MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmdvr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmdvr 24186
Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmdvr.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nmdvr.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmdvr.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nmdvr.d / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nmdvr (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)))
Proof of Theorem nmdvr
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simprl 769 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 nrgring 24179 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 simprr 771 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
6 nmdvr.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
7 eqid 2732 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
8 nmdvr.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
96, 7, 8ringinvcl 20205 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋)
104, 5, 9syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋)
11 nmdvr.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
12 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
138, 11, 12nmmul 24180 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1371 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
15 simplr 767 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
1611, 6, 7nminvr 24185 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)) = (1 / (π‘β€˜π΅)))
171, 15, 5, 16syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)) = (1 / (π‘β€˜π΅)))
1817oveq2d 7424 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
1914, 18eqtrd 2772 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
20 nmdvr.d . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
218, 12, 6, 7, 20dvrval 20216 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)))
2221adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅)))
2322fveq2d 6895 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π΅))))
24 nrgngp 24178 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
2524ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
268, 11nmcl 24124 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2725, 2, 26syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2827recnd 11241 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
298, 6unitss 20189 . . . . . 6 π‘ˆ βŠ† 𝑋
3029, 5sselid 3980 . . . . 5 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
318, 11nmcl 24124 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
3225, 30, 31syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
3332recnd 11241 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
3411, 6unitnmn0 24184 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
35343expa 1118 . . . 4 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
3635adantrl 714 . . 3 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π΅) β‰  0)
3728, 33, 36divrecd 11992 . 2 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (1 / (π‘β€˜π΅))))
3819, 23, 373eqtr4d 2782 1 (((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 / 𝐡)) = ((π‘β€˜π΄) / (π‘β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   / cdiv 11870  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Ringcrg 20055  Unitcui 20168  invrcinvr 20200  /rcdvr 20213  NzRingcnzr 20290  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085  NrmRingcnrg 24087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-nzr 20291  df-abv 20424  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-nrg 24093
This theorem is referenced by:  qqhnm  32965
  Copyright terms: Public domain W3C validator