MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmdvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmdvr 22752
Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmdvr.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmdvr.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmdvr.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nmdvr.d / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
nmdvr (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nmdvr
StepHypRef Expression
1 simpll 783 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simprl 787 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐴𝑋)
3 nrgring 22745 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
43ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
5 simprr 789 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐵𝑈)
6 nmdvr.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2764 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
8 nmdvr.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝑅)
96, 7, 8ringinvcl 18942 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑈) → ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋)
104, 5, 9syl2anc 579 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋)
11 nmdvr.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
12 eqid 2764 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
138, 11, 12nmmul 22746 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1490 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))))
15 simplr 785 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
1611, 6, 7nminvr 22751 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵)) = (1 / (𝑁𝐵)))
171, 15, 5, 16syl3anc 1490 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵)) = (1 / (𝑁𝐵)))
1817oveq2d 6857 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
1914, 18eqtrd 2798 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
20 nmdvr.d . . . . 5 / = (/r𝑅)
218, 12, 6, 7, 20dvrval 18951 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑈) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵)))
2221adantl 473 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵)))
2322fveq2d 6378 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))))
24 nrgngp 22744 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2524ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
268, 11nmcl 22698 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2725, 2, 26syl2anc 579 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2827recnd 10321 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
298, 6unitss 18926 . . . . . 6 𝑈𝑋
3029, 5sseldi 3758 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐵𝑋)
318, 11nmcl 22698 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
3225, 30, 31syl2anc 579 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
3332recnd 10321 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ∈ ℂ)
3411, 6unitnmn0 22750 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
35343expa 1147 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
3635adantrl 707 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
3728, 33, 36divrecd 11057 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
3819, 23, 373eqtr4d 2808 1 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  cfv 6067  (class class class)co 6841  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   · cmul 10193   / cdiv 10937  Basecbs 16131  .rcmulr 16216  Ringcrg 18813  Unitcui 18905  invrcinvr 18937  /rcdvr 18948  NzRingcnzr 19530  normcnm 22659  NrmGrpcngp 22660  NrmRingcnrg 22662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-tpos 7554  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ico 12382  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-0g 16369  df-topgen 16371  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-oppr 18889  df-dvdsr 18907  df-unit 18908  df-invr 18938  df-dvr 18949  df-abv 19085  df-nzr 19531  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-xms 22403  df-ms 22404  df-nm 22665  df-ngp 22666  df-nrg 22668
This theorem is referenced by:  qqhnm  30415
  Copyright terms: Public domain W3C validator