Theorem nrginvrcn 24200

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
nrginvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgring 24171	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 20189	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
5	2, 3	unitgrpbas 20188	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	2, 3, 6	invrfval 20195	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
8	5, 7	grpinvf 18867	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
9	1, 4, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
10		1rp 12974	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
11	10	ne0ii 4336	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
12	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
14	13, 2	unitss 20182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑋
15		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
16	14, 15	sselid 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑋)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
18	14, 17	sselid 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑋)
19		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21	13, 19, 20	ring1eq0 20103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
23		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)
24		nrgngp 24170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25		ngpms 24100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ MetSp)
26		msxms 23951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
28	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
29	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼:𝑈⟶𝑈)
30	29	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑈)
31	14, 30	sselid 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
32		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
33	13, 32	xmseq0 23961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
34	28, 31, 31, 33	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑦)))
35	23, 34	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = 0)
36		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑟 ∈ ℝ+)
37	36	rpgt0d 13015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 0 < 𝑟)
38	35, 37	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
39		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
40	39	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
41	40	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑦)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
42	38, 41	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
43	22, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
44	43	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
45	44	an32s 650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)
46	45	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
47	46	ralrimiva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
48	47	ralrimivw 3150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
49		r19.2z 4493	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
50	11, 48, 49	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
51		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
52		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
53	1	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
54		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
55	19, 20	isnzr 20285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
56	53, 54, 55	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
57		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
58		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
59		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2)) = (if(1 ≤ (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟), 1, (((norm‘𝑅)‘𝑥) · 𝑟)) · (((norm‘𝑅)‘𝑥) / 2))
60	13, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59	nrginvrcnlem 24199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
61	50, 60	pm2.61dane 3029	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
62	15, 17	ovresd 7570	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) = (𝑥(dist‘𝑅)𝑦))
63	62	breq1d 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠))
64		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑈)
65		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
66	9, 64, 65	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑈)
68	67, 30	ovresd 7570	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))
69	68	breq1d 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟 ↔ ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
70	63, 69	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
71	70	ralbidva 3175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
72	71	rexbidv 3178	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥(dist‘𝑅)𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) < 𝑟)))
73	61, 72	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
74	73	ralrimivva 3200	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))
75		xpss12 5690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
76	14, 14, 75	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
77		resabs1 6009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 × 𝑈) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))
79		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
80	13, 79	xmsxmet 23953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
81	24, 25, 26, 80	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
82		xmetres2 23858	. . . . . 6 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
83	81, 14, 82	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
84	78, 83	eqeltrrid 2838	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈))
85		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
86	85, 85	metcn 24043	. . . 4 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) ∈ (∞Met‘𝑈)) → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
87	84, 84, 86	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))) ↔ (𝐼:𝑈⟶𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝑥((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))𝑦) < 𝑠 → ((𝐼‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))(𝐼‘𝑦)) < 𝑟))))
88	9, 74, 87	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
89		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
90	89, 13, 79	mstopn 23949	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
91	24, 25, 90	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
92	91	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈))
93	78	eqcomi 2741	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑈 × 𝑈))
94		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
95	93, 94, 85	metrest 24024	. . . . 5 ⊢ ((((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
96	81, 14, 95	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
97	92, 96	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝐽 ↾t 𝑈) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))))
98	97, 97	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) = ((MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ (𝑈 × 𝑈)))))
99	88, 98	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147   × cxp 5673   ↾ cres 5677  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11867  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  distcds 17202   ↾_t crest 17362  TopOpenctopn 17363  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  mulGrpcmgp 19981  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  inv_rcinvr 20193  NzRingcnzr 20283  ∞Metcxmet 20921  MetOpencmopn 20926   Cn ccn 22719  ∞MetSpcxms 23814  MetSpcms 23815  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  NrmRingcnrg 24079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-rest 17364  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-xrs 17444  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-nzr 20284  df-abv 20417  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24201