7 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
5011, 48, 49sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
51 eqid 2736 . . . . . . 7 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
52 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
531ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
54 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
5519, 20isnzr 20729 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
5653, 54, 55sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
57 simplrl 775 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑥𝑈)
58 simplrr 776 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
59 eqid 2736 . . . . . . 7 (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2))
6013, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59nrginvrcnlem 24055 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
6150, 60pm2.61dane 3032 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
6215, 17ovresd 7521 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) = (𝑥(dist‘𝑅)𝑦))
6362breq1d 5115 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠))
64 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑈)
65 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼:𝑈𝑈𝑥𝑈) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
669, 64, 65syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
6766adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑈)
6867, 30ovresd 7521 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)))
6968breq1d 5115 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟))
7063, 69imbi12d 344 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑈) → (((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7170ralbidva 3172 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ∀𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7271rexbidv 3175 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼𝑦)) < 𝑟)))
7361, 72mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))
7473ralrimivva 3197 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))
75 xpss12 5648 . . . . . . 7 ((𝑈𝑋𝑈𝑋) → (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7614, 14, 75mp2an 690 . . . . . 6 (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
77 resabs1 5967 . . . . . 6 ((𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
7876, 77ax-mp 5 . . . . 5 (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))
79 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
8013, 79xmsxmet 23809 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
8124, 25, 26, 804syl 19 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
82 xmetres2 23714 . . . . . 6 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
8381, 14, 82sylancl 586 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
8478, 83eqeltrrid 2843 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
85 eqid 2736 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
8685, 85metcn 23899 . . . 4 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈)) → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))))
8784, 84, 86syl2anc 584 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼𝑦)) < 𝑟))))
889, 74, 87mpbir2and 711 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
89 nrginvrcn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
9089, 13, 79mstopn 23805 . . . . . 6 (𝑅 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
9124, 25, 903syl 18 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
9291oveq1d 7372 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽t 𝑈) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈))
9378eqcomi 2745 . . . . . 6 ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈))
94 eqid 2736 . . . . . 6 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
9593, 94, 85metrest 23880 . . . . 5 ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9681, 14, 95sylancl 586 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9792, 96eqtrd 2776 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
9897, 97oveq12d 7375 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
9988, 98eleqtrrd 2841 1 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn (𝐽t 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  Basecbs 17083  s cress 17112  distcds 17142  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  Unitcui 20068  invrcinvr 20100  NzRingcnzr 20727  ∞Metcxmet 20781  MetOpencmopn 20786   Cn ccn 22575  ∞MetSpcxms 23670  MetSpcms 23671  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  NrmRingcnrg 23935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-rest 17304  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-xrs 17384  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-abv 20276  df-nzr 20728  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24057
  Copyright terms: Public domain W3C validator