Theorem nrginvrcn 23303

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
nrginvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgring 23274	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 19419	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
5	2, 3	unitgrpbas 19418	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	2, 3, 6	invrfval 19425	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
8	5, 7	grpinvf 18152	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
9	1, 4, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
10		1rp 12396	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	ne0ii 4305	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
12	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
14	13, 2	unitss 19412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑋
15		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16	14, 15	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑋)
17		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
18	14, 17	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑋)
19		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21	13, 19, 20	ring1eq0 19342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
23		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)
24		nrgngp 23273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25		ngpms 23211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ MetSp)
26		msxms 23066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
28	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
29	9	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
30	29	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑈)
31	14, 30	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
32		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
33	13, 32	xmseq0 23076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
34	28, 31, 31, 33	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
35	23, 34	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0)
36		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 12437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 0 < 𝑟)
38	35, 37	eqbrtrd 5090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
39		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
40	39	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
41	40	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
42	38, 41	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
43	22, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
44	43	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
45	44	an32s 650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
46	45	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
47	46	ralrimiva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
48	47	ralrimivw 3185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
49		r19.2z 4442	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
50	11, 48, 49	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
51		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
52		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
53	1	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
54		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
55	19, 20	isnzr 20034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
56	53, 54, 55	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
57		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
58		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
59		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2))
60	13, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59	nrginvrcnlem 23302	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
61	50, 60	pm2.61dane 3106	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
62	15, 17	ovresd 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) = (𝑥(dist‘𝑅)𝑦))
63	62	breq1d 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠))
64		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑈)
65		ffvelrn 6851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
66	9, 64, 65	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
67	66	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
68	67, 30	ovresd 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
69	68	breq1d 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
70	63, 69	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
71	70	ralbidva 3198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
72	71	rexbidv 3299	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
73	61, 72	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
74	73	ralrimivva 3193	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
75		xpss12 5572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
76	14, 14, 75	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
77		resabs1 5885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))
79		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
80	13, 79	xmsxmet 23068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
81	24, 25, 26, 80	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
82		xmetres2 22973	. . . . . 6 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
83	81, 14, 82	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
84	78, 83	eqeltrrid 2920	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
85		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
86	85, 85	metcn 23155	. . . 4 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈)) → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
87	84, 84, 86	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
88	9, 74, 87	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
89		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
90	89, 13, 79	mstopn 23064	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
91	24, 25, 90	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
92	91	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈))
93	78	eqcomi 2832	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈))
94		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
95	93, 94, 85	metrest 23136	. . . . 5 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
96	81, 14, 95	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
97	92, 96	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
98	97, 97	oveq12d 7176	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
99	88, 98	eleqtrrd 2918	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ifcif 4469   class class class wbr 5068   × cxp 5555   ↾ cres 5559  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   / cdiv 11299  2c2 11695  ℝ⁺crp 12392  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  distcds 16576   ↾_t crest 16696  TopOpenctopn 16697  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  mulGrpcmgp 19241  1_rcur 19253  Ringcrg 19299  Unitcui 19391  inv_rcinvr 19423  NzRingcnzr 20032  ∞Metcxmet 20532  MetOpencmopn 20537   Cn ccn 21834  ∞MetSpcxms 22929  MetSpcms 22930  normcnm 23188  NrmGrpcngp 23189  NrmRingcnrg 23191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-rest 16698  df-0g 16717  df-topgen 16719  df-xrs 16777  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-abv 19590  df-nzr 20033  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-xms 22932  df-ms 22933  df-nm 23194  df-ngp 23195  df-nrg 23197

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  23304