MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmdvr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmdvr 24531
Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmdvr.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nmdvr.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmdvr.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nmdvr.d / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nmdvr (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)))
Proof of Theorem nmdvr
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simprl 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 nrgring 24524 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 simprr 770 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
6 nmdvr.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
7 eqid 2724 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
8 nmdvr.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
96, 7, 8ringinvcl 20290 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋)
104, 5, 9syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋)
11 nmdvr.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
12 eqid 2724 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
138, 11, 12nmmul 24525 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
15 simplr 766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
1611, 6, 7nminvr 24530 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)) = (1 / (π‘β€˜π΅)))
171, 15, 5, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)) = (1 / (π‘β€˜π΅)))
1817oveq2d 7418 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
1914, 18eqtrd 2764 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
20 nmdvr.d . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
218, 12, 6, 7, 20dvrval 20301 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)))
2221adantl 481 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)))
2322fveq2d 6886 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
24 nrgngp 24523 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
2524ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
268, 11nmcl 24469 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2725, 2, 26syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2827recnd 11241 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
298, 6unitss 20274 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝑋
3029, 5sselid 3973 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
318, 11nmcl 24469 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
3225, 30, 31syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
3332recnd 11241 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
3411, 6unitnmn0 24529 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
35343expa 1115 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
3635adantrl 713 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
3728, 33, 36divrecd 11992 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
3819, 23, 373eqtr4d 2774 1 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112   / cdiv 11870  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  Ringcrg 20134  Unitcui 20253  invrcinvr 20285  /rcdvr 20298  NzRingcnzr 20410  normcnm 24429  NrmGrpcngp 24430  NrmRingcnrg 24432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-nzr 20411  df-abv 20656  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-xms 24170  df-ms 24171  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-nrg 24438
This theorem is referenced by:  qqhnm  33489
  Copyright terms: Public domain W3C validator