Theorem nrginvrcn 24657

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
nrginvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgring 24628	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 20363	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
5	2, 3	unitgrpbas 20362	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	2, 3, 6	invrfval 20369	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
8	5, 7	grpinvf 18962	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
9	1, 4, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
10		1rp 12946	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	ne0ii 4284	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
12	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
14	13, 2	unitss 20356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑋
15		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16	14, 15	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑋)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
18	14, 17	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑋)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21	13, 19, 20	ring1eq0 20279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)
24		nrgngp 24627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25		ngpms 24565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ MetSp)
26		msxms 24419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
28	27	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
29	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
30	29	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑈)
31	14, 30	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
32		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
33	13, 32	xmseq0 24429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
34	28, 31, 31, 33	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
35	23, 34	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0)
36		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 12989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 0 < 𝑟)
38	35, 37	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
39		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
40	39	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
41	40	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
42	38, 41	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
43	22, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
44	43	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
45	44	an32s 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
46	45	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
47	46	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
48	47	ralrimivw 3133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
49		r19.2z 4439	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
50	11, 48, 49	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
51		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
52		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
53	1	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
54		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
55	19, 20	isnzr 20491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
56	53, 54, 55	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
57		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
58		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
59		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2))
60	13, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59	nrginvrcnlem 24656	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
61	50, 60	pm2.61dane 3019	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
62	15, 17	ovresd 7534	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) = (𝑥(dist‘𝑅)𝑦))
63	62	breq1d 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠))
64		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑈)
65		ffvelcdm 7033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
66	9, 64, 65	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
68	67, 30	ovresd 7534	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
69	68	breq1d 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
70	63, 69	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
71	70	ralbidva 3158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
72	71	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
73	61, 72	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
74	73	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
75		xpss12 5646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
76	14, 14, 75	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
77		resabs1 5971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))
79		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
80	13, 79	xmsxmet 24421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
81	24, 25, 26, 80	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
82		xmetres2 24326	. . . . . 6 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
83	81, 14, 82	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
84	78, 83	eqeltrrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
85		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
86	85, 85	metcn 24508	. . . 4 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈)) → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
87	84, 84, 86	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
88	9, 74, 87	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
89		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
90	89, 13, 79	mstopn 24417	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
91	24, 25, 90	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
92	91	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈))
93	78	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈))
94		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
95	93, 94, 85	metrest 24489	. . . . 5 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
96	81, 14, 95	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
97	92, 96	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
98	97, 97	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
99	88, 98	eleqtrrd 2839	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ifcif 4466   class class class wbr 5085   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  distcds 17229   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  Unitcui 20335  inv_rcinvr 20367  NzRingcnzr 20489  ∞Metcxmet 21337  MetOpencmopn 21342   Cn ccn 23189  ∞MetSpcxms 24282  MetSpcms 24283  normcnm 24541  NrmGrpcngp 24542  NrmRingcnrg 24544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-rest 17385  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-xrs 17466  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-nzr 20490  df-abv 20786  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-xms 24285  df-ms 24286  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-nrg 24550

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24658