MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmdvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmdvr 23194
Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmdvr.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmdvr.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmdvr.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nmdvr.d / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
nmdvr (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nmdvr
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simprl 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐴𝑋)
3 nrgring 23187 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
43ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
5 simprr 769 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐵𝑈)
6 nmdvr.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2826 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
8 nmdvr.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝑅)
96, 7, 8ringinvcl 19346 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑈) → ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋)
104, 5, 9syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋)
11 nmdvr.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
12 eqid 2826 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
138, 11, 12nmmul 23188 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((invr𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1365 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))))
15 simplr 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
1611, 6, 7nminvr 23193 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵)) = (1 / (𝑁𝐵)))
171, 15, 5, 16syl3anc 1365 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵)) = (1 / (𝑁𝐵)))
1817oveq2d 7164 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
1914, 18eqtrd 2861 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
20 nmdvr.d . . . . 5 / = (/r𝑅)
218, 12, 6, 7, 20dvrval 19355 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑈) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵)))
2221adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵)))
2322fveq2d 6671 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝐵))))
24 nrgngp 23186 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2524ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
268, 11nmcl 23140 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2725, 2, 26syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2827recnd 10658 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
298, 6unitss 19330 . . . . . 6 𝑈𝑋
3029, 5sseldi 3969 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → 𝐵𝑋)
318, 11nmcl 23140 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
3225, 30, 31syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
3332recnd 10658 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ∈ ℂ)
3411, 6unitnmn0 23192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
35343expa 1112 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝐵𝑈) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
3635adantrl 712 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁𝐵) ≠ 0)
3728, 33, 36divrecd 11408 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)) = ((𝑁𝐴) · (1 / (𝑁𝐵))))
3819, 23, 373eqtr4d 2871 1 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝑁𝐴) / (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286  Basecbs 16473  .rcmulr 16556  Ringcrg 19217  Unitcui 19309  invrcinvr 19341  /rcdvr 19352  NzRingcnzr 19949  normcnm 23101  NrmGrpcngp 23102  NrmRingcnrg 23104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ico 12734  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-0g 16705  df-topgen 16707  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-abv 19508  df-nzr 19950  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-xms 22845  df-ms 22846  df-nm 23107  df-ngp 23108  df-nrg 23110
This theorem is referenced by:  qqhnm  31117
  Copyright terms: Public domain W3C validator