MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmdvr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmdvr 24586
Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmdvr.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nmdvr.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmdvr.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nmdvr.d / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nmdvr (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)))
Proof of Theorem nmdvr
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simprl 770 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 nrgring 24579 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 simprr 772 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
6 nmdvr.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
8 nmdvr.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
96, 7, 8ringinvcl 20330 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋)
104, 5, 9syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋)
11 nmdvr.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
12 eqid 2728 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
138, 11, 12nmmul 24580 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1369 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
15 simplr 768 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
1611, 6, 7nminvr 24585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)) = (1 / (π‘β€˜π΅)))
171, 15, 5, 16syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)) = (1 / (π‘β€˜π΅)))
1817oveq2d 7436 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
1914, 18eqtrd 2768 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
20 nmdvr.d . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
218, 12, 6, 7, 20dvrval 20341 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)))
2221adantl 481 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)))
2322fveq2d 6901 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
24 nrgngp 24578 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
2524ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
268, 11nmcl 24524 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2725, 2, 26syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2827recnd 11272 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
298, 6unitss 20314 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝑋
3029, 5sselid 3978 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
318, 11nmcl 24524 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
3225, 30, 31syl2anc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
3332recnd 11272 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
3411, 6unitnmn0 24584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
35343expa 1116 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
3635adantrl 715 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
3728, 33, 36divrecd 12023 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
3819, 23, 373eqtr4d 2778 1 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143   / cdiv 11901  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Ringcrg 20172  Unitcui 20293  invrcinvr 20325  /rcdvr 20338  NzRingcnzr 20450  normcnm 24484  NrmGrpcngp 24485  NrmRingcnrg 24487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ico 13362  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-topgen 17424  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-nzr 20451  df-abv 20696  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-xms 24225  df-ms 24226  df-nm 24490  df-ngp 24491  df-nrg 24493
This theorem is referenced by:  qqhnm  33591
  Copyright terms: Public domain W3C validator