Theorem nmdvr 24613

Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmdvr.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmdvr.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmdvr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nmdvr.d	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nmdvr	⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) / (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmdvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		nrgring 24606	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ 𝑈)
6		nmdvr.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
8		nmdvr.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
9	6, 7, 8	ringinvcl 20330	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋)
10	4, 5, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋)
11		nmdvr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	8, 11, 12	nmmul 24607	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((invr‘𝑅)‘𝐵))))
14	1, 2, 10, 13	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((invr‘𝑅)‘𝐵))))
15		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
16	11, 6, 7	nminvr 24612	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑁‘((invr‘𝑅)‘𝐵)) = (1 / (𝑁‘𝐵)))
17	1, 15, 5, 16	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘((invr‘𝑅)‘𝐵)) = (1 / (𝑁‘𝐵)))
18	17	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((invr‘𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁‘𝐴) · (1 / (𝑁‘𝐵))))
19	14, 18	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝐵))) = ((𝑁‘𝐴) · (1 / (𝑁‘𝐵))))
20		nmdvr.d	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
21	8, 12, 6, 7, 20	dvrval 20341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝐵)))
22	21	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝐵)))
23	22	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝐵))))
24		nrgngp 24605	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
25	24	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
26	8, 11	nmcl 24559	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
27	25, 2, 26	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11161	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
29	8, 6	unitss 20314	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑋
30	29, 5	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
31	8, 11	nmcl 24559	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
32	25, 30, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11161	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ)
34	11, 6	unitnmn0 24611	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐵) ≠ 0)
35	34	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐵) ≠ 0)
36	35	adantrl 717	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘𝐵) ≠ 0)
37	28, 33, 36	divrecd 11921	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘𝐴) / (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (1 / (𝑁‘𝐵))))
38	19, 23, 37	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) / (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032   / cdiv 11795  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179  Ringcrg 20172  Unitcui 20293  inv_rcinvr 20325  /_rcdvr 20338  NzRingcnzr 20447  normcnm 24519  NrmGrpcngp 24520  NrmRingcnrg 24522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ico 13268  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-0g 17362  df-topgen 17364  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-nzr 20448  df-abv 20744  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-xms 24263  df-ms 24264  df-nm 24525  df-ngp 24526  df-nrg 24528

This theorem is referenced by:  qqhnm  34140